精品解析：安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题

合肥七中2025-2026学年度第一学期高三第一次质量检测 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据：） A. 函数关系也可作为这壶外水的冷却模型 B. 当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟 C. 若，则 D. 这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短 11. 设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左､右附近，异号，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极小值为-4 C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数有一个零点，则实数的取值范围是__________. 13. 已知直线是曲线与的公切线，则__________. 14. 在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）. 16. 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1. (1)证明：(x)是偶函数； (2)证明：(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式(2－1)<2. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 18. 已知定义在上的奇函数满足，（且）． （1）求的值． （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围． （3）若且函数满足，其中，问是否存在实数，使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值或取值范围；若不存在，说明理由． 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数在上的极值点的个数． （2）若函数． （i）设点和点是曲线上任意两点（不重合），曲线在这两点处的切线能否重合?若能，求出该切线方程；若不能，说明理由． （ii）当时，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥七中2025-2026学年度第一学期高三第一次质量检测 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ） A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3} C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集概念求解. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断选项A，B，C，作差法判断选项D. 【详解】因为为非零实数，且， 所以取， 则，， 故A，B选项不正确； 取，则， 故选项C不正确， 选项D，由， 因为，所以， 即，故选项D正确. 故选：D. 4. 已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可. 【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当或时，两图象相交， 若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论： 当时，显然两图象之间不连续，即值域不为； 同理当,值域也不是； 当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 5. 已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 6. 已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据是定义在上的奇函数可推导出；用替换中的，可求出的周期；根据周期可得的值. 【详解】，， 用替换中的得到： ， ， 的最小正周期是4， 是定义在上的奇函数，， 时，，， ，， ， 的最小正周期是4， ， ， . 故选：C 7. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 8. 设函数，若关于的方程恰好有六个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出的图象，由图象求得与有个交点时，的取值范围.结合一元二次方程零点分布的知识列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】画出函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程在内有两个不同实数根， ∴， 解得， ∴实数的取值范围为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断. 【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确； B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错； C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为（单位：℃），环境温度为（，单位℃），物体的温度冷却到（，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关系为，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据：） A. 函数关系也可作为这壶外水的冷却模型 B. 当时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟 C. 若，则 D. 这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到；对C，根据，解出值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可. 【详解】对A，由，得， 所以，整理得．A项错误； 对B，由题意可知． ，B项正确； 对C，由，得，即，则．C项正确； 对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为分钟，则， 设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为分钟， 则， 因为，所以，D项正确． 故选：BCD． 11. 设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左､右附近，异号，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极小值为-4 C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，结合求导得出函数单调性及极值计算判断各个选项即可. 【详解】对于A，由可得，， 因为是该函数的对称中心，依题意得，，解得，故A错误； 对于B，由A易得，则， 由可得，由可得或， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 故函数在时取得极小值为，故B正确； 对于C，由，可解得或.作出函数的图象如图1， 由图知，当函数在区间上存在最小值时，可得，故C正确； 对于D，设切点为，由B项知，切线斜率为， 则切线方程为，即， 因切线经过点，则， 整理得，依题意，这个关于的方程有3个不等实根. 设，则， 由可得，由可得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在时取得极小值，在时取得极大值. 作出函数的图象如图2，由图知，当且仅当时，直线与函数有3个交点， 即当时过点可以作三条直线与的图象相切，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数有一个零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令有，即与的图像只有一个交点，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令有，所以与图像只有一个交点， 作出的图像， 由图可有或，即或， 所以， 故答案为：. 