专题2.8 圆锥曲线32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

专题2.8 圆锥曲线32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型二 轨迹问题--椭圆 题型三 根据离心率求椭圆的标准方程 题型四 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型五 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型六 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 题型七 求椭圆中的最值问题 题型八 直线与抛物线交点相关问题 【经典例题一 椭圆中焦点三角形的面积问题】 1．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积. 【详解】椭圆中，，所以焦点， 当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示： 代入于椭圆方程，则，所以，所以； 当时，如下图所示： 设，由条件可知，解得， 所以； 综上，的面积为或， 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 3．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 4．（23-24高二上·北京西城·期中）设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为点在椭圆上， 所以， 因为，，． 所以， 所以，即椭圆的方程为； （2）设，因为的面积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 所以点的坐标为或或或. 【经典例题二 轨迹问题--椭圆】 5．（24-25高二下·上海·期末）坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为，然后根据旋转变换公式列方程组表示出，代入曲线的方程化简可得结果. 【详解】设曲线上一点，其绕原点顺时针旋转后对应的曲线上的点为， 则，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即. 所以曲线的方程为. 故选：B 6．（多选题）（24-25高三上·河南·期中）已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（    ） A．关于轴、轴均对称 B．当点不在轴上时， C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 【答案】ACD 【分析】对于A，写出轨迹方程，将，代入即可判断，对于B，由三角形两边之差小于第三边即可判断，对于C，通过即可判断，对于D，联立方程，得到，结合椭圆范围可判断. 【详解】设，由，得， 将代入得到， 将将代入得到， 所以关于轴、轴均对称，A正确； 当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点， 所以，B错误； 当时，， 当时，可得：， 解得：，此时， 即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 由，得为椭圆，易得方程为， 所以，代入， 得， 所以，因为，所以， 解得：或舍去，D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：曲线关于轴、轴的对称对称性问题，可将，代入曲线方程，是否满足即可判断. 7．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据重心的性质和内心的性质，求出两点的坐标，根据线段平行轴，纵坐标相等，列出坐标的关系式，求出轨迹方程. 【详解】设，则重心，设内切圆半径为， 又，所以， 因为，则，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 8．（2025高三·全国·专题练习）一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点A，且．折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 【答案】所求点的集合为椭圆外（含边界）的部分 【分析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则有．设与点A重合的点为，折痕上任意一点为，由，可得，据此可得答案. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则有． 设折叠时，上点与点重合，而折痕为直线， 则为线段的中垂线．设为上任一点，则， ， 即，． 可得：， ， 即所求点的集合为椭圆外（含边界）的部分． 【经典例题三 根据离心率求椭圆的标准方程】 9．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知椭圆，离心率为．点为椭圆C上一动点（其中，），点，为椭圆C左右焦点，直线与直线在一象限交于点，则线段长度为（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】A 【分析】有椭圆的离心率可求得，则椭圆方程为，结合和，可得直线的方程为，在再联立方程组，求出，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】椭圆的离心率为， ，则， 椭圆，此时，则直线的方程为， 又点在椭圆C上，则有， 设，联立，解得，则 ， 由得：，代入上式得：. 故选：A. 10．（多选题）（23-24高三上·湖北·阶段练习）在椭圆中，为椭圆的右焦点，为椭圆的左顶点，为椭圆短轴上的顶点，若椭圆的离心率为，则（   ） A． B． C．大于 D． 【答案】ACD 【分析】结合离心率为黄金分割比例的性质即可求解. 【详解】因为，则， 所以，即， 所以，，. 因为，所以，即大于. 故选：ACD 11．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则 ． 【答案】 【分析】延长交于点，由得，.由已知条件求得，结合椭圆的定义可以求得，再根据中位线即可求得. 【详解】延长交于点.易知， 所以，得，. 由题知解得 由椭圆的定义可得， 由，可得． 所以， 由为的中位线，可得． 故答案为：. 12．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)根据离心率以及，结合椭圆的定义即可求得椭圆方程； (2)设出直线方程和椭圆方程联立，根据韦达定理可得出的表达式，求出，两点的坐标，在计算出，两点到距离之和，即可得到面积表达式，则可求出面积取值范围. 【详解】（1）由得，且， 令代入椭圆方程可得，故， 所以，， 所以椭圆. （2）由题可知，设直线， 由消得， 恒正，，， ， 又， ，（此处也可以用点差法，由得， ，所以） 由，得，，即为，两点的坐标， 所以点，到直线的距离之和为 ， 则 ， 因为， 所以的取值范围. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意表示出四边形的面积，进而利用函数的性质即得取值范围. 【经典例题四 根据双曲线的渐近线求标准方程】 13．（2022·云南昆明·模拟预测）双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，分别用圆的方程和双曲线的方程及渐近线，联立方程组，求得的坐标，结合，求得，进而求得双曲线的方程. 【详解】由题意，双曲线的焦距为4， 可得，即，即， 又由双曲线的一条渐近线方程为， 联立方程组，整理得，即，可得， 又由方程组，整理得， 即，可得， 因为点的纵坐标是点纵坐标的2倍，可得，解得， 所以， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 14．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，右焦点到渐近线的距离为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点到渐近线的距离为，可得，结合双曲线定义与可得，即可得圆的面积. 【详解】如图，因为右焦点到渐近线的距离为，故， 作于点于点， 因为与圆相切，所以， 因为，即， 在直角中，， 又点在双曲线上，由双曲线的定义可得： ，整理得， 因为，所以，圆的面积. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助作于点于点，从而结合双曲线定义与直角三角形的性质可得，即可得圆的面积. 15．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解. 【详解】当时，点在渐近线上，不合题意； 当时，不妨设， 则， 因为双曲线经过点， 所以， 所以， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 同理， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 所以，即， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为．过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)设直线与双曲线交于两点（位于轴同侧），若以线段为直径的圆经过坐标原点，试判断圆的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据渐近线方程建立间关系由双曲线渐近线方程得，然后根据建立间关系，从而求出双曲线的方程； （2）假设以线段为直径的圆的面积存在最小值，设均位于轴右侧．当直线的斜率不存在时，求出交点坐标，由，化简可得圆的半径，从而求出圆的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为。联立双曲线方程，由韦达定理可得，利用，化简可得，从而可得，令，则，化简即可求解. 【详解】（1）由渐近线方程建立间关系，由双曲线渐近线方程为可知， 所以． 由题知，当轴时，将代入双曲线方程可得， 设，则， 又，即，化简得， 结合，解得， 故双曲线的方程为． （2）假设以线段为直径的圆的面积存在最小值． 根据双曲线的对称性，设均位于轴右侧． 如图①，当直线的斜率不存在时， 设直线的方程为，， 因为以为直径的圆经过原点，所以，故，所以， 又，所以，即，所以圆的半径， 故圆的面积为． 如图②，当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 联立消得， 所以， 整理得，， 因为均在轴右侧，所以，则． 由得，即， 所以， 整理得， 所以 ， 令，即， 因为，所以， 故 ， 所以此时圆的面积． 综上，当直线的斜率不存在时，圆的面积取得最小值． 【经典例题五 椭圆中三角形(四边形)的面积】 17．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点记为，且的面积为2，则椭圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形面积公式可推出三角形坐标公式，结合直线与椭圆联立后的韦达定理，可求出定点. 【详解】设， ∵                  ， ∴． 由得， 故， 则，化简得， 故椭圆恒过定点． 故选：． 18．（多选题）（2025·陕西榆林·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为是上的动点，则（    ） A．的周长为16 B．的最小值为 C．的面积的最大值为12 D．存在点，使得 【答案】AC 【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断即可. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，则，故A正确； 对于B，当点在椭圆的左顶点时，得，故B错误； 对于C，设的顶点，则的面积， 所以面积的最大值，故C正确； 对于D，由已知，，设存在点，使得， 则，即， 又，则，代入， 得，此方程无实数解，故D错误. 故选：AC. 19．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过椭圆的中心的直线分别交椭圆于、两点，的垂直平分线交椭圆于点，过点分别作于，于，则四边形的面积的取值范围为 【答案】． 【分析】由对称性求得，设直线的方程为，代入椭圆方程求得点坐标，由垂直得点坐标，代入上式，变形后可求得范围．可先讨论斜率不存在或斜率为0时情形，然后再求解一般情形，从而得出结论． 【详解】由已知， （1）若直线斜率不存在，如图1， ，， ，， ， 所以，    （2）若直线的斜率为0，如图2， ，， ， 所以，    （3）若直线的斜率存在且不为0，如图3， 由已知是的垂直一部分线，则，分别是边上的高，则，， 所以，， 设直线的方程为，， 由，得，，取，即， 直线的方程为，同理可得， ，，， 直角中，，， ， 因为，所以，，，即， 所以，    综上，， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查其中的面积问题，解题关键是求出面积，一般设出直线方程，求得椭圆与直线的交点坐标如题中点（直线过原点，交点坐标容易求得，否则需要用韦达定理），利用垂直得出另一点的坐标（注意类比，减少计算量），根据直角三角形把面积表示为所设参数的表达式，利用不等式知识得范围．解题时需对特殊情形进行讨论，如斜率不存在，或斜率为0（垂直直线的斜率不存在）． 20．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的方程； （2）设出直线RM，RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）设点，当直线与轴垂直时，， 所以设点，则，因为的最小值为， 所以，又由，可解得， 故的方程为． （2）如图，    设点，注意到斜率不为0， 设， 联立，得， 因为与相切，所以， 于是， 化简得，又与相切，同理有， 故是一元二次方程的两根，则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 【经典例题六 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数】 21．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长. 【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为. ∵是以为底边的等腰三角形，设，则， ∴，得， ∴或. 不妨设点在轴下方， 由是以为底边的等腰三角形，知：或 设，则 ，， 所以， 所以， 因为四点共线，为线段的中点， 所以，， 所以， 所以或（此时焦点在轴上，舍去） ∵为椭圆的右焦点， ， ∴，故椭圆的长轴长为.    故选：B. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决. 22．（多选题）（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积最大值为 【答案】BCD 【分析】AB选项，根据椭圆方程得到，，从而求出离心率和长轴长；C选项，设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出点坐标，得到的斜率；D选项，在C选项基础上，求出和点到直线的距离为，表达出的面积，求出最大值. 【详解】AB选项，由题意得，故， 故椭圆的离心率为，长轴长为，A错误，B正确； C选项，设不过原点且斜率为1的直线为， 联立得， 由，解得， 设，则， 则， 故， 故的斜率为，C正确； D选项，由C选项可知，， 点到直线的距离为， 故的面积为 ， 因为，所以， 故当时，的面积取得最大值，最大值为，D正确. 故选：BCD 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 23．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】 结合题意求出点的坐标，从而得，再结合点差法建立的关系式，从而得解. 【详解】因为，，过作轴交于， 则，， 所以的横坐标为，即的横坐标为，且， 即， 设，，，，则的中点，， 即，， 所以，又，所以， 将，的坐标代入椭圆的方程可得， 作差整理可得， 即， 所以则. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：利用点差法是解决中点弦问题的常用方法. 24．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为. (1)求椭圆C的离心率e的值； (2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点差法求得，进而求得椭圆的离心率. （2）先求得椭圆的方程，然后设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，求得面积的表达式，并求得面积的最大值，进而求得内切圆半径的最大值，从而求得内切圆面积的最大值. 【详解】（1）由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 设，则， 由两式相减并化简得， 所以，所以.    （2）结合（1）得，解得， 所以椭圆的方程为，右焦点，的周长为， 设直线的方程为，由于在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 设，由消去并化简得， 则， 所以 ， 令，则，所以， 由于函数在区间上单调递增， 所以当时，面积取得最大值为， 设的内切圆的半径为，则， 当面积取得最大值时，取得最大值， 所以的内切圆面积的最大值为.    【点睛】求解椭圆弦的中点有关问题，可考虑利用点差法进行求解，点差法化简后，得到如的表达式，其中是两个斜率，前者是弦的中点和原点连线的斜率，后者是弦所在直线方程的斜率. 【经典例题七 求椭圆中的最值问题】 25．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 26．（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为5 B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】设，首先由圆得到圆心的坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，再由，求出，得到，得到椭圆的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A；由极化恒等式得可判断B；由知以为圆心为半径的圆在椭圆内，可判断C；将转化成求其最小值可判断D. 【详解】椭圆，则，所以，圆的圆心为，半径， 因为，所以，所以点在椭圆外部. ，当且仅当、、三点共线（在、之间）时等号成立，    设，则所以，解得， 所以，∴椭圆 对于A：∵， 设则，，所以，当1或5时，取得最小值5，所以A正确； 对于B： 又，∴，当且仅当在左、右顶点时取最大值5，故B正确； 对于C：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故C不正确； 对于D：因为 ，当且仅当、、、四点共线（且、在、之间）时取等号，故D正确.    故选：ABD. 27．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】将直线的方程与椭圆C的方程联立，根据韦达定理，得到，根据，，再根据，即可求得答案. 【详解】 设 直线的斜率为，则直线的方程为：， 联立方程得， 则，所以， 因为椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B， 所以，则直线的方程为， 因为点P在线段AB上，直线OP与椭圆相交于M，N两点，所以， 因为点M在第一象限，所以，，，则 所以，， ， 由，整理得，， 当时， 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法： （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值． 常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 28．（2025高三·全国·专题练习）为椭圆上一点，下面探讨点到定点的距离最值问题． (1)证明当时，最小值为； (2)当时，举一特例：求椭圆上一点到定点的最值． 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）结合图形，当与椭圆过点的切线垂直时取最值，借助斜率关系求解点坐标进而由两点间距离证明可得； （2）设椭圆上点，可设，用换元法，令，求导并令导数为零，求出的两种取值，得到最值. 【详解】（1）由题意知，点在椭圆外. 设椭圆上一点，则在切点处的切线方程为， 结合图形如图可知， 当且仅当与切线垂直，点到点的距离最小， 当且时，由切线斜率为， 可得，①， 又点在椭圆上，则②，且③， 联立方程①②③，又，（在同一象限时取最小值） 可解得， 故. 当时，，，也满足； 当时，，，也满足； 综上所述，当时，最小值为. （2）若椭圆方程为，点在椭圆外. 设椭圆上点，， 则 ，令， 则． 再令，, 由，要求的最小值，则不妨取， 要求的最大值，不妨取. 首先令， 设. 则， 令，又由，解得. 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，. 且， 则取最小值， 此时， 即当时， 取最小值； 其次令， 由范围可知，取最大值， 此时， 即当时， 取最大值. 故的最小值为，最大值为. 结合图形验证可知， 当与切线垂直时，取到最小值； 当与切线垂直时，取到最大值. 【经典例题八 直线与抛物线交点相关问题】 29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为，过点F作斜率为2直线与抛物线交于，两点（点位于第一象限）.过点A作准线的垂线，的角平分线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知抛物线C的方程为，直线的方程为：.联立方程组，可得，.设的角平分线所在直线倾斜角为，则由角平分线的性质及平行线的性质可知，有二倍角公式可解得，再利用点斜式方程即可求解. 【详解】因为抛物线C：（）的焦点为，抛物线C的方程为. 由题意可知直线的方程为：， 联立方程组，消去整理得，解方程得点的纵坐标或（舍去），所以，点. 由题可知，设的角平分线所在直线倾斜角为， 则由角平分线的性质及平行线的性质可知，即，解得或（舍去）. 由点斜式方程可知的角平分线所在直线方程为， 化简整理得. 故选：D. 30．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 【答案】CD 【分析】用点差法，利用直线与圆锥曲线的两个交点，将它们代入圆锥曲线的方程并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，进而简化计算过程． 【详解】列表解析｜直观解疑惑 选项 正误 原因 A × 由题意可知，准线方程为， 若直线过焦点，直线的斜率可以不存在，但不能为0， 故设直线， 联立消去可得，则，可得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4． B × 由，可得， 当且仅当E，F，A共线时取等号，所以的最大值为． C √ 由题意知因为在抛物线上，所以两式作差可得，若直线AB的斜率存在，则，所以直线AB的斜率与无关，与有关． D √ 联立消去可得，可得，则，又，所以，则，所以． 31．（2025·广东珠海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且，若三角形的外接圆与曲线交于点（异于，，）则 ． 【答案】 【分析】方法1：设，，，由四点共圆，设该圆的方程为，联立圆和抛物线方程，可得即为关于的方程的3个根，待定系数可得，从而得到的值； 方法2：设，，，结合抛物线方程表示出的斜率，再利用斜率表示和的值，由四点共圆，可得，化简可得的值. 【详解】方法1：，， 因为四点共圆，设该圆的方程为， 联立，消去，得， 即， 所以即为关于的方程的3个根， 则， 因为， 由的系数对应相等得，，所以. 方法2：，，，则，，，， ， ， 因为四点共圆，所以，即， 化简可得：，所以. 故答案为： 32．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线，点是抛物线上动点，轴，交于点是抛物线在点处的切线，若过点且，交于点，交抛物线于点，试探索是否成立． 【答案】成立，具体见解析. 【分析】首先设， 联立方程组应用韦达定理，得到点坐标，计算,发现中点又与中点重合，所以结论成立. 【详解】设， 由得． 从而． 因为轴，所以， 故． 由得． 中点，故由 得，故． 同理． ． 所以． 中点又与中点重合． 从而有。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 圆锥曲线32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型二 轨迹问题--椭圆 题型三 根据离心率求椭圆的标准方程 题型四 根据双曲线的渐近线求标准方程 题型五 椭圆中三角形(四边形)的面积 题型六 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 题型七 求椭圆中的最值问题 题型八 直线与抛物线交点相关问题 【经典例题一 椭圆中焦点三角形的面积问题】 1．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 2．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 3．（24-25高二上·云南大理·阶段练习）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 4．（23-24高二上·北京西城·期中）设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【经典例题二 轨迹问题--椭圆】 5．（24-25高二下·上海·期末）坐标平面上的点，将点绕原点逆时针旋转后得到点.这个过程称之为旋转变换，已知旋转变换公式：，将曲线：绕原点顺时针旋转后得到曲线，则曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）（24-25高三上·河南·期中）已知，，，是坐标平面上的两个动点，为正常数，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（    ） A．关于轴、轴均对称 B．当点不在轴上时， C．当时，点的纵坐标的最大值大于1 D．当，有公共点时， 7．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系中，满足，、分别为的重心、内心，若轴，则点的轨迹方程为 . 8．（2025高三·全国·专题练习）一张纸上画有半径为的圆和圆内一定点A，且．