24.1.1圆（教学课件）数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“圆的有关性质”，系统讲解圆的描述性与集合性定义、弦、直径、弧等相关概念及点与圆的位置关系。通过生活中圆的实例和毕达哥拉斯名言导入，结合观察画圆过程引导学生自主探究，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以“议一议”驱动探究式学习，通过矩形四点共圆证明、正方形外接圆半径计算等典例，发展学生几何直观与逻辑推理（数学思维），借助数形结合转化位置与数量关系培养数学语言表达能力。学生能提升抽象能力与应用意识，教师可利用结构化小结和分层练习提高教学效率。

第二十四章 圆 24.1.1圆 24.1 圆的有关性质 学 习 目 标 1 2 3 通过观察实验操作，使学生理解圆的定义。 结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念。 通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象. 导入新课 导入新课 圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。十五的满月、圆圆的月饼都象征着圆满、团圆、和谐。 古希腊的数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。 新知探究 探究点1 圆的描述性定义 议一议 我们在小学已经对圆有了初步认识。如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗? 圆规的一个端点固定点和圆规的张口 （两个端点间的距离） （1）用圆规画圆，需要确定什么条件？ 新知探究 探究点1 圆的描述性定义 议一议 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA 叫做半径. 根据上面的画图，你能描述什么叫圆？固定的端点叫什么？这条线段叫什么？ · r O A 圆的旋转定义（描述性定义） 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆． 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示． O A r 圆心 半径 以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆 O”. 圆的表示方法： 新知探究 探究点1 圆的描述性定义 议一议 圆如何表示？ 新知探究 探究点1 圆的描述性定义 议一议 （3）确定一个圆的要素有哪些？ 一是圆心，圆心确定其位置； 二是半径，半径确定其大小． （4）由画图你能得到圆的半径的性质吗？ 同圆半径相等. O o • 典例分析 探究点1 圆的描述性定义 例1　如图,⊙O的半径OA,OB分别交弦CD于点E、F，且CE=DF. 求证:△OEF是等腰三角形. O A B C D F E 证明： 连接OC,OD, ∵OC=OD,　 ∴∠C=∠D, ∵CE=DF，　　 ∴AOCE≌△ODF (SAS), ∴OE=OF, ∴△OEF是等腰三角形. 新知探究 探究点2 圆的集合定义 议一议 到定点的距离等于r 的点都在同一个圆上。 (1)从以上作图可以看到，圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于什么？ (2)到圆心Ｏ的距离等于半径r的点都在⊙O上吗？圆可以看成哪些点组成的？ O A r o • 圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于半径 r 新知探究 探究点2 圆的集合定义 议一议 圆心为O、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合. (3)你能归纳出圆的集合定义吗？ O A r 圆面 圆周 圆周上的点 圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点” 注意 战国时的《墨经》 就有“圆,一中同长也” 的记载.它的意思是圆 上各点到圆心的距离都 等于半径. 新知探究 探究点2 圆的集合定义 新知探究 探究点2 圆的集合定义 议一议 (4)平面内的点和圆的位置关系？ . o . . . . . . . . . . 点在圆内 点在圆上 点在圆外 三种 圆将平面分为三部分：圆的外部、圆上、圆的内部。 点A在⊙O内 点B在⊙O上 点C在⊙O外 OA＜r OB=r OC＞r A B C 如图，设⊙O 的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么 新知探究 探究点2 圆的集合定义 归一归 (4)平面内的点和圆的位置关系？ 当点Ｐ到圆心为O距离等于圆的半径为 r时，Ｐ点在⊙O上； 当点Ｐ到圆心为O距离小于圆的半径为r 时，Ｐ点在⊙O内； 当点Ｐ到圆心为O距离大于圆的半径为r 时，Ｐ点在⊙O外； O Ｐ O Ｐ O Ｐ 反之也成立。 数形结合： 位置关系 数量关系 典例分析 探究点2 圆的集合定义 例2　矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证:A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. O D A B C 证明:∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=OC= AC ,BO=OD= BD . 又∵AC=BD， ∴OA=OB=OC=OD. ∴A、B、C、D四个点在以点0为圆心，OA为半径的圆上. 新知探究 探究点3 圆的有关概念 议一议 ( 1 )什么是弦？什么是直径？ 连接圆上任意两点的线段(如图中的AC)叫做弦。 经过圆心的弦(如图中的AB)叫做直径 A O B C 注意: (2)弦和直径之间关系？ 弦和直径都是线段，凡直径都是弦,,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。 A O B C 新知探究 探究点3 圆的有关概念 议一议 (3) 什么是弧？怎样表示？ 弧: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． ( (4)什么是半圆？ 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 新知探究 探究点3 圆的有关概念 议一议 (5)什么是劣弧？什么是优弧？怎样表示？ 劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧. 优弧:大于半圆的弧叫做优弧. · C O A B 如图中的AC ; ( 如图中的ABC. ( · C O A B 圆心O 直径AB 弦AC 优弧ABC，记作 劣弧AC，记作 O′ 半径OO′ 新知探究 探究点3 圆的有关概念 归一归 新知探究 探究点3 圆的有关概念 议一议 (6)什么是同心圆？