第24章 圆提分重点-2025-2026学年九年级数学上册单元复习提分（人教版）

第24章圆 第24章全章提分重点 重点1圆的相关性质 (弧、弦、圆心角、圆周角、点和圆的位置关系) 1.如图，在⊙0中，AB/0C,若∠0BA=40°，则∠BAC的度数是() A.50° B.30° C.25° D.20° 2.如图，△ABC与⊙0交于D,E,C,B,∠A=40°，∠C=60°，则LAED的度数是( A.60° B.40° C.80° D.100° D 3.如图，在⊙O中，AB=CD,则下列结论：①AB=CD:②AC=BD;③LAOC=∠BOD; ④AC=BD,其中正确的是 (填序号). 4如图，AB是半圆O的直径，弦AD,BC相交于点P,∠DPB=60°，D是BC的中点，则怨=一 D 28/40 第24章圆 5.如图(1)，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE1AB于E,D为弧BC的中点，连接AD, 分别交CE,CB于点F和点G EO 图1) 图2) (1)求证：CF=CG (2)如图(2)，其他条件不变，若AF=DG,连接0G,求证：OG1AB 重点2垂径定理及其推论 6.如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M,则下列条件中不能得到 CD1AB的是() A.AM-BM B.OM=CM C.AC =BC D.AD=BD A B 7.已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的弦，点P在弦AB上，若PA=2,PB=4,则0P=() A.v14 B.V15 C.17 D.3V2 29/40 第24章圆 8.如图(1)所示的装饰盘由圆盘和支架组成，它可以看成是如图(2)所示的几何图形.已知AC= BD=5cm,AC1CD,垂足为点C,BD1CD,垂足为点D,CD=16cm,⊙O的半径r=10cm, 则圆盘到桌面CD最近的距离是( 0 B 图(1) 图(2) A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1 cm 9.如图，⊙O的直径AB=12,弦CD1AB于点E,连接BD,若BD=CD,则AE的长是 B A 10.如图，已知⊙O中弦AB=8,点P是AB上一动点，连接AP,BP,过点O作OC1PA于点C, OD⊥PB于点D,连接CD (1)若点P运动到AB的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径 (2)在点P运动过程中，线段CD的长是否发生变化？若不变，求出线段CD的长 若改变，请说明理由」 30/40 第24章圆 重点3切线的性质与判定 11.如图，AB是⊙0的弦，作0C10A交⊙0的切线BC于点C,交AB于点D.已知∠0AB=20°， 则上OCB的度数为() B A.20° B.30° C.40° D.50° 12.己知AB是⊙0的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C. B B 0 0 D 图1) 图(2) (1)如图(1)，若∠P=35°，连接0C,求LB0C的度数 (2)如图(2)，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙0的切线 31/40 第24章圆 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延 长线于点E,CE=BC (1)求证：CE是⊙0的切线， (2)若CD=2,BD=2V5,求⊙0的半径 B 重点4内心与外心 14.在△ABC中，∠C=30°，AB=3,则△ABC的外接圆的半径长为· 15.如图，在△ABC中，∠A=54°，点0是△ABC的内心，则∠B0C=° 16.如图，等腰三角形ABC内接于⊙O,AB=AC,点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O 于点D,点E在BD的延长线上，满足∠EAD=∠CAD.求证： (1)OA所在的直线经过点I. (2)点D是IE的中点 32/40 第24章圆 重点5正多边形与圆 17.如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,若四边形AOEF的面积为2√3，则⊙0的半径 等于( B A.1 B.2 C./2 D.v3 18.已知⊙0的半径为1，则它的内接正三角形的边心距为_ 19.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则∠APC的度数为 D ·0 重点6孤长与扇形面积 20.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=3,以点A为圆心，AB的长为半径 画弧，分别交BC,AC于点E,D,则图中阴影部分的周长是 21.如图，C,D是以AB为直径的半圆上的两点，连接BC,CD,AC,BD,若BC=CD,∠ACD=30°， AB=12,则图中阴影部分的面积为· D 33/40 第24章圆 提分专题5圆与辅助线 类型1添半径。得等腰 1.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD=OA,CD的延长线 交⊙0于点E,连接0E若LC=20°，则∠B0E的度数是_ B 2.如图，AB,CD是⊙O的直径，弦CE/AB,弧CE的度数为40°，则LAOC的度数为 D B C 类型2构造直径所对的圆周角 3.如图，AB是⊙O的直径，点C,D,E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数是( A.110° B.115° C.120° D.125 B 4.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=25°，点D在AC上，则∠D的度数是() 0 B A.65° B.115° C.130° D.135° 34/40 第24章圆 5.如图，已知⊙0的直径为8，A,B,C三点在⊙0上，且∠ACB=60°，则AB长为 ·0 B 类型3還90°圆周角，构造直径 6.如图，⊙A经过原点和点C(4,0),BD是⊙A的一条弦，∠B=30°，则点D的坐标为() A.(2,0) B(0,23) C(0,43) D.(3,0) D .A B 7.如图，有位同学把直角三角板的直角顶点0放在破损的圆形玻璃的圆弧上，两直角边与圆弧 分别交于点M,N,量得OM=8cm,ON=6cm,他就知道圆形玻璃的半径是cm. M 类型4圆上多点，构造圆内接四边形 8.如图，点A,B,C,D,E都在⊙O上，BE是直径，BE/CD,LE=28°，则LA的度数为 A.28° B.56° C.62° D.68° 35/40 第24章圆 9.如图，点A,B,C,D,E都是⊙0上的点，AC=AE,∠D=128°，则∠B的度数为( A.128° B.126° C.118° D.116° 10如图，在△AEC中，AE=CE,⊙O经过△AEC顶点A,C,与AE,CE分别交于点B,D: 求证：AB=CD ·0 类型5有弦的中点时，构造三角形中位线 11.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的两个动点（点C,D不与A,B重合），在运动过 程中弦CD的长度始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE1AB于点E.若CD=6,AB=10, 则EF的最大值为，此时CE的长度为一 C F D OE B 36/40 第24章圆 12.如图，在半径为5的扇形A0B中，∠A0B=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A,B 重合)，OD1BC,OE1AC,垂足分别为D,E. (1)当BC=6时，求线段OD的长 (2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在， 请说明理由 B 类型6有切线，连圆心与切点，得垂直 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D 若BE=3,BD=35,则半圆0的半径为 E B 37/40第24章圆 第24章全章提分重点 重点1圆的相关性质 (弧、弦、圆心角、圆周角、点和圆的位置关系) 1.如图，在⊙0中，AB/0C,若∠0BA=40°，则∠BAC的度数是() A.50° B.30° C.25° D.20° 答案：D 解析：AB/0C,∠0BA=40°，÷∠C0B=∠0BA=40°， ∠BAC=∠C0B=20°，故选D, 2.如图，△ABC与⊙0交于D,E,C,B,∠A=40°，∠C=60°，则LAED的度数是() A.60 B.40° C.80° D.100° 答案：C 解析：∠C+∠BDE=180°， ∠BDE=180°-60°=120°.：∠BDE=∠A+∠AED, ·∠AED=120°-40°=80°.故选C 3.如图，在⊙O中，AB=CD,则下列结论：①AB=CD;②AC=BD;③∠AOC=LB0D; ④AC=BD,其中正确的是」 (填序号). 40/64 第24章圆 答案：①②③④ 解析：在⊙O中，AB=CD,AB=CD,故①正确：AB=CD, ·AB-BC=CD-BC,即AC=BD,故④正确：由（④得AC=BD,故②正确：由 (④得LA0C=∠B0D,故③正确.故答案为（①②③④ 4如图，AB是半圆O的直径，弦AD,BC相交于点P,∠DPB=60°，D是BC的中点，则%=一 D 答案： 解析：AB是半圆O的直径，∠ACB=90°.∠DPB=60°， ∠APC=∠DPB=60°，∠CAD=90°-∠APC=30°.：D是BC的中点， BD=CD,∠BAD=LCAD=30°，·∠BAC=LCAD+∠BAD=60°， ∠ABC=90-∠BAC=30,÷始=故答案为对 2 5.如图(1)，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CE1AB于E,D为弧BC的中点，连接AD, 分别交CE,CB于点F和点G B B 图(1) 图2) (1)求证：CF=CG 证明：连接AC,如图(1)AB为⊙O的直径，·∠ACB=90°， ∠CAG+LAGC=90°.