4.2 用配方法解一元二次方程 第1课时 用配方法解一元二次方程（1）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第4章一元二次方程 4.2用配方法解一元二次方程 第1课时 用配方法解一元二次方程(1) 情 境 导 入 4.2用配方法解一元二次方程 第1课时 用配方法解一元二次方程(1) 复习回顾 1.如果x2=a,那么x叫做a的平方根. 当a为正数时，a有两个平方根，即x的值有两个，为 ； 当a为0时，由于平方等于0的数只有一个，所以0的平方根也只有一个，即为_____； 当a为负数时， a没有平方根，即x的值不存在. 2.（ ）2=a2-2ab+b2; （x+ ）2=x2+4x+ . a-b 2 4 0 单击此处添加标题文本内容 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得 x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得 x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 4.2用配方法解一元二次方程 第1课时 用配方法解一元二次方程(1) 新 课 探 究 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 探究归纳 一般地，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 x1=, x2=- ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 利用直接开平方法解下列方程: (1) x2=6； (2) x2－900=0. 解： （1） x2=6， 直接开平方，得 （2）移项，得 x2=900. 直接开平方，得 x=±30， ∴x1=30, x2=－30. 典例精析 x=±， ∴x1=, x2=－. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 在解方程(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到: （x+3)2=5 ， ② 得x+3= 对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5. 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 x1=-3, x2=－-3. ∴x+3=，或x+3=- ③ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 解题归纳 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 问题：填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想： x2+px+( )2=(x+ )2 配方的方法 新 课 探 究 观察下面的三个一元二次方程： (x+5)2=9, ① x2+10x+25=9, ② x2+10x=-16. ③ (1) 根据平方根的意义，你会解方程①吗？它有几个根？ 解：根据平方根的意义，方程①可以转化成两个一元一次方程， x+5=3和x+5=-3. 解得方程的根分别为x1=-2和x2=-8，则方程①有两个根. 加油站 与一元一次方程不同，由于正数开平方时，有两个互为相反数的平方根，所以一元二次方程可以有两个实数根，通常用x1,x2分别表示未知数为x的一元二次方程的两个根. 新课探究 情境导入 课堂小结 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 观察下面的三个一元二次方程： (x+5)2=9, ① x2+10x+25=9, ② x2+10x=-16. ③ (2) 比较方程②与方程①，它们有什么联系？根据这种联系解方程②. 解：联系：根据完全平方公式方程①的左边(x+5)2=x2+10x+25, 方程②的左边因式分解x2+10x+25=(x+5)2. 方程②和方程①可以互相转化. 所以可以按照方程①的解法解方程②，得x1=-2和x2=-8. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 观察下面的三个一元二次方程： (x+5)2=9, ① x2+10x+25=9, ② x2+10x=-16. ③ (3) 比较方程②与方程③ ，有什么相同和不同？对于解方程③， 能得到什么启示？ 解：方程②和③的二次项系数、一次项系数都相同， 只有常数项不同，方程③的两边都加上25就转化为方程②. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 对于方程x2+10x=-16，小莹的解法是： 在方程两边都加上25，得 x2+10x+25=9, 即(x+5)2=9. 由平方根的意义，得 x+5=±3. 所以，x1=-5+3=-2, x2=-5-3=-8. 你同意小莹的解法吗？ 同意. 在小莹的解法中，有两步非常关键，第一步是利用等式的基本性质两边同加25，使方程的左边成为一个完全平方式.第二步是通过开平方，将一元二次方程转化为一元一次方程. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 为什么在方程x2+10x=-16的两边都加上25后，方程左边 就变成了一个完全平方式？ 因为二次项的系数为1，且25等于一次项系数10的一半的平方. 配方法 当二次项的系数为1时，可先把常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，就把方程的左边配成了一个完全平方式，从而可以由平方根的意义求解方程.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 【例1】解方程： (1) x2+4x=12; (2)x2-3x+2=0. 解：(1) 配方，方程两边都加4， 得x2+4x+4=16, 即(x+2)2=16. 由平方根的意义，得 x+2=±4, 所以x1=2,x2=-6. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 (2) 移项，得x2-3x=-2. 配方，方程两边都加 ，得x2-3x+=-2+, 即=. 由平方根的意义，得x-=±. 所以x1=2,x2=1. 【例1】解方程： (1) x2+4x=12; (2)x2-3x+2=0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 挑战自我 如何用配方法解方程 (x+1)2+2(x+1)=8?能找到几种解法？ 解：方法一： 原式整理，得x2+4x=5. 配方，得x2+4x+4=5+4, 即(x+2)2=9. 根据平方根的意义，得x+2=±3. 所以x1=1,x2=-5. 方法二：把原式看作以(x+1)为未知数的一个一元二次方程，设其为t. 配方，得t2+2t+1=9,即(t+1)2=9. 根据平方根的意义，得t+1=±3. 所以t1=2,t2=-4. 因为x+1=t,所以x=t-1, 所以x1=1,x2=-5. 换元法 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 解：（x-2）²=5 ∴x-2= x-2=或x-2=- ∴方程的两根为 x1=2+,x2=2- 练习 解下列方程： （1） x²-4x+4=5 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得x-4= 即 (2) x²-8x+1=0. x1=4+,x2=4- 课 堂 小 结 4.2用配方法解一元二次方程 第1课时 用配方法解一元二次方程(1) 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如（x + m）2 = n (n≥0) 将方程转化为（x + m）2 = n (n≥0)的形式，再用直接开平方法， 直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 THANK YOU $