什么是等圆？什么是等弧？ 同心圆：圆心相同，半径不同 （圆心相同，半径相同视为同圆）； 同心圆 圆心相同，半径不同 O 提示:半径相等的两个圆是等圆;反过来，同圆或等圆的半径相等。 新知探究 探究点3 圆的有关概念 议一议 (6)什么是同心圆？什么是等圆？什么是等弧？ 等圆：半径相同，圆心不同。 能够重合的两个圆叫做等圆。 等 圆 半径相同，圆心不同 新知探究 探究点3 圆的有关概念 议一议 (6)什么是同心圆？什么是等圆？什么是等弧？ 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 · B O1 A · D O2 F E C （7）长度相等的两段弧是等弧吗？为什么？ 两条弧不能完全重合，但弧的长度可能相等，“等弧”要区别于“长度相等的弧”。 典例分析 探究点3 圆的有关概念 例3　下列说法正确的是（    ） A．弧是半圆　　　B．半圆是圆中最长的弧　　 C．直径是弦 　　 D．弦是直径 C 解： A、半圆是弧，弧不一定是半圆，选项错误； B、半圆不是圆中最长的弧，优弧大于半圆，选项错误； C、直径是弦，选项正确； D、弦不一定是直径，选项错误； 典例分析 探究点3 圆的有关概念 解： （1）劣弧: 优弧: （2）弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径. （3）答案不唯一，如:弦AF,它所对的弧是 和 例4　如图，(1)请写出以点A为端点的优弧及劣弧; (2)请写出以点A为端点的弦及直径; (3)请任选一条弦，写出这条弦所对的弧. 拓展提升 解:(1)连接OA，OD，则 AO=DO ∵在正方形ABCD中，AB=CD ，∠ABO=∠DCO=90° ∴RtΔABO≌RtΔDCO， ∴OB=OC； (2)设OB=x ，则=BC=2OB=2X ， 在RtΔABO中，＋ = 即 ＋ 　 　解得: x=5 正方形ABCD的边长为 2. 1.如图，MN是半圆O的直径，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，顶点B、C在直径MN上. (1) 求证:OB=OC； (2)设⊙O 的半径为5，求正方形ABCD的边长. 新知巩固 【教材P81练习 】 1. 如何在操场上画一个半径是 5 m 的圆？说出你的理由。 O A 5 m 找一个 5 米长的绳子，一端固定在地面上，另一端旋转一周，便出现了半径为 5 m 的圆. 因为圆是到定点等于定长的点的集合. 2. 你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成是圆形的，如果一棵 20 年树龄的树的树干直径是 23 cm，这棵树的半径平均每年增加多少？ 解：23÷20 = 1.15（ cm ） 1.15÷2 = 0.575（ cm ） 答：这棵树的半径平均每年增加 0.575 cm. 新知巩固 【教材P81练习 】 3. △ABC 中，∠C = 90°.求证：A，B，C 三点在同一个圆上. ∴ CD = AB = BD = AD 证明：作斜边上的中线 CD 交 AB 于点 D. ∴ A，B，C 三点在同一个圆上. ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 A B C D 真题感知 1．（2025·江苏宿迁九年级校联考）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆　 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 　　　　　　　　D．在一个圆中，直径是最长的弦 D 解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 真题感知 2．（2025·广州市广外附设外语学校校考）如图，⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，若正方形 ABCD的边长为4 ，则正方形的半径是（ ） A．4 　B．2 　　C．2 D.4 解：连接AC, ∵ ⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，正方形ABCD 的边长为 4， ∴AC= 4 ∴正方形的半径是 2 C 解：∵OB=OC，AB=CO， ∴AB=OB， ∴∠A=∠BOA. 又∵OB=OE， ∴∠E=∠EBO, ∵∠EBO=2∠A， ∴∠E=2∠A， 又∵∠EOD=∠E+∠A ∴3∠A=∠EOD, ∵∠EOD=72° ∴∠A=24°. 真题感知 3.（2025·湖州期末）CD为⊙O的直径,∠EOD=72°，AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数. 课堂小结 圆的基本概念 圆的定义 与圆有关的概念 形成性定义： 集合性定义： 弦： 直径： 圆弧（弧）： 半圆： 等圆、等弧： 优弧、劣弧： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等定长r的点的. 连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆. 能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中， 能够互相重合的弧叫做等弧. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧. 课堂小结 r P d P r d P r d R r P 点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r＜d＜R 数形结合： 位置关系 数量关系 如图，设⊙O 的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么 课后练习 教材P89 1.求证:直径是圆中最长的弦. O 已知，如图，AB是⊙O的直径 求证：AB是圆中最长的弦 B A C 证明：在⊙O上任取一点C(与A,B不重合)， 连结AC，BC，OC ∵OA=OC=OB ∴∠A=∠1，,∠B=∠2 ∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° ∴∠1+∠2=90° 即∠ACB=90° ∴AB＞AC，AB＞BC ∴AB是圆中最长的弦 1 2 课后练习 教材P89 2.如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB长50mm. 求：(1) ∠AOB的度数；(2)点O到AB的距离. 解（1） ∵OA=OB=AB=50mm ∴△ABC为等边三角形 ∴∠AOB=60° （2）过O作OG⊥AB,垂足为G ∵△ABC为等边三角形 ∴∠AOG=∠BOG=30° ∴OG=OA=25（mm） G ∟ 课后练习 习题24.1 探究性作业：一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的活动区域. 答案： 感谢聆听! $