：CE1AB,·∠CEA=90°，÷∠FAE+∠AFE=90°.D 为弧BC的中点，÷DC=DB,·LCAG=∠FAE, ∴LAGC=LAFE.:∠AFE=LCFG,·∠AGC=LCFG,÷.CF=CG. 41/64 第24章圆 C D G EO 图(1) (2)如图(2)，其他条件不变，若AF=DG,连接OG,求证：OG1AB H 图(2) 解：连接AC,CD,如图(2).LCFG=∠CGF,180°-∠CFG=180°-∠CGF,·∠AFC=∠CGD 又：CF=CG,AF=DG,÷△AFC≌△DGC(SAS),·AC=CD,÷AC=CD.CD=DB, ..AC DB,LABC LDAB .GA=GB.OA=OB,.GO L AB. 重点2垂径定理及其推论 6.如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M,则下列条件中不能得到 CD1AB的是() A.AM=BM B.OM-CM C.AC BC D.AD=BD B 答案：B 解析：A选项，AM=BM,CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，·AB L CD,故A不符 合题意：B选项，根据OM=CM无法判断CD⊥AB,故B符合题意：C选项，AC=BC,CD 是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB⊥CD,故C不符合题意：D选项，：AD=BD,CD是 ⊙O的直径，AB是非直径的弦，·AB1CD,故D不符合题意.故选B. 7.已知⊙O的半径为5，AB是⊙0的弦，点P在弦AB上，若PA=2,PB=4,则OP=（) 42/64 第24章圆 A.V14 B.v15 C.17 D.32 答案：C 0 PLC 解析：如图， A B 过点0作0C1AB于点C,连接0B,则OB=5.PA=2,PB=4,AB=PA+PB=6.OC1 AB,AC=BC=3,÷PC=PB-BC=1.在Rt△OBC中，根据勾股定理得0C2=OB2- BC2=52-32=16.在Rt△0PC中，根据勾股定理得0P=√OC2+PC7=√16+1=V17, 故选C. 8.如图(1)所示的装饰盘由圆盘和支架组成，它可以看成是如图(2)所示的几何图形.已知AC= BD=5cm,AC1CD,垂足为点C,BD1CD,垂足为点D,CD=16cm,⊙0的半径r=10cm, 则圆盘到桌面CD最近的距离是( 0 D 图(1) 图2) A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1cm 答案：D *0 B 解析：如图， G D 连接AB,OA,过点O作OG L CD于点G,交AB于点E,交⊙O于点F.:AC L CD,BD1CD, ·AC/BD.:AC=BD,四边形ACDB是平行四边形.：LACD=90°，÷四边形ACDB是矩 形，÷AB/CD,AB=CD=16cm.:OG1CD,OG1AB, ÷AE=EB=8cm,.0E=V0A2-AE2=V102-82=6(cm), 43/64 第24章圆 .EF =OF-OE 10-6=4(cm).EG=AC BD 5 cm ·FG=EG-EF=5-4=1(cm),·圆盘到桌面CD最近的距离是1cm,故选D. 9.如图，⊙O的直径AB=12,弦CD1AB于点E,连接BD,若BD=CD,则AE的长是 B E D 答案：3 解析：连接BC,0C,AC,如图：AB=12, ÷OA=6.CD1AB,∴CE=DE,·AB垂直平分CD, BC=BD.又：BD=CD,÷△BCD为等边三角形， ∠D=60°，、∠A=∠D=60°.又：0A=0C, ÷△0CA为等边三角形.：CE1OA,÷0E=AE=二0A=3故答案为3. B E A 10.如图，已知⊙O中弦AB=8,点P是AB上一动点，连接AP,BP,过点O作OC1PA于点C, OD⊥PB于点D,连接CD. B (1)若点P运动到AB的中点，此时点P到弦AB的距离为2，求⊙O的半径. 44/64 第24章圆 B 解：如图， 连接0A,OP,OP交AB于点H.设⊙O的半径为x. 点P是AB的中点，∴OP1AB,AH=BH=AB=4,由题意得PH=2,则OH=x-2.在 Rt△0AH中，A02=0H2+AH2,即x2=(x-2)2+42,解得x=5,即⊙0的半径为5. (2)在点P运动过程中，线段CD的长是否发生变化？若不变，求出线段CD的长： 若改变，请说明理由 解：线段CD的长不变：OC1PA,OA=OP,PC=AC,同理可得PD=BD, ÷CD是△PAB的中位线，÷CD=AB=4, 重点3切线的性质与判定 11.如图，AB是⊙O的弦，作0C1OA交⊙O的切线BC于点C,交AB于点D.已知∠OAB=20°， 则∠OCB的度数为() 0D A.20 B.30° C.40° D.50° 答案：C 解析： 连接0B,如图.：BC是⊙0的切线，∠0BC=90°.：0A=OB,·∠0AB=∠0BA=20°， ∠DBC=70°.：OC1OA,LAOC=90°，.∠0DA=∠BDC=70°，.∠0CB=40°，故选C. 12.