13. 已知直线是曲线与的公切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算. 【详解】设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即 同理，设曲线上切点，， 切线斜率，切线方程， 即， 所以，解得， 所以，，. 故答案为：. 14. 在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数和图象上的动点，若对任意，有恒成立，则实数m的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构思想构造，得到其单调性，得到，再构造，，求导得到其单调性及其最小值，设设，利用基本不等式得到，求出答案. 【详解】，令，， 则 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值，故， 故，当且仅当时，等号成立， 令，， 则， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 又，故当时，，当时，， 故时，，单调递减，当时，，单调递增， 故在处取得极小值，也时最小值，最小值为， 设， 由基本不等式得， ， 当且仅当，，时，等号成立， 故，则． 故答案为： 【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题变形得到，从而构造进行求解. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得； 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 16. 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1. (1)证明：(x)是偶函数； (2)证明：(x)在(0，＋∞)上是增函数； (3)解不等式(2－1)<2. 【答案】 （1）证明：令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)， ∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0， ∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数． （2）证明：设x2>x1>0， 则f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1) ＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()， ∵x2>x1>0，∴>1. ∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1)． ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再由，求得，进而得出，即可得到证明； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数； （3）由（1）（2）可把不等式 转化为，进而得，结合，即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2. 又∵f(x)是偶函数， ∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)<f(4)． 又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x2－1|<4. 解得－ <x<，又，解得：， 即不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的定义法证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，合理运算、化简是解答的关键，同时考查了转化思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若存在极大值，且极大值不大于，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果. （2）讨论的范围，得到时，的极大值为，通过构造函数分析单调性可得结果. 【小问1详解】 当时，，故， ∴， ∴曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意得，，故函数的定义域为， ∵，∴， 当时，，，在上为增函数，无极值. 当时，由得， 由得，，由得，， ∴在上为增函数，在上为减函数， ∴当时，有极大值，极大值为， ∴，即， 令，则， ∵，∴， ∴在上为增函数， ∵， ∴要使，则， ∴实数a的取值范围是. 18. 已知定义在上的奇函数满足，（且）． （1）求的值． （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围． （3）若且函数满足，其中，问是否存在实数，使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值或取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由上的奇函数的性质代点计算即可求得的值； （2）由可得，由（1）及题设条件求出，根据该函数的单调性，将题设不等式化成在上恒成立，设，利用求导判断其单调性，求出最大值，即得参数的取值范围； （3）先由求出，则得，设，由推得，则，由题意，在上恒成立且等号成立，根据参数分类讨论函数的单调性和最值情况，即得参数的取值范围. 【小问1详解】 因是定义在上的奇函数，故，由可得， 则由，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，设，则， 代入可得，故， 由，可得，又 ，故得， 则在上为增函数， 由在上恒成立， 可得在上恒成立，也即在上恒成立. 设，则，由，解得， 则当时，，当时，. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 又，即时，，故. 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）可得，即，因，解得，则， 则由可得， 化成对数式，则有， 设，则，因，则， 此时. 因函数在上的最大值为0，则在上恒成立且等号成立. 当时，取得最小值1；当时，取得最大值1. 设，其对称轴为直线. ① 当时， ，则函数在时取得最小值， 即，解得，不合题意，舍去； ② 当时，，则函数在时取得最大值， 即，解得，符合题意； ③ 当时，，则函数在时取得最大值， 即，符合题意. 综上，存在实数，使函数在上的最大值为0. 19. 已知函数，其中． （1）讨论函数在上的极值点的个数． （2）若函数． （i）设点和点是曲线上任意两点（不重合），曲线在这两点处的切线能否重合?若能，求出该切线方程；若不能，说明理由． （ii）当时，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）当时，无极值点，当时，有一个极值点 （2）（i）不能重合，理由如下： ，， 不妨设，所以在点的切线方程为， 即， 同理可得在点的切线方程为 ，又两切线重合， 所以，即， 即， 令，则， ， 所以在上单调递增，则，即无解， 所以曲线在这两点处的切线不能重合. （ii）1 【解析】 【分析】（1）求导，分及讨论即可求解； （2）（i）根据导数的几何意义得到在点和在点的两条切线方程，利用重合建立方程组，消元化解得，换元构造函数，根据导数判断零点的存在性即可求解； （ii）令，不等式可化为，利用特值法（）初步确定参数范围，然后证明时，恒成立即可. 【小问1详解】 的定义域为，， 当，，在单调递增，无极值点， 当时，， 时，，单调递增，时，，单调递减， 所以，此时有一个极值点， 综上，当时，无极值点，当时，有一个极值点. 【小问2详解】 （i）略 （ii），，令，， 即， 即在恒成立， 令， 又，解得， 当时，， 令， ，令， ，所以在单调递增， 又，所以时，，单调递减， 时，，单调递增，所以， 即， 综上，，的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $