精品解析：山西省太原市某校2025-2026学年高三上学期9月半月考数学试题

高三年级半月考试题（数学） 测试时长： 120 分钟 总分： 150 分 一、单项选择题（每题5分，共8题，共40分） 1. 数列中，，，，则（ ） A. B. 11 C. D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式一一计算可得； 【详解】解：因为，，， 所以，； 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合同角三角函数平方关系求出，再由两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由，又，所以， 又，所以，所以， 所以， 故选：D. 3. 已知，则等于（ ）． A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到，结合同角三角函数关系，分在第二象限和第四象限两种情况，进行求解. 【详解】因为，， 所以，又， 当在第二象限时，，此时； 当在第四象限时，，此时． 综上，. 故选：A． 4. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A. B. ，， C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及三角形三边关系一一分析选项即可. 【详解】对于选项A，已知两边及夹角，由三角形全等的条件可知△ABC有唯一解． 对于选项B，，，，又，故，故△ABC无解． 对于选项C，，，，有，∴， 又，故△ABC有两个解． 对于选项D，，，，由，得，故B为锐角，故△ABC有唯一解． 故选：C． 5. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 6. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与二倍角公式化简，再根据三角形的内角范围分析即可 【详解】由正弦定理有，因为，故，故，即，又，故或，即或，故的形状为等腰三角形或直角三角形 故选：D 7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移得到，再根据奇偶性求参数即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，因为它是偶函数， 所以，，即． 当时，；当时，；当时，． 故选：C． 8. 在 中，已知，，若的最短边长为，则其最长边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得，判断，求出，判断出最短边和最长边，利用正弦定理求得答案. 【详解】在中，因为，所以， 因为，所以，因为，所以， 所以 ， 即为最大角，，故最短边为a，最长边为c，所以， 由正弦定理得，解得，所以最长边长为， 故选:A 二、多选题（每题6分，共3题，共18分） 9. 已知函数的最小正周期为，则（    ） A. 的值为2 B. C. 函数在单调递增 D. 的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质逐项判断即得答案. 【详解】对于A，由辅助角公式得：， 由函数的最小正周期为得：，故A正确； 对于B，由，得， 即不是图象对称轴，因此，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，故C正确； 对于D，的最大值为，故D错误. 故选：AC 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断. 【详解】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 11. 在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用余弦函数的单调性可判断A；由正弦定理可判断B；分析的正负可判断C；由正弦定理、两角和的正弦展开式可判断D． 【详解】对于A， ，由正弦定理可得，， 对于B，锐角中，，则，，B正确； 对于C，， ，，为三角形的内角， 且三角形中最多只有一个钝角， ，可知，，均为锐角，得到为锐角三角形，故C正确； 对于D：，且， 所以由正弦定理可得， 又， 因此， ，，则或， 当时，三角形为等腰三角形， 当时，，三角形为直角三角形， 综上，三角形为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（每题5分，共3题，共15分） 12. 在中，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用正弦定理可求得，进而求得. 【详解】在中，由正弦定理可得，又， 所以，解得， 因为，所以，所以或， 故答案为：或 13. 设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= ____. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【详解】由题意得 所以. 故答案为： 14. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角可求得，利用锐角三角形求出，根据正弦定理，结合三角恒等变换公式可得，根据的范围可求得结果. 【详解】由正弦定理，可得， ，即，又，， ，得. 因为是锐角三角形， 所以，即，解得， 又，则， ， ，，所以， . 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式和； （2）求 的值． 【答案】（1） （2）54 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的性质，求出等差数列的基本量，进而利用等差数列的通项公式和求和公式即可求解. （2）利用等差数列的通项公式和求和公式，即可求解. 【小问1详解】 ，设等差数列的公差为，得到，解得，得， 【小问2详解】 由（1）得， 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简的表达式，结合正弦函数的单调性，即可求得答案； （2）根据，确定，结合正弦函数的性质，即可求得答案. 【小问1详解】 依题意得， 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 则，则， 所以函数的值域是. 17. 已知函数，其中，，若在区间上单调递增，且，. （1）求，的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将的解析式变形，再利用已知条件即可求出周期，进而求出的值； （2）利用（1）中的解析式，再将所求的角用已知的角来表示即可求解. 【小问1详解】 ， 在区间上单调递增，且，， 设的最小正周期为，，， 又，，， ，， ，，； 【小问2详解】 由（1）可知，，， . 18. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将变形化简，再结合角的范围即可求出角B； （2）由三角形的面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得． 即， 因为，所以． 所以． 因为，，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理得， 由，可得， 所以，所以的周长为． 19. 在中，角A、B、C所对的边为、、，且． （1）求角B； （2）当时，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换将题干中的式子化简为，根据角B的范围即可求解角B的大小； （2）根据余弦定理，通过基本不等式放缩得到ac的最大值，再结合正弦定理面积公式即可求解出面积最大值． 【小问1详解】 由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． 【小问2详解】 因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级半月考试题（数学） 测试时长： 120 分钟 总分： 150 分 一、单项选择题（每题5分，共8题，共40分） 1. 数列中，，，，则（ ） A. B. 11 C. D. 12 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则等于（ ）． A. B. C. 或 D. 4. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A. B. ，， C. D. ，， 5. 已知数列为等差数列，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（ ）． A. B. C. 0 D. 8. 在 中，已知，，若的最短边长为，则其最长边长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共3题，共18分） 9. 已知函数的最小正周期为，则（    ） A. 的值为2 B. C. 函数在单调递增 D. 的最大值为1 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A. 若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 三、填空题（每题5分，共3题，共15分） 12. 在中，，则________． 13. 设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= ____. 14. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则的取值范围为___________. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式和； （2）求 的值． 16. 已知函数. （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域； 17. 已知函数，其中，，若在区间上单调递增，且，. （1）求，的值； （2）若，求的值. 18. 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求角B的大小； （2）若的面积为且，求的周长． 19. 在中，角A、B、C所对的边为、、，且． （1）求角B； （2）当时，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $