3.1用树状图或表格求概率（第3课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

3.1用树状图或表格求概率（第3课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第三章“用树状图或表格求概率”3.1用树状图或表格求概率（3），内容包括：通过配紫色游戏，掌握处理相同特征试验元素的方法；通过拆分构造等可能的结果集，避免因元素同质化导致的概率计算错误． 2.内容解析 本节课是在学生已掌握树状图法、列表法的基本操作及两者区别后的进阶深化课。核心目标是突破概率计算的前提条件与复杂情境处理两大易错点，实现从会用方法到用对方法的转变，最终达成规范计算、灵活应用、逆向设计的能力闭环​.因此本节课更主要是聚焦方法怎么用对，解决前两课时遗留的前提条件等可能性与复杂情境问题，是对基础方法的补全与深化。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能将无明显差异的元素转化为可区分元素，确保结果集的等可能性，并针对转盘、摸球、抽卡片等不同场景，选择合适的方法穷举所有等可能结果，准确计算目标概率. 1.教学目标 （1）能结合转盘分区、相同元素等场景准确判断结果是否具有等可能性，并运用树状图法或列表法，规范解决双转盘配紫色、有放回摸球、抽卡片等两步随机试验的概率计算问题. （2）经历对比双转盘游戏概率的不同计算过程，辨析非等可能结果与等可能结果的差异，培养逻辑推理与批判性思维. （3）从配紫色游戏、摸球等生活关联情境中感受概率的实用性，通过逆向设计问题激发探究兴趣，增强数学应用意识与成就感. 2.目标解析 （1）学生要能结合转盘分区、相同元素等典型场景，规范运用树状图法或列表法，解决 双转盘配紫色、有放回摸球、抽卡片等两步随机试验的概率计算问题，强调解题过程的规范性，并覆盖典型问题场景，为复杂概率问题的解决奠定技能基础. （2）学生再辨析非等可能结果与等可能结果在概率计算中的差异的过程中，深刻理解 等可能性对结果正确性的决定性作用。在此过程中，发展逻辑推理能力与批判性思维，体现数学学科对思维能力的训练价值. （3）通过配紫色游戏、摸球等生活关联情境，让学生感受概率的实用性，体会数学与生活的紧密联系，以逆向设计概率问题为载体，激发探究兴趣，增强数学应用意识与学习成就感. 学生在前两课时已掌握树状图法和列表法的基本操作流程，能针对两步随机试验，如摸球、抛硬币等简单情境，选择合适方法列举结果并计算概率。但学生易将结果的类别数与结果的概率混淆，未意识到类别相同≠概率相等，也未建立通过拆分 / 编号构造等可能结果的意识. 1. 学生受物体物理属性相同的生活经验影响，未理解数学上区分相同元素是为了保证结果等可能的逻辑，缺乏转化相同元素为可区分元素的策略性知识. 这需要教学时开展对比试验，先展示不编号相同元素的错误列举，再展示编号后的完整列举，让学生直观感受结果数与概率的差异. 2.学生可能会直接套用树状图或列表法，忽略结果是否等可能的前提验证，因此要用矛盾案例对比制造认知冲突，让学生自主发现结果不等可能会导致错误. 3. 对等可能性、相同元素拆分等抽象规则的归纳，兴趣弱于具体案例操作；易因步骤繁琐等问题产生畏难情绪. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：从试验本质判断等可能性，并通过拆分、编号等手段将非等可能结果转化为等可能结果． 1.温故知新 本节课将进入用树状图或表格求概率第三课时的学习，先回顾以下问题： (1) 树状图的适用场景有哪些？ 树状图更适用于多步骤与需要强调顺序的两步实验． (2) 列表法的适用场景有哪些？ 列表法更适用于两步试验且结果数较多，或者两部实验但结果天然对称的两步试验. (3) 等可能事件与概率计算的关系? 等可能事件是概率计算的核心前提. 通过以上问题，猜测一下：在复杂情况下如何保证每个事件的基础概率都相同？什么情境下用列表法？让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习） （教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习） 2.情景引入 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色.其中游戏者的获胜概率是多少？ (设计意图：以学校联欢会游戏设计为背景，契合九年级学生的校园生活经验，降低对概率的抽象感。配紫色规则简单直观，能快速吸引学生注意力，引发如何判断游戏是否公平的探究欲) 探究点1　“配紫色” 游戏的概率探究 情境回顾：小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色. 任务一：利用画树状图或列表的方法表示游戏所有可能出现的结果. 1. 引导学生思考：这个游戏的结果是由几个步骤组成的？每个转盘的结果是否为等可能事件？为什么？ 答：两步事件——转动转盘A和转动转盘B；是等可能事件，因为“每个转盘被分成面积相等的扇形”，指针指向每个区域的概率相等 2. 引导学生思考，本题用树状图还是列表法更好？为什么？ 答：两步事件中，当两个转盘的区域数量相差不大时，表格法更直观. 3. 用列表法列举所有情况 转盘B \ 转盘A 红 白 黄 （红，黄） （白，黄） 蓝 （红，蓝） （白，蓝） 绿 （红，绿） （白，绿） 4. 表格中共有多少种情况？ 答：表格中共有6种情况. 任务二：计算游戏者获胜得概率 答：目标事件（红，蓝）的结果数为1种； 总结果数为6种，且每个结果等可能； 因此，获胜概率P=. 5.知识小结 通过以上情境，你能解释分步列举的逻辑是什么吗？ 对于本题而言，先固定转盘A的结果，再依次搭配转盘B，就可以分步列出出所有结果； 核心逻辑是强调分步进行. 6.即时训练 若将转盘A改为3个扇形（红、黄、蓝），转盘B改为2个扇形（蓝、白），你认为用树状图还是表格法更便捷？为什么？请你将其中的所有结果列举出来，并分析在此情况下游戏者的获胜概率. 【分析】转盘A改为3个扇形（红、黄、蓝），转盘B改为2个扇形（蓝、白），属于“3×2两步事件”，树状图能更清晰地体现“分步列举”的逻辑，分支层级明确，不易遗漏； 解：用树状图列举所有可能结果 开始 │ ┌─────┴─────┐ │ │ │ 红 黄 蓝 │ │ │ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ 蓝 白 蓝 白 蓝 白 │ │ │ │ │ │ （红,蓝） （红,白）（黄,蓝） （黄,白）（蓝,蓝） （蓝,白） 由图可知共有6种结果，其中获胜的情况是（红，蓝），因此游戏者获胜的概率是. （设计意图：从列举结果到计算概率再到方法对比，层层递进，引导学生经历操作→观察→归纳→应用的思维过程，培养有序思考能力和策略选择意识） （教学建议：教学中需紧扣列举完整和逻辑表达两个关键点，确保学生不仅会算概率，更理解概率计算的本质） 探究点2　“配紫色” 游戏概率的争议探究 问题展示： 如图，在 “配紫色” 游戏概率计算中，小颖和小亮给出了不同的解法，却得到了相同的概率结果。这两种解法是否都正确呢？ 1.小组合作交流 （1）如图，小颖直接用树状图列举结果，你认为她的解法正确吗？为什么？ 答：小颖的解法不正确，因为她直接将A盘分为“红、蓝”2种结果，认为每种结果概率为0.5，但A盘红色占120°，蓝色占240°，指针指向两个区域的概率不一样，非等可能事件. （2）如图，小亮先把转盘 A 的红色区域等分成 2 份，记作 “红色 1”、“红色 2”，再用列举法得出所有结果，你认为他的解法正确吗？为什么？ 答：小亮的做法是正确的，他通过将转盘 A 的红色区域细分，保证了所有结果的等可能性，在此基础上进行列举和计算，结果是准确的. 2. 为什么小亮要细分A盘红色区域？细分后的3个扇形（红色1、红色2、蓝色）有什么共同特点？这对概率计算有什么意义？ 答：细分后每个扇形面积相等（120°），即满足“等可能假设”，此时才能用“结果数/总结果数”计算概率——这是概率计算的前提. 3. 知识小结 结合本题，用树状图或表格法求概率时，必须注意什么？当事件结果非等可能时，如何转化为等可能事件？ 需注意确保列举的每个结果是等可能的；若事件非等可能性时，可将将非等可能区域按“最小等面积单位”细分. 4.即时训练 现有两个转盘，转盘C被分为黄色（圆心角180°）和橙色（圆心角180°）两个区域；转盘D被分为粉色（圆心角90°）、紫色（圆心角90°）、灰色（圆心角180°）三个区域。游戏规则：同时转动两个转盘，若转盘C转出黄色且转盘D转出粉色，则获得一等奖。 （1）小明直接画树状图，将转盘C的结果记为黄、橙，转盘D的结果记为粉、紫、灰，得到6种结果，进而得出获一等奖的概率为。这种做法对吗？为什么？ （2）请用正确的方法（保证结果等可能性），计算获得一等奖的概率. 