2.2.3直线的一般式方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.3 直线的一般式方程 1.明确直线方程一般式的形式特点: 2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求出斜率和截距: 3.会把直线方程的点斜式(斜截式)、两点式(截距式)化为一般式。 学习目标: 学习重点: 直线方程的一般式。 学习难点: 对直线方程一般式的理解与应用。 复习回顾 直线的方程 标准形式 适用范围 区别 联系 点斜式 斜截式 两点式 截距式 斜率k存在的直线 斜率k存在的直线 y=kx+b x1≠x2，y1≠y2 横纵坐标均不相等的直线 横纵截距均不为0的直线 直线上任意一点的横纵坐标x，y的关系式 应用条件不同； 表达形式不同 问题1：能否用一种方程形式表示平面直角坐标系中的任何一条直线l？ 探究新知 根据下列各条件写出直线的方程,能否化成Ax+By+C=0的形式？ (1)斜率是- ,且经过点A(8,-2); (2)斜率为2，过点（0，-1）. (3)在x轴和y轴上的截距分别是 ,-3; (4)经过点P1(3,-2)和点P2(5,-4). （5)经过点B(4,2),且平行于x轴的直线？ 平行于y轴的直线呢？ 化为：x+2y-4=0 y=2x-1 化为：2x-y-1=0 化为：2x-y-3=0 化为：x+y-1=0 化为：0x+y-2=0 y=2 x=4 化为：x+0y-4=0 平面直角坐标系中的任意一条直线l都能用关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0来表示 通过上面的实例以及我们的分析 问题2：反之，对于任意一个二元一次方程Ax+By+C=0（A,B不同为0） 它表示一条直线吗？ 如果它能化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线 探究新知 探究新知 每一条直线都可以用一个关x，y的二元一次方程Ax+By+C=0表示 每一个关于x，y的二次方程Ax+By+C=0(A2+B2 0)都表示一条直线 ≠ 我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A2+B2 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式 ≠ 说明：1）使用二元一次方程Ax+By+C=0时，A,B不能同时为0. 2）解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式. 3）化简要求A为正数，A,B,C通常化为整式 探究新知 问题3：在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示如下直线： 1）平行于x轴？ 2）平行于y轴？ 3）与x轴重合？ 4）与y轴重合？ 解：1）A=0,B 0,C 0 ≠ ≠ 2）B=0,A 0,C 0 ≠ ≠ 3）A=0,B 0,C = 0 ≠ 4）B=0,A 0,C = 0 ≠ 探究新知 若 若l1：A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0 例1：把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线I的斜 率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. 分析:求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要 在直线l的方程中令y=0即可得x的值. 解:把直线l的一般式方程化为斜截式 y= x +3. 因此，直线l的斜率k= ，它在y轴上的截距是3. 在直线l的方程x- 2y+6=0中，令y=0，得x=- 6， 即直线l在x轴上的截距是一6. 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-6，0)，B(0, 3)， 过A, B两点作直线，就得直线l(如右图). 例题讲解 y x O 3 -6 A B 结合例1，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线 能化成截距式？ 例2：(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行, 求实数m的值. (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 能力提升 (2) 因为l1与l2垂直,得 (a+2)(a- 1)+(1- a)(2a+3)= 0 解得a =1或a=-1 解：(1)令2X3=m(m+1)，解得m= -3或m = 2. 当m =-3时，l1: x一y+2= 0,l2:3х-3y+2=0, 显然l1与l2不重合，所以l1 //l2, 当m = 2时，l1 : 2x+ 3y+4= 0,l2 : 2x十3y- 2=0,  l1与l2不重合, 所以l1//l2, 综上m=-3或m=2 能力提升 解：设直线l分别交l1,l2于点P(m,n)和Q(a,b),则由A为PQ的中点，可得a=-m,b=2-n即点Q的坐标为(一m,2-n). 又点P在l1上，则m-3n+10=0,① 点Q在l2上，则2m+n+ 6=0.② 由①②可得 m=-4,n= 2，得P(-4,2). 过A(0,1)和P(-4,2)，利用两点式可得 化简得直线l的方程为 x+4y-4=0. 例4： 已知直线l: kx-y+1 +2k=0. (1)证明:直线l经过定点; (2)若直线l不经过第三象限,求实数k的取值范围. 能力提升 解：(1)直线方程可化为(x+2)k-(y-1)=0， 当x=-2,y=1时,方程对任意实数k恒成立， 直线l过定点( -2,1). (2)当k=0时,直线l:y=1,满足条件; 当k≠0时,由直线l的方程知l在x轴，y轴上的截距分别为 由直线l不经过第三象限，得 解得 . 综上,实数h的取值范围是 能力提升 例5：设直线l1:x+3y-7=0与直线l2：x-y+1=0的交点为P, 则P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为 例6：设直线:l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若a> -1，直线l与x轴、y轴分别交于M,N两点,0为坐标原 点，当△OMN的面积取得最小值时,求直线l的方程。 能力提升 解(1)当直线 l经过坐标原点时，满足直线在两坐标轴上 的截距相等，可得a+2=0,解得a= -2, 此时直线l的方程为-x+y=O,即x-y=0; 当直线l不经过坐标原点时，由直线在两坐标轴上的截距相等 解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0. 综上直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0. 例6：设直线:l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a R). (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程; (2)若a> -1，直线l与x轴、y轴分别交于M,N两点,0为坐标原 点，当△OMN的面积取得最小值时,求直线l的方程。 解：(2)由直线方程可得M( ,0),N(0,2 +a), 因为a> -1, 所以 由对勾函数的性质，可知当a=0时， OMN的面积取得最小值。 此时直线l的方程为x+y-2=0. 直线的方程 点斜式 斜截式y=kx+b 两点式 截距式 Ax+By+C=0(A2+B2 0) ≠ 课堂小结 1.过点A(3,一1),且与直线x+2y-3=0垂直的直线的方程是( ) A.x+2y+1=0  B.x+2y-1=0 C.2x←y+7=0 D.2x一y-7=0 当堂检测： 2.无论取何实数,直线l:mx+y-1+2m=0恒过一定点 ,则该定点的 坐标为( ) A.(一2,1) B.(-2,-1) C.(2,1) D.(2,-1) 3.直线 x-y+1=0的倾斜角为 $