4.6 一元二次方程根与系数的关系-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第4章 一元二次方程 *4.6一元二次方程根与系数的关系 情 境 导 入 *4.6一元二次方程根与系数的关系 解下面的一元二次方程，并填写结果： ①x2+3x+2=0, x1=_________,x2=_________. ②x2-5x+6=0, x1=_________,x2=_________. ③3x2+x-2=0, x1=_________,x2=__________. ④2x2-4x+1=0. x1=_________,x2=__________. -2 -1 2 3 -1 新 课 探 究 *4.6一元二次方程根与系数的关系 根据(1)中所求出的每个方程的根，分别计算两根之和 与两根之积，并把结果填入下表： 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ①x2+3x+2=0 -2 -1 ②x2-5x+6=0 2 3 ③3x2+x-2=0 -1 ④2x2-4x+1=0 -3 2 5 6 2 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (2) 观察表格，在所给的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系？ 发现:(1)方程①②的二次项系数为1时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项. x2+px+q=0 x1+x2=-p; x1x2=q. 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ①x2+3x+2=0 -2 -1 ②x2-5x+6=0 2 3 ③3x2+x-2=0 -1 ④2x2-4x+1=0 -3 2 5 6 2 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (3) 观察表格，在所给的四个方程中，两根之和与两根之积的值分别与相应的方程的系数之间有怎样的关系？ 发现:(2)方程③④的二次项系数不是1时，化成二次项系数是1的情况后，和①②中的发现有一样的结果. ax2+bx+c=0 x1+x2=- ; x1x2= . 一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 ①x2+3x+2=0 -2 -1 ②x2-5x+6=0 2 3 ③3x2+x-2=0 -1 ④2x2-4x+1=0 -3 2 5 6 2 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (4) 由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与方程的系数a,b,c之间有什么关系？尝试证明你的猜想是正确的. 猜想：一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的商. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (4) 由此你猜想一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根x1,x2与方程的系数a,b,c之间有什么关系？尝试证明你的猜想是正确的. 证明：当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根是 x1= , x2= . 于是，两个根的和为x1+x2= + =-; 两个根的积为x1x2= · ==. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 新知讲解 一元二次方程的根与系数有以下关系： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1,x2,那么 x1+x2=-, x1x2= . 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 不解方程，写出下列一元二次方程两个根的和与积. 1. x2 - 2x - 1=0； 2. 2x2 - 6x =0； 3. 3x2 = 4； 4. 3x2-2x=2. 解：x1+x2=2; x1x2=-1； 解：x1+x2=3; x1x2=0； 解：x1+x2=0; x1x2=-； 解：x1+x2=; x1x2=- . 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】关于x的方程3x2+mx-4=0有一个根是2，求另一个根及m的值. 解：设方程的另一个根为x1,则由一元二次方程根与系数的关系，得 x1+2=-, ① 2x1=-. ② 由②，得x1=-. 代入①，得-+2=-， 解得m=-4. 所以，方程的另一个根是- ，m的值是-4. 对于例1，还有其他的解法吗？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】关于x的方程3x2+mx-4=0有一个根是2，求另一个根及m的值. 对于例1，还有其他的解法吗？ 解：把x=2代入3x2+mx-4=0，得12+2m-4=0, 解得m=-4. 设方程的另一个根为x1,则2+x1=- = , 解得x1=- . 所以方程的另一个根是- ，m的值是-4. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解:把1代入方程有3-19+m=0.∴m=16． 设方程的另一个根是x2， 由两根之和有: x2+1= . ∴x2= ． 故答案分别是： ,16． 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例2】设x1,x2是方程2x2+5x+1=0的两个根，求下列各式的值： (1)(x1+1)(x2+1); (2) . 解：由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-,x1x2=. (1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1 = - +1=-1; (2) ==(-)÷()=-5. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根, 求(x1+1)(x2+1)的值. 解： 由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · x2= ∴ (x1+1)(x2+1) = (x1+x2)+x1 x2 +1 =-2+( )+1= 课 堂 小 结 *4.6一元二次方程根与系数的关系 巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值 (1)计算：计算出x1+x2,x1x2的值； (2)变形：将所求的代数式变形为用x1+x2,x1x2表示的式子； (3)代入：代入所求的代数式计算. THANK YOU $