解：（1）小明的做法不对，原因如下： 树状图法计算概率的前提是所有结果必须是等可能的。转盘C的黄、橙区域圆心角均为180°，因此黄、橙是等可能结果；但转盘D的粉色（90°）、紫色（90°）、灰色（180°）区域圆心角不同，导致这三个结果不是等可能的. （2）由于两个转盘转动是独立事件，一等奖概率为转盘C转出黄色的概率与转盘D转出粉色的概率的乘积. 转盘C黄色区域概率：P(黄)=​ 转盘D粉色区域概率：P(粉) = 一等奖概率：P(一等奖)=P(黄)×P(粉)= ​ （设计意图：对小颖和小亮解法的辨析，我们明确了小亮的做法正确，关键在于保证了所有结果的等可能性。同时也总结出，用树状图和列表法求概率时，等可能性是前提条件，必要时需对试验元素进行细分以满足这一条） （教学建议：针对这一环节，教师可采用小组讨论的方式，对两人不同的做法展开争辩，再这一环节中锻炼思维和语言能力） 探究点3　树状图与列表法求概率的注意事项 1.结合探究一和探究二的解题过程，想一想：用树状图或列表法求概率时，最容易出错的环节是什么？需要注意哪些前提条件？ 答：列举结果时容易遗漏或重复； 没判断事件是否等可能就直接用‘结果数/总结果数’； 多步骤事件时，树状图分支画不完整等 2.探究二中小亮通过“细分转盘红色区域”将非等可能事件转化为等可能事件，这一方法给我们什么启示？面对非等可能事件时，除了细分法，还可以用什么方法计算概率？需要注意什么？ 答：核心：不能仅看结果数量，需以面积占比、频率权重等为概率依据； 方法：① 细分转化为等可能事件→列举计算；② 直接用各步骤概率相乘 3. 规范应用“三步法” 答：等可能判断→结果列举→概率计算 例题导析 例1：一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率. 【分析】解题关键是明确放回摸球的独立性：第一次摸球后放回，第二次摸球时总球数不变（5个），两次结果相互独立。 正确列举所有等可能结果：由于球除颜色外完全相同，需通过“标记红球、白球”（红1/红2，白1/白2）区分相同颜色的球，确保每种结果等可能. 【解答】（1）先将两个红球分别记作红1、红2，两个白球分别记作白1、白2，然后列表如下： 第二次/第一次 红1 红2 白1 白2 蓝 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白1） （红1，白2） （红1，蓝） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白1） （红2，白2） （红2，蓝） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白1） （白1，白2） （白1，蓝） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白1） （白2，白2） （白2，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，白1） （蓝，白2） （蓝，蓝） 总共25种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种：（红1，蓝）（红2，蓝）（蓝，红1）（蓝，红2），所以，P(能配成紫色)= （设计意图：通过规范的解题流程示范、关键难点的刻意突破、实际情境的迁移应用，帮助学生从基础技能上升到高阶思维，最终实现用概率知识分析和解决问题的能力目标.） （教学建议：注意引导学生再解题时候将球进行区分，化为等可能事件之后再进行计算．） 1.用列表法或树状图法求概率时，核心前提是（ C ） A. 试验有两个步骤 B. 试验结果数量较多 C. 所有试验结果是等可能的 D. 试验涉及颜色元素 2.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求向上一面点数之和为5的概率，最适合的方法是（ B ） A. 仅用树状图法 B. 仅用列表法 C. 两种方法都适合 D. 两种方法都不适合 3.小颖计算"从装有1个红球、2个蓝球的袋子中摸出红球的概率"时，直接认为结果有"红、蓝"2种，概率为1/2，她的错误在于（ B ） A. 未考虑摸球是否放回 B. 未保证试验结果等可能 C. 错误使用树状图法 D. 计算过程数值错误 4.两个转盘：A盘等分为"红、白"2个区域，B盘等分为"黄、蓝、绿"3个区域。