3.1.2课时2 分段函数及应用同步作业-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 课时2 分段函数及应用 【基础巩固】 1．已知函数，则（ ） A．2 B．1 C． D．0 2．（2025·贵州遵义期末）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 4．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 6．函数，已知，则_________. 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为_________. 8．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【能力拓展】 9．狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 10．（多选）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 11．对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为_________. 【素养提升】 12．已知函数，函数，其中 (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若， ①求使得成立的的取值范围； ②求在区间上的最大值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 课时2 分段函数及应用 【基础巩固】 1．已知函数，则（ ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】D 【解析】由题意知，，， 所以. 故选：D 2．（2025·贵州遵义期末）函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，结合图形可知C适合题意. 故选：C. 3．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 4．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 5．（多选）已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，则， 所以，故A正确； 对于B，当时，，解得：（舍）； 当时，，解得：（舍）或； 的解为， 故B正确； 对于C，当时，，解得：； 当时，，解得：； 的解集为，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 的值域为， 故D正确. 故选：ABD. 6．函数，已知，则_________. 【答案】0 【解析】时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 7．已知函数的值域为，则实数的取值范围为_________. 【答案】; 【解析】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 8．已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)依题意，，而, 所以. (2)当时，，解得，不合题意； 当时，，即，而，则； 当时，，解得，符合题意， 所以当时，或. (3)由，得或或， 解得或或或, 所以实数的取值范围是. 【能力拓展】 9．狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ） A．不存在，使得恒成立 B．存在，使得恒成立 C．对任意，满足 D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形 【答案】D 【解析】根据狄利克雷函数，可知： 当时，若，则，，所以； 若，则，，所以， 故时，恒成立，故选项A错误； ，当时，； ，当时，， 所以对于，当时，不成立，故选项B错误； 令，，则，此时，，不成立，故选项C错误； 取函数图象上点，，，此时，，， 所以，所以是直角三角形，故选项D正确. 故选：D. 10．（多选）对任意两个实数，定义，若，下列关于函数的说法正确的是（ ） A． B．方程有三个解 C．当时，有 D．函数有最大值为，无最小值 【答案】ABD 【解析】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A正确； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得，方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时，令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：ABD. 11．对，用表示，中的较大者，记为，若函数，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】当，即， 即时，， 当当，， 即或时，， 所以， 函数图象如图所示： 由图可得，函数在，上递减，在上递增， 所以. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知函数，函数，其中 (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若， ①求使得成立的的取值范围； ②求在区间上的最大值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得， 所以； (2)①当时，，所以，解得； 当时，，所以， 因为，所以， 所以无解， 综上所述：的取值范围是； ②由①可知：， 当时，，所以，所以； 当时，的对称轴为，所以， 且，所以， 令，所以，所以， 综上可知：. 第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $