4.4 用因式分解法解一元二次方程-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第4章一元二次方程 4.4用因式分解法解一元二次方程 情 境 导 入 4.4用因式分解法解一元二次方程 2 1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? 2.什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 直接开平方法 配方法 x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0) 公式法 新 课 探 究 4.4用因式分解法解一元二次方程 对于一元二次方程x2+7x=0,用配方法和公式法都可以求出它的解，还有更简便的求解方法吗？ 思考下面的问题： (1) 这个方程的两边有什么特征呢？ 方程的右边为0， 左边可以分解成两个一次因式的积：x(x+7). 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 对于一元二次方程x2+7x=0,用配方法和公式法都可以求出它的解，还有更简便的求解方法吗？ 思考下面的问题： (2) 小莹的解法是：把方程左边的多项式进行因式分解，得x(x+7)=0,从而x=0,或x+7=0. 所以x1=0,x2=-7. 你同意小莹的解法吗？这种解法的依据是什么？ 同意.这种解法的依据是： 如果两个因式中有一个因式为0，那么它们的积也就等于0； 如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个因式等于0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 当一元二次方程的一边是0，另一边可以分解为两个一次因式的积时，可分别令两个一次因式为0，得到两个一元一次方程.这两个一元一次方程的根都是原一元二次方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法 若a=0或b=0,则ab=0.反之，若ab=0，则a=0或b=0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 快速说出下列方程的解： (1) (x-2)(x-3)=0; x1 =（ ）, x2 = ( ); (2) (2x+3)(x-4)=0; x1 =（ ）, x2 = ( ); (3) (4x-1)(5x+7)=0. x1 =（ ）, x2= ( ). - - 2 3 4 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 对于一元二次方程x2+7x=0,用配方法和公式法都可以求出它的解，还有更简便的求解方法吗？ 思考下面的问题： (3) 分别用配方法和公式法解原方程，验证用这三种方法求得的根是一致的. 解：配方法： (x+)2=()2, x+= ± ， 即x1=0,x2=-7; 公式法： 这里a=1,b=7,c=0,b2-4ac=49 ＞0, 所以x=, 即x1=0,x2=-7. 验证可得，三种方法求得的根一致. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 思考下面的问题： 三种解法的降次依据分别是什么？ 配方法利用平方根的意义实现降次； 公式法是把解方程转化为求代数式的值实现降次； 因式分解法是通过把一元二次方程化为两个一元一次方程实现降次. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】用因式分解法解方程： (1)15x2+6x=0; (2)4x2-9=0. 解:(1)把方程左边因式分解， 得3x(5x+2)=0, 从而x=0,或5x+2=0. 所以x1=0,x2=-; (2)把方程左边因式分解，得(2x+3)(2x-3)=0, 从而2x+3=0,或2x-3=0. 所以x1=-,x2=. 运用因式分解法，通过降低未知数的次数，便把解一元二次方程的问题转化为解两个一元一次方程的问题. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例2】用因式分解法解方程： (2x+1)2=(x-3)2. 解：移项，得 (2x+1)2-(x-3)2=0. 把方程的左边进行因式分解，得 (2x+1+x-3)(2x+1-x+3)=0. 即(3x-2)(x+4)=0. 从而3x-2=0, 或x+4=0. 所以x1=, x2=-4. 还有其他的求解方法吗？ 还可以根据平方根的意义求解. 过程如下： 根据平方根的意义，得2x+1=±(x-3), 所以2x+1=x-3或2x+1=-(x-3), 所以x1=-4, x2=. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 挑战自我 (1)对于本节课开始给出的方程x2+7x=0,小亮是这样解的： 把方程两边同除以x,得 x+7=0, 所以x=-7. 怎么少了一个根？ 小亮的解法错在什么地方？ (2)对于例2，大刚想到的解法是： 把原方程两边开平方，得 2x+1=x-3, 所以x=-4. 怎么也少了一个根？ 大刚的解法错在什么地方？ 本题中的x可以为0， 因此方程两边不能同除以x. 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数. 新课探究 情境导入 课堂小结 解一元二次方程的注意事项 1.方程两边都乘(或除以)同一个整式时，要保证整式不为0； 2.方程两边开平方时，不能漏掉“±”； 3.当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式时，才能用因式分解法求解. 新课探究 情境导入 课堂小结 1.下列方程，最适合用因式分解法解的是（ ） A.(x-1)(x-2)=3 B.2(x-1)2=x2-1 C.x2+2x-1=0 D.x2+4x=2 B 【解析】选项A,整理得x2-3x-1=0,方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项B，原方程可化为2(x-1)2=(x+1)(x-1),移项后方程左边可提取公因式(x-1),能进行因式分解；选项C，方程左边不能进行因式分解，故不适合；选项D，整理得x2+4x-2=0,方程左边不能进行因式分解，故不适合. 新课探究 情境导入 课堂小结 2.方程2x2=3x的解为（ ） A. x=0 B. x= C. x=- D. x1=0, x2= 【解析】移项，得2x2-3x=0,左边因式分解，得x(2x-3)=0, 所以x=0或2x-3=0,所以x1=0, x2= . D 新课探究 情境导入 课堂小结 一元二次方程的四种解法 方法 理论依据 适用题型 关键步骤 根据平方根的意义 配方法 公式法 因式分解法 平方根的意义 完全平方公式 完全平方公式 如果两个因式的积为0，那么这两个因式至少有一个为0 (mx+n)2=p(p≥0)或 (ax+b)2=(cx+d)2 所有一元二次方程 所有一元二次方程 一边是0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程 开平方 配方 代入求根公式 分解因式 课 堂 小 结 4.4用因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程的步骤 1 2 3 4 令每个因式为0，得到两个 一元一次方程； 将方程右边化为0; 将方程左边分解为两个一次因式的积； 两个一元一次方程的根就是原方程的根. THANK YOU $