同时转动两转盘，"配紫色"（A盘红且B盘蓝）的概率是（ C ） A. B. C. D. 5.将两个相同的红球记为"红1""红2"，与1个蓝球进行"放回摸球"，两次摸到"红、蓝"配成紫色的结果有4种. 6.用列表法求概率时，需先保证所有试验结果等可能，再有序列举所有可能结果. 7.转盘A的红区占120°、蓝区占240°，为使结果等可能，应将蓝区拆分为2份. 8. 一个不透明袋子中有1个红球、1个白球、1个蓝球，除颜色外无其他差别. （1）从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率是多少？ （2）从袋子中随机摸出1个球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出1个球，用列表法求两次摸出的球颜色能配成紫色（红和蓝）的概率. （3）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，用树状图法求两次摸出的球颜色能配成紫色的概率. 【解答】解：（1）摸到红球的概率 袋子中有3个球（1红、1白、1蓝），随机摸1个球，总的情况数为3，摸到红球的情况数为1。因此，摸到红球的概率为： （2）放回抽样，用列表法求配成紫色的概率 放回抽样时，第一次摸球有3种可能，第二次摸球也有3种可能，总结果数为 种。列表如下（行表示第一次摸球，列表示第二次摸球）： 第一次\第二次 红 白 蓝 红 (红,红) (红,白) (红,蓝) 白 (白,红) (白,白) (白,蓝) 蓝 (蓝,红) (蓝,白) (蓝,蓝) 能配成紫色（红和蓝）的情况为 (红,蓝)和(蓝,红)，共2种。因此，概率为： （3）不放回抽样，用树状图求配成紫色的概率 不放回抽样时，第一次摸球有3种可能（红、白、蓝），第二次摸球时剩下2种可能，总结果数为 种 能配成紫色的情况为(红,蓝)和(蓝,红)，共2种。因此，概率为： 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. 题型一：等可能性判断与结果处理 1.（2023・河南郑州模拟）一个不透明袋子中装有 2 个白球、1 个红球，这些球除颜色外无差异。小宇认为摸出球的结果只有 “白”“红” 2 种，因此摸出红球的概率为​，其错误在于（ B ） A. 未考虑摸球顺序 B. 未将相同白球拆分为 “白 1”“白 2” 以保证结果等可能 C. 误将放回摸球当作不放回 D. 计算时总结果数统计错误 【分析】概率计算的核心是所有结果等可能，当存在相同元素时，需将其拆分为不同个体（如白1、白2），否则合并后的结果与其他结果的概率不等，导致计算错误. 【解答】袋子中有2个白球、1个红球，总结果数应为3个等可能结果. 小宇错误地将“白”合并为1个结果，认为总结果数为2（白、红），导致摸到红球的概率计算为. 正确的概率应为：红球占1个等可能结果，故概率为. 【点评】本题强调“等可能”是概率计算的前提。当有多个相同元素时，必须拆分以保证每个结果的概率相等，否则会因结果不等可能而犯根本性错误. 2.（2022・广东中考）如图，转盘被分为 3 个扇形，圆心角分别为 120°、120°、120°，颜色为红、蓝、白；另一个转盘被分为 2 个扇形，圆心角为 180°、180°，颜色为红、蓝。下列说法正确的是（ B ） A. 第一个转盘转出 “红” 的概率为​ B. 第二个转盘转出 “红”“蓝” 的结果是等可能的 C. 同时转动两转盘，结果共有 5 种 D. 同时转动两转盘，配成 “红蓝” 的概率为​ 【分析】本题考查转盘概率计算及联合事件概率。需明确每个转盘各颜色的概率，再判断选项正确性. 【解答】第一个转盘：3个扇形，圆心角均为120°，故红、蓝、白的概率均为； 第二个转盘：2个扇形，圆心角均为180°，故红、蓝的概率均为. 【点评】本题需注意：① 转盘概率由扇形面积占比决定；② 联合事件（如“红蓝”）的概率用乘法原理计算；③ 等可能性的判断标准是“概率相等”，而非“结果数量相等”. 3.（2024・山东青岛模拟）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽 1 张，判断 “抽到红桃” 与 “抽到黑桃” 的结果是否等可能，下列分析正确的是（ B ） A. 不等可能，因为红桃有 13 张，黑桃有 13 张 B. 等可能，因为两种花色的牌数量相同 C. 不等可能，因为花色名称不同 D. 