4.6 一元二次方程根与系数的关系-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

*4.6一元二次方程根与系数的关系（答案36） (课程标准变动为考查内容) 通基础》2222929349922>>939 知识点2利用根与系数的关系求方程中待定 字母的值 知识点1一元二次方程根与系数的关系 7.(2023·岳阳中考)已知关于x的一元二次方 1.(2023·潍坊临胸期末)下列一元二次方程中， 程x2+2mx+m-m十2=0有两个不相等的 两个实根之和为2的是() 实根x1,x2,且x1十x2十x1·x2=2,则实 A.x2+2x+1=0 B.x2-2=0 数m= C.-x2+2x-3=0 D.2-- 0 8.(2023·潍坊寿光期中)已知关于x的方程 x2-5.x-m2=0. 2.新视野》已知一元二次方程x2一3x十2=0的 (1)求证：方程有两个不相等的实根。 两个根为x1x2,则上+】的值为( (2)若方程的两个实根分别是x1,x2,且x1十 A.-3 2 2x2=4,求m的值. B. 3 C.1 D.2 3.(2023·聊城临清一模)若a,3是方程x2 3.x一2017=0的两个实根，则代数式a2 23-5a的值为( A.-2011 B.-2023 C.2011 D.2023 4.(2023·宜昌中考)已知x1,x2是方程2x2一 烟运用根与系数的关系求待定字母的值 3x+1=0的两根，则代数式十的值 时，忽视△≥0而出错 为 9.(2023·泰安泰山区模拟)若x1,x2是方程 5.(2023·游坊寒亭区期中)设m,n是方程x2+ x2一2mx十m2一m一1=0的两个根，且x1+ 2x-2024=0的两个实根，则(m+1)(n+1) x2=1一x1x2,则m的值为() 的值为 A.-1或2 B.1或-2 6.(2023·菏泽单县一模)先化简，再求值： C.-2 D.1 2++- a+b a6,其中a,b是 通能力> 10.关于x的一元二次方程x2一4x一m”=0有 一元二次方程x2-（3+1)x-2=0的两 个根 两个实根则m㎡(+)等于( B一m 4 C.4 D.-4 11.若x1十x2=3,x十x=5,则以x1,x2为根 的一元二次方程可能是( A.x2-3x+2=0 B.x2+3.x-2=0 C.x2+3.x+2=0 D.x2-3x-2=0 一A年级上时数学00 122 12.(2023·泸州中考)若一个菱形的两条对角线 (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1, 长分别是关于x的一元二次方程x2 x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三 10x十m=0的两个实根，且其面积为11，则 角形的周长。 该菱形的边长为() A.3 B.26 C.14 D.2/14 13.(2023·宜其中考)若关于x的方程x2 2(m十1).x十m十4=0两根的倒数和为1， 则的值为 14.已知一元二次方程x一3.x十k=0的两个实 根为x1x2,若x1x2十2x1十2x=1,则实数 k= 通素养 15.(2023·鄂州中考)若实数a,b分别满足a2 18.已知x1,xg是一元二次方程(a-6).x”+2ax十 3a+2=0,b-3b+2=0,且a≠b,则1+ a=0的两个实根. (1)是否存在实数a,使一x1十x1x2=4十x2 b 成立？若存在，求出a的值：若不存在，请说 16.推理能力已知关于x的一元二次方程x2- 明理由. (2m+1)x+m2+m=0. (2)求使(x,+1)(x2十1)为负整数的实数 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相 a的整数值. 等的实根 (2)设该方程的两个实根为a,b,若(2a十 b)·(a+2b)=20,求m的值. 17.已知x1,x:是关于x的一元二次方程x2 2(m十1).x十m2十5=0的两个实根 (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值. 123 优学条课的温号时，最大值为品 6.解：，a,b是一元二次方程x3-（3+1)x一2=0 的两个根 4.5一元二次方程根的判别式 ∴a+b=5+1,ab=-2. 1.B2.D3.B 4.有两个不相等的实根 ( a+b ab-62 。2+2ab+6+a- ÷1+6 ab 5.解：(1)证明：，a=1,b=-m,c=2m-4, [atb b(a-b) ab .△=b2-4ac=(-m)2-4(2m-4)=m2-8m+ (a+b)2T(a+b)(a-b)]1+b 16=(m-4)2≥0， 1 b\ ab 方程总有两个实根. a+b+a+6)'1+6 (2):△=(m-4)≥0， 1+b abab x=-b±64ac_m±|m-4 a+6'1+6-a+6' 2a 2 -2 -2(W5-1) .x1=m-2,x2=2. ∴原式= =1-3. 