4.1 一元二次方程 第1课时 一元二次方程（1）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第4章 一元二次方程 4.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程(1) 情 境 导 入 4.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程(1) 什么叫方程？我们学习过哪些方程？ 复习回顾 新 课 探 究 4.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程(1) 【过程分析】 探究一、 教室的面积为54m2,长比宽的2倍少3m,如果要求出教室的长和宽，怎样根据问题中的数量关系列出方程？ 设这个教室的宽为xm，则它的长为_________m. 根据问题中的等量关系 长×宽=矩形的面积， 可以得到方程：_________________________. 2x-3 x(2x-3)=54 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 探究二、 直角三角形斜边长为11cm,两条直角边的差为7cm，如果要求出两条直角边的长，应该怎样列出方程？ 【过程分析】 设较短直角边的长为xcm,则较长直角边的长为______cm. 根据问题中的等量关系 两条直角边的平方和=斜边的平方, 可以得到方程：_________________________. x2+(x+7)2=112 x+7 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 探究三、 如图，点C是线段AB上的一点，且 .如果要求 的值，应该怎样列出方程？ 【过程分析】 根据问题中的等量关系 ,即AC2=AB · CB, 可以得到方程：_________________________. x2=1-x A B C 设AB=1，AC=x,由AC+CB=AB可知，CB的长为_________. 1-x 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 由前面的问题探究，得到了如下三个方程： x(2x-3)=54 , ① x2+(x+7)2=112 , ② x2=1-x . ③ 化简整理 2x2-3x-54=0, x2+7x-36=0, x2+x-1=0. 方程①②③与整理后的三个方程有哪些共同特征？ 1.方程两边都是_________； 2.只含有________个未知数； 3.整理后未知数的最高次数都是_______. 整式 一 2 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 等号两边都是整式 2. 只含有一个未知数 3. 整理后未知数的最高次数都是2 像这样的方程还有很多. 观察上面的方程，你发现它们有哪些共同特征？ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 方程两边都是整式，它们都只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 一元一次方程 一元二次方程 一般式 相同点 不同点 思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A.x2-2=(x+3)2 B.3x2+5xy+6y2=0 C.(x-2)(x+3)=5 D.3x2+-2=0 【解析】A项经去括号合并同类项后变形为6x+11=0,为一元一次方程；B项含有两个未知数，不符合条件； C项整理后化为x2+x-11=0,符合条件；D项中分母含有未知数，不是整式，不符合条件. C 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 小组合作，分别说出方程①②③化成一般形式后的二次项、一次项、常数项，以及二次项系数和一次项系数. 方程 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 2x2-3x-54=0 x2+7x-36=0 x2+x-1=0 2x2 -3x -54 2 -3 x2 x2 7x x -36 -1 1 1 7 1 注意：系数和项均包括前面的符号. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例1.把方程(2x+1)(3x-2)=x2+2化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数. 解：将原方程去括号，得 6x2+3x-4x-2=x2+2. 移项，合并同类项，得 5x2-x-4=0. 方程的二次项为5x2,一次项为-x,常数项为-4； 二次项系数为5，一次项系数为-1. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 挑战自我： a为何值时，方程ax2-x=2x2-ax-3是一元二次方程？a为何值时，是一元一次方程？ 分析： 只有当二次项系数a≠0时， 方程ax2+bx+c=0才是一元二次方程. 解：原式整理得 (a-2)x2+(a-1)x+3=0. 当a≠2时，是一元二次方程； 当a=2时，是一元一次方程. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 k为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)kx2+x=2x2 (2) (k－1)x |k|+1 +3x－5=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(k-2)x2+x=0,所以当k-2≠0，即k≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣k∣+1=2，且k-1≠0知，当k=-1时，原方程是一元二次方程. 【点睛】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 课 堂 小 结 4.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程(1) 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 一般形式 ax2+bx+c=0 (a ≠0) a≠0是一元二次方程的必要条件； 确定一元二次方程的二次项系数、 一次项系数及常数项要先化为一般式. THANK YOU $