4.5 一元二次方程根的判别式-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第4章 一元二次方程 4.5一元二次方程根的判别式 情 境 导 入 4.5一元二次方程根的判别式 你会解方程x2+2x+5=0吗？试一试. 方法一： 因为22-4×1×5＜0，所以无法用公式法解这个方程. 方法二： 配方，得(x+1)2=-4. 因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根. 新 课 探 究 4.5一元二次方程根的判别式 由4.3节我们已经知道，当b2-4ac≥0时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 可以利用求根公式 x= 求出它的根. 你发现当b2-4ac＞0与b2-4ac=0时，方程的两个根分别具有什么特征？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 ① 求根公式 x= . (1) 当b2-4ac＞0时,由于 是正数，-是负数，所以是两个不相等的实数根，因此方程①有两个不相等的实数根： x1= , x2= . 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 合作探究 一元二次方程 ax2+bx+c=0 ① 求根公式 x= . (2) 如果b2-4ac=0,那么 =0，这时方程①有两个相等的实根： x1= x2=-. 如果b2-4ac＜0，方程①的根具有什么特征？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 ① 求根公式 x= . (3) 如果b2-4ac＜0,将方程①配方后，得 (x+)2=. 方程的右边由于分母4a2＞0，所以 ＜0， 而(x+)2不可能是负数，这时方程①没有实根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 由前面的探究可知，一元二次方程ax2+bx+c=0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式b2-4ac的值的符号，因而把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式. 通常用Δ表示，即Δ= b2-4ac. “Δ”是希腊字母，读作“delta”. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程 ax2+bx+c=0 上述命题的逆命题也成立，小组合作说出它的逆命题. 当Δ＞0时有两个不相等的实根； 当Δ=0时有两个相等的实根； 当Δ＜0时没有实根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 逆命题： 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实根，那么Δ＞0； 如果有两个相等的实根，那么Δ=0； 如果没有实根，那么Δ＜0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+x-4=0; (2)4y2+9=12y; (3)5(t2+1)-6t=0. 解：(1)这里a=2,b=1,c=-4, ∵ Δ=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33＞0, ∴方程有两个不相等的实根. (2)把原方程化为一般形式，得 4y2-12y+9=0. 这里a=4,b=-12,c=9. ∵ Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0， ∴原方程有两个相等的实根. (3)把原方程化为一般形式，得 5t2-6t+5=0. 这里a=5,b=-6,c=5. ∵ Δ=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64 ＜0， ∴原方程没有实根. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例2】已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根. (1) 求k的取值范围；(2)选择一个k的正整数值，并求出方程的根. 解:(1) ∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根，∴Δ=(-3)2-4k＞0,即9-4k＞0, 解不等式，得k＜. ∵ kx2-3x+1=0是一元二次方程，∴k≠0,故k的取值范围是k＜且k≠0. (2)取不等式k＜的一个正整数解k=2,则方程为2x2-3x+1=0. 解这个方程，得x1=1, x2=. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (1) 运用根的判别式时，必须将方程化为一般形式. (2) 方程有两个实根时，Δ≥0. (3) 无法确定方程是否为一元二次方程时，应分类讨论. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 挑战自我 有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2-12x+k=0的两根，求k的值. 解:(1)当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实根，所以Δ=0，即(-12)2-4k=0,解得k=36. 此时方程为x2-12x+36=0,解得x1=x2=6.长为3,6,6的线段能构成等腰三角形. (2)当3为等腰三角形的腰长时，则x=3是方程的根，把x=3代入方程，得9-36+k=0,所以k=27,所以方程为x2-12x+27=0,解得x1=3,x2=9. 因为3+3＜9，所以长为3,3,9的线段不能构成三角形，所以k=27不符合要求. 综上，k的值为36. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1.下列一元二次方程中有两个相等实根的是（ ） A.2x2-6x+1=0 B.3x2-x-5=0 C.x2+x=0 D.x2-4x+4=0 【解析】选项D中，Δ=0，所以有两个相等实数根. D 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 2.a,b,c为常数，且(a-c)2＞a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（ ） A.有两个相等的实根 B.有两个不相等的实根 C.无实根 D.有一根为0 【解析】因为(a-c)2＞a2+c2, 所以a2-2ac+c2 ＞a2+c2, 所以-2ac ＞0,所以Δ=b2-4ac＞0, 所以方程有两个不相等的实根. B 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 3.已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根． (1) 求m的取值范围；  (2) 当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 解： (1)Δ=4m2-4(m-2)(m+3)＞0且m-2≠0， 解得m＜6且m≠2. (2) m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2+10x+8=0， ∴a=3，b=10，c=8，Δ=b2-4ac=102-4×3×8=4＞0. 所以x==. ∴x1=-，x2=-2． 课 堂 小 结 4.5一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式 根的判别式 Δ =b2-4ac 与根的关系 应用 Δ＞0↔方程有两个不相等的实根 Δ=0↔方程有两个相等的实根 Δ＜0↔方程没有实根 不解方程确定方程根的情况 由根的情况确定字母的值或范围 THANK YOU $