已知AB是⊙0的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C. 45/64 第24章圆 0 图(1) 图2) (1)如图(1)，若P=35°，连接0C,求∠B0C的度数 解：PA是⊙O的切线，PA1AB, ∠PAB=90°.∠P=35°，∠B=55°.0B=0C, ÷L0CB=∠B=55°，∠B0C=180°-55°-55°=70°. B 0￥ D (2)如图(2)，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线 证明：如图，连接OC,OD,AC.AB是直径，÷∠ACB=∠ACP=90°.：D为AP的中点，AD= DP,DC=DA=DP.OA=OC,OD=OD,△ODC≌△ODA(SSS),LOCD=LOAD= 90°，OC⊥CD.又：点C在⊙0上，.DC是⊙0的切线 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延 长线于点E,CE=BC (1)求证：CE是⊙0的切线 证明：如图，连接0E.∠ACB=90°，÷∠1+∠5=90°.CE=BC,∠1=∠2.0E=0D, ∠3=∠4.又：∠4=∠5，.∠3=∠5，∠2+∠3=90°，即∠0EC=90°，.0E1CE.又：0E 是⊙O的半径，CE是⊙0的切线 46/64 第24章圆 B 4而 3 E (2)若CD=2,BD=2V5,求⊙0的半径 解：在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2,BD=2V5,∴BC=CE=4.设⊙O的半径为r, 则0D=0E=r,0C=r+2.在Rt△0EC中，∠0EC=90°，.0E2+CE2=0C2,÷r2+42= (r+2)2,解得r=3,⊙0的半径为3. 重点4内心与外心 14.△ABC中，∠C=30°，AB=3,则△ABC的外接圆的半径长为 答案：3 解析：如图，设△ABC的外接圆为⊙O,连接0A,OB.:∠C=30°，∠AOB=2∠C=60°.： OB=OA,·△AOB是等边三角形，OA=AB=3,·△ABC的外接圆的半径长为3.故答 案为3. A C 15.如图，在△ABC中，∠A=54°，点0是△ABC的内心，则∠B0C= B 答案：117 解析：：∠A=54°，·∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°.：点0是△ABC的内心，.∠0BC+ ∠0CB=2(LABC+∠ACB)=63°，÷∠B0C=180°-63°=117°故答案为117， 16.如图，等腰三角形ABC内接于⊙0，AB=AC,点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O 47/64 第24章圆 于点D,点E在BD的延长线上，满足∠EAD=LCAD,求证： (1)OA所在的直线经过点I. B 证明：如图， 连接0A,OB,OC,A1.AB=AC,OB=OC,OA=OA, △AOB≌△AOC(SSS),·LBA0=LCA0,·AO平分LBAC.:点I是△ABC的内心，·A1平 分∠BAC,·AO与AI在同一条直线上，.OA所在的直线经过点I. (2)点D是IE的中点 解：如图，连接OD,则OD=OA,∠OAD=∠ODA, 2L0AD+∠A0D=180°，∠0AD+号∠A0D=90°.：∠ABD=号∠A0D, ·∠0AD+∠ABD=90°.点I是△ABC的内心，·∠ABD=∠CBD.又 'LCBD=∠CAD,÷∠ABD=∠CBD=∠CAD.∠EAD=∠CAD, ·∠ABD=∠EAD,·∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°.由(1)知OA平分∠BAC, ·∠BAO=∠CAO,÷∠DIA=∠ABD+∠BAO=LCAD+LCAO=LDAI, ID=AD.∠DIA十∠E=90°，∠DAI+∠DAE=90°，÷∠E=LDAE, ED=AD,·ID=ED,·点D是IE的中点 重点5正多边形与圆 17.如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,若四边形AOEF的面积为2√3，则⊙0的半径 等于( B 48/64 第24章圆 A.1 B.2 C.2 D.3 答案：B 解析： E B 如图，连接OF,AE交于点G.:正六边形ABCDEF内接于⊙O, ∠AOF=∠E0F=60°.OE=OF=0A,÷.△AOF,△E0F均为等边三角形， ÷OE=OF=OA=AF=EF,四边形AOEF是菱形，·AE1OF,AG=GE, 易得GE=0B,AE=V30E=V30P.~AE:0F=2V3, V30F.0F=4v3,·0F2=4,解得0F=2(负值舍去)，∴⊙0的半径为2.故选B, 18.已知⊙0的半径为1，则它的内接正三角形的边心距为一 答案： 解析：如图所示，△ABC为⊙O的内接正三角形，连接OB,OC,作OD1BC于D,则LODB= 90.:∠B0C=×360°=120°，0B=0C=1,20BC=∠0CB=30,0D=0B= 故答案为 A 0 D 19.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为ED上的一点，则LAPC的度数为一 E D 49/64