5+1(3+1)(3-1) :此方程有一个根小于1，.m一2<1.∴.m<3. 7.3 6.D7.C8.四 8.解：(1)证明：，△=(-5)2-4×1×(-m2)=25十 9.解：：关于x的方程x2+(b十2)x十6-b=0有两 4m2>0, 个相等的实根， 方程有两个不相等的实根， ∴.△=(b+2)2-4(6-b)=0. (2):方程的两个实根分别是x1,x2, 即b2+8b一20=0. x1十x2=5. 解得b1=2,b2=-10(舍去). x1十2x2=4,∴.5十x2=4,.x2=-1.将x2=-1 ①当a为底，b为腰时，2十2<5，不能构成三角形， 代人方程，得 此种情况不成立： .1+5-m2=0,∴.m2=6,∴.m=士√6. ②当b为底，a为腰时，5一2<5<5十2，能构成三角 形，此时△ABC的周长为5+5+2=12. 9.D解析：x1,x2是方程x2-2mx十m2-m一1= ∴.△ABC的周长是12. 0的两个根，.x1十xa=2m,x1·x2=m2-m-1. 10.D11.A12.C13.A14.C x1十x2=1-x1x,.2m=1-(m2-m-1), 15.0(答案不唯一) 即m2十m-2=0,解得m1=一2，m:=1.方程 16.解：(1)证明：，a=1,b=一(k十2)，c=k-1, x2一2mx十m2一m一1=0有实根，∴.△= ∴.△=b2-4ac=[-(k+2)]2-4×1×(k-1) (-2m)2-4(m2-m-1)=4m十4≥0，解得m≥ k2十8>0， 一1..m=1. 无论k取何值，此方程总有两个不相等的实根 10.D1A2.c1B.214.-515.2 (2)0把x=2代入方程x-（k+2)x+k-1=0, 16.解：(1)证明：：△=[-(2m+1)]-4(m2+m)= 4m2+4m+1-4m2-4m=1>0, 得}-之+2)+长-10，解得女-号 7 无论m取何值，方程都有两个不相等的实根 (2)该方程的两个实根为a,b, ②方程为x2-1,+5 2+2=0, .a+b=- -(2m+1) 1 =2m+1,ab= 1 解得x1=2x2=5. m2十m=m2十m. 1 因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的 (2a+b)(a+2b)-2a+4ab+ab+2b2= 两条边长， 2(a2+2ab+b2)+ab-2(a+b)2+ab, 面十号<5，所以这个等腰三角形三边长分别为 .2(a+b)2+ab=20, ∴.2(2m+1)2+m2+m=20, 5,5，所以△ABC的周长为号 1 整理，得m2十m一2=0，解得m1=一2，m2=1, .m的值为-2或1 17.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 17.解：(1)，x1,x2是关于x的一元二次方程x2 把x=-1代入原方程，得a十c-2b十a-c=0,所 2(m+1)x十m2+5=0的两个实根，.x1+x2= 以a=b,所以△ABC是等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： 2(m+1),x1xg=m2+5..(x1-1)(xg-1)= :方程有两个相等的实根， x1x2-(x1+x2)+1=m+5-2(m+1)+1=28. 解得m1=一4，m2=6. .△=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, ,△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)≥0， 整理，得b2-a2十c2=0,∴.a2=b2十c2. .m≥2...m=6. .△ABC是直角三角形. (2)①当7为底边时，此时方程x2-2(m+1)x十m2+ (3)如果△ABC是等边三角形，那么a=b=c. 5=0有两个相等的实根， 所以方程可化为2ax2十2ax=0, .△=4(m十1)2-4(m2十5)=0.解得m=2. 所以2ax(x十1)=0， ∴.方程变形为x2一6z十9=0.解得x1=x2=3. 解得x1=0,x2=一1. 3十3<7，不能构成三角形，舍去. 4.6一元二次方程根与系数的关系 ②当7为腰时，设x1=7, (课程标准变动为考查内客) 代入方程，得49-14(m+1)十m”+5=0, 1.D2.D3.C4.15.-2025 解得m1=10,m2=4. 36 当m=10时方程变为x一22x十105=0， 当x=1时，有1十m一1=0，解得m=0: 解得x1=7,x2=15. ,7+7<15,.不能构成三角形，舍去. 