折叠纸片，使圆周上某一点刚好与点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 【经典例题三 根据离心率求椭圆的标准方程】 9．（22-23高二上·四川凉山·期末）已知椭圆，离心率为．点为椭圆C上一动点（其中，），点，为椭圆C左右焦点，直线与直线在一象限交于点，则线段长度为（    ） A．2 B． C．1 D．4 10．（多选题）（23-24高三上·湖北·阶段练习）在椭圆中，为椭圆的右焦点，为椭圆的左顶点，为椭圆短轴上的顶点，若椭圆的离心率为，则（   ） A． B． C．大于 D． 11．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别是是坐标原点，是上一点，且，过作的平分线的垂线，垂足为M，则 ． 12．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆的离心率为，过其右焦点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，且满足. (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线与坐标轴不垂直，且与椭圆交于点，，弦的中点为，直线与椭圆交于点，，求四边形面积的取值范围. 【经典例题四 根据双曲线的渐近线求标准方程】 13．（2022·云南昆明·模拟预测）双曲线的焦距为4，圆与双曲线及的一条渐近线在第一象限的交点分别为，，若点的纵坐标是点纵坐标的2倍，则的方程为（    ）. A． B． C． D． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，右焦点到渐近线的距离为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 15．（2024·浙江杭州·一模）已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 16．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，渐近线方程为．过的直线与交于两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)设直线与双曲线交于两点（位于轴同侧），若以线段为直径的圆经过坐标原点，试判断圆的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【经典例题五 椭圆中三角形(四边形)的面积】 17．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点记为，且的面积为2，则椭圆恒过定点（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（2025·陕西榆林·模拟预测）设椭圆的左、右焦点分别为是上的动点，则（    ） A．的周长为16 B．的最小值为 C．的面积的最大值为12 D．存在点，使得 19．（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）过椭圆的中心的直线分别交椭圆于、两点，的垂直平分线交椭圆于点，过点分别作于，于，则四边形的面积的取值范围为 20．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知椭圆，为的右焦点，为上的动点，当直线与轴垂直时，，是直线上一动点，的最小值为1． (1)求的方程； (2)过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围． 【经典例题六 由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数】 21．（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 22．（多选题）（22-23高二上·山东淄博·阶段练习）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，不过原点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点，则下列结论正确的有（    ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆的长轴长为 C．若点是线段的中点，则的斜率为 D．的面积最大值为 23．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若为坐标原点），则椭圆的离心率为 . 24．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，N为弦AB的中点，且ON的斜率为. (1)求椭圆C的离心率e的值； (2)若，l为过椭圆C的右焦点且斜率不为零的直线，直线l交椭圆C于点P，Q，求内切圆面积的最大值. 【经典例题七 求椭圆中的最值问题】 25．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 26．（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小值为5 B．的最大值为5 C．存在点使得 D．的最小值为 27．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 28．（2025高三·全国·专题练习）为椭圆上一点，下面探讨点到定点的距离最值问题． (1)证明当时，最小值为； (2)当时，举一特例：求椭圆上一点到定点的最值． 【经典例题八 直线与抛物线交点相关问题】 29．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知O为坐标原点，抛物线C：（）的焦点为，过点F作斜率为2直线与抛物线交于，两点（点位于第一象限）.过点A作准线的垂线，的角平分线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 30．（多选题）（24-25高二上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点，设的中点为，则下列说法中正确的有（    ） A．若直线过焦点，则的最小值为2 B．若，则的最大值为5 C．若直线AB的斜率存在，则其斜率与无关，与有关 D．若为坐标原点，直线的方程为，则 31．（2025·广东珠海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且，若三角形的外接圆与曲线交于点（异于，，）则 ． 32．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，过点的动直线交抛物线于两点，过分别作切线，点是抛物线上动点，轴，交于点是抛物线在点处的切线，若过点且，交于点，交抛物线于点，试探索是否成立． 学科网（北京）股份有限公司 $