2.5 解直角三角形的应用 第3课时 解直角三角形的应用（3）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版）

第2章 解直角三角形 2.5解直角三角形的应用 第3课时 解直角三角形的应用(3) 情 境 导 入 2.5解直角三角形的应用 第3课时 解直角三角形的应用(3) 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 新 课 探 究 2.5解直角三角形的应用 第3课时 解直角三角形的应用(3) α l h i = h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i = 1 : 6. 如图所示，坡面的铅垂高度 ( h ) 和水平长度 ( l ) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作 i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 概念学习 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 坡度与坡角的关系： 即坡度等于坡角的正切值. α l h i = h : l 坡面 水平面 显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 斜坡的坡度是 1∶，则坡角 α = 度. 2. 斜坡的坡角是 45° ，则坡比是 . 3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是 . α l h 30 1 : 1 简单应用 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1 : 3 ，斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.5 ， 求坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到0.1m ）； 典例分析 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 分析：由坡度 i 会想到产生铅垂高度，即分别过点 B，C 作 AD 的垂线； 垂线 BE、CF 将梯形分割成 Rt△ABE，Rt△CFD 和矩形 BEFC，则 AD = AE + EF + FD， EF = BC = 6 m，AE、DF 可结合坡度，通过解 Rt△ABE 和 Rt△CDF 求出； 斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.（转化） 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 解：(1)分别过点 B，C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E， F，由题意可知 BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中，∵i=，∴AE=3BE=3×23=69 m. 在 Rt△DCF 中，同理可得i= 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得 AB== ∴AD=AE+EF+FD= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m 答：坝底宽 AD 为 132.5 米，斜坡 AB 的长约为 72.7 米． 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 解：作DE⊥AB，CF⊥AB， 垂足分别为E，F． 由题意可知 　 DE＝CF＝4 (米)， CD＝EF＝12 (米)． 在 Rt△ADE 中， 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾斜角分别是 45°和 30°，求路基下底的宽(精确到 0.1 米， ） 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F 巩固训练 ∵i= ∴∴AE 新课探究 情境导入 课堂小结 在 Rt△BCF 中，同理可得 BF= 因此 AB＝AE＋EF＋BF ≈ 4＋12＋6.93 ≈ 22.93 m． 答： 路基下底的宽约为 22.93 米． 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F ∴AE= 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 h α α l ) l h ) 与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ 拓展延伸 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这段山坡的高度 h1 = l1 sin α1. 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再“积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h. h1 α1 l1 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　） A．75m B．50m C．30m D．12m 2．如图，一人乘雪橇沿坡比1： 的斜坡笔直滑下72米，那么他下降的高度为　 　米． A 36 达标检测 课 堂 小 结 2.5解直角三角形的应用 第3课时 解直角三角形的应用(3) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． THANK YOU $