当x=3时，有9+3m-1=0,解得m三-2。 当m=4时方程变为x2-10x十21=0， 解得x1-3,x2-7,3+7>7,此时能构成三角形， 故m的值为0度-多 三角形的周长为7+7+3=17. 14.解：(1)，原方程有实根，.b2-4ac≥0， 18.解：(1)存在.，x1,x2是一元二次方程(a一6)x2+ ,.(-2)2-4(2k-1)≥0，.k1. 2ax十a=0的两个实根， (2),x1,x2是方程的两根，.根据一元二次方程 250ia-5a≥0. 根与系数的关系，得x1十x2=2,x1·x:=2k一1. 解得a≥0且a≠6. 又+=，·4…-1·x 71 假设存在实数a,使一x1十x1xz=4十x2成立，则 x1·x& 4十(x1十x:）-x1x2=0, .(x1十x2)2-2x1x2=(x1·x2)2,∴22-2(2k ∴4+-2aa a-6a-6 =0,解得a=24.经检验，a=24 1)=(2k-1)2,解得：-5 ,k,=、⑤ 2 是原分式方程的解 ,a=24满足a≥0且a≠6， 为≤1，=-5 2 .存在实数a,使-x1十x1x2=4十x2成立. 15.解：(1)存在.a十B=k十3,3=3k, .a=24. (2):(x1+1)(x2+1)=(x1+x:)+x1xg+1= +日…-景 ·a8-31 -2a+a。+a-6--6 = 且。-6为负整数， a-6a-6a-6a-6,且-6 :6+32 3k 3解得友=3经检验，k=3是分式方程 ∴.a-6>0且a-6≤6，即6<a≤12. 的解. 取a=7,8,9,10,11,12验证，可知当a=7,8,9,12 时，二6均为负整数且满足（1)中a≥0且a≠6的 当k=3时，△=0，心存在实数k=3,使+】-召 a B 3 a—6 成 条件， (2)解方程x2-(k+3)x+3k=0,得a=k,B=3. .使(x1十1)(x2十1)为负整数的实数a的整数值 为7,8,9,12. 当4为斜边时，a2+B2=4,即k2十32=16， 阶段检测七(4.5~4.6) 解得k1=√7，k2=一√7（舍去）， 1.C2.C3.D4.C5.B6.D7.B 此时Rt△ABC的周长为4十3+√7=7+√7； 8.-129.710.6 当4为直角边时，42+B2=a2, 11.解：设此方程的两个根是a,3, 即16+32=k2, 根据题意，得a十日=一b=8十2=10， 解得k1=5,k:=一5（舍去），此时Rt△ABC的周长 为4+3+5=12. a g=￡=(-9)X(-1D=9, 综上所述，Rt△ABC的周长为7十√7或12. 4.7一元二次方程的应用 则以a,3为根的一元二次方程是x2一10x十9=0. 第1课时几何图形问题 12.解：(1)证明：，△=[-(2m-1)]2-4×1× 1.A.2.D3.A4.4 (-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m= 5.解：设AB的长为xm,则BC的长为(24一3x)m 16m2-8m+1=(4m-1)2≥0， 依题意，得x(24-3x)=45, ·无论m为何值，方程总有实根. 整理，得x一8x十15=0， (2)由题意，知x1十x2=2m一1，x1x2= 解得x1=3,x2=5. -3m2十m. 当x=3时，BC=24-9=15>10不成立， :2+=十xi_(x1十x) -2=-5 当x=5时，BC=24-15=9<10成立. 2 答：AB的长为5m. TIT2 (2m-1)3 6.解：设道路的宽应为xm.根据题意，得 -3m2+m -2=- 2,整理，得5m2-7m+ (50-2x)(38-2x)=1260. 2=0, 解得x1=4,x2=40(不合题意，舍去). 所以x=4. 解得m-1或m一号经检验m-1或m-号是原 答：道路的宽应为4m 7.D8.5cm 方程的根，且符合题意，放m的值为1或 9.解：(1)设矩形ABCD的边AB长为xm,则边BC 长为70一2x+2=(72-2x)m 13.解：(1)一元二次方程(k一2)x2一4x十2=0有两 根据题意，得x(72一2x)=640. 个不相等的实根， 化简，得x2一36x+320=0. ÷-4x04-2X2>0. 解得x:=16,x2=20. 当x=16时，72-2x=72-32=40(cm): 解得k<4且k≠2. 当x=20时，72-2x=72-40=32(cm). (2)结合(1)可知k=3, 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽 .方程可化为x2一4x+3=0, 为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. .(x-1)(x-3)=0, (2)不能.理由如下： 解得x1=1,x2=3. 由题意，得x(72-2x)=650. 37