无法判断 【分析】等可能性事件的判断，核心是比较两个事件的概率是否相等. 【解答】去掉大小王的扑克牌共52张，红桃与黑桃各13张. 抽到红桃的概率：​；抽到黑桃的概率：​. 两者概率相等，因此“抽到红桃”与“抽到黑桃”是等可能事件. 【点评】等可能性的判断不依赖于事件的名称或属性，仅取决于事件发生的概率是否相等。当两个事件的数量相同时，其概率相等，因此是等可能的 4.（2021・江苏苏州中考）一个不透明的盒子里有 3 个相同的红球和 2 个相同的白球，从中随机摸出 1 个球，下列说法正确的是（ C ） A. 摸出红球的概率为​ B. 摸出白球的概率为​ C. 应将红球记为 “红 1”“红 2”“红 3”，白球记为 “白 1”“白 2” 再计算概率 D. 直接用 “红”“白” 2 种结果计算概率更简便． 【分析】等可能性事件的概率计算，核心是保证所有结果等可能。当存在多个相同元素（如3个红球、2个白球）时，需将其拆分为不同个体（如“红1”“红2”“红3”“白1”“白2”），否则合并后的“红”“白”结果不是等可能的，无法直接用两种结果计算概率. 【解答】总球数：3个红球 + 2个白球 = 5个球. 等可能结果：每个球被摸出的概率相等，因此需将相同球区分开（如红1、红2、红3、白1、白2），总共有5个等可能结果. 【点评】本题再次强调“等可能性”是概率计算的核心前提。当有多个相同元素时，必须通过“编号”等方式将其拆分为不同个体，确保每个结果的概率相等，否则会因结果不等可能而导致概率计算错误． 题型二： 列表法求概率（含放回 / 不放回） 5.（2022・湖南长沙中考）从 2、3、4 三个数中随机抽取 1 个数，记为 a，再从剩下的两个数中随机抽取 1 个数，记为 b（不放回）。用列表法求点 (a,b) 在反比例函数 ​图象上的概率. 【分析】本题考查不放回抽样的列表法求概率，核心是明确有序对（）的所有可能结果，并正确判断点是否在反比例函数 ​的图象上． 【解答】从2、3、4中不放回抽取，第一次有3种选择，第二次有2种选择，总共有种有序对，分别为： 、、、、、. 筛选满足条件的有序对： ：2×3=，满足； ：，满足； 满足条件的结果有2种，总结果有6种，故概率为： 【点评】本题强调“有序性”在概率计算中的重要性。因和是先后抽取的，点是有序的，因此和是不同的结果，但都满足条件，需全部计入. 6. （2024・湖北武汉模拟）一个不透明盒子中有标号为 1、2、3 的 3 个小球，除标号外无差异，采用有放回的方式从中摸球两次，每次摸 1 个。列表计算两次摸出的小球标号之和为 4 的概率. 【分析】本题考查有放回抽样的列表法求概率，核心是明确有放回导致的结果重复性，并正确列举所有有序对，找出标号之和为4的结果． 【解答】列出所有有序对： 有放回摸球两次，每次有3种标号选择，总共有种有序对，列表如下： 第二次 \ 第一次 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 筛选和为4的有序对： 计算每个有序对的标号之和： (1,3)、 计算概率： 满足条件的结果有3种，总结果有9种，故概率为： 【点评】本题需注意“有放回”的试验规则：每次摸球是独立的，标号可以重复（，因此必须列出所有可能的有序对. 7. （2021・四川成都中考）现有 4 张卡片，分别写有数字 1、2、3、4，将卡片洗匀后，先随机抽取 1 张记下数字，放回后洗匀，再随机抽取 1 张。用列表法求两次抽取的数字之和大于 5 的概率. 【分析】本题考查放回抽样的列表法求概率，核心是明确放回抽取导致的数字重复性（，并正确列举所有有序对，找出两次数字之和大于5的结果． 【解答】列出所有有序对： 放回抽取两次，每次有4种数字选择，总共有4×4=16种有序对，列表如下： 第二次 \ 第一次 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 筛选和大于5的有序对： 计算每个有序对的和： ：；：；：； ：；：；：； 其他有序对的和均≤5，不满足条件. 计算概率： 满足条件的结果有6种，总结果有16种，故概率为： 【点评】本题需仔细检查每个有序对的和，避免漏算或多算。放回抽样时，数字可以重复，因此(2,4)和(4,2)是不同的结果，但都满足和为6，需全部计入. 题型三 树状图法求概率（多步骤 / 多元素） 9. （2023・河北中考）某超市举办抽奖活动，规则如下：在不透明的箱子中有红、黄、蓝 3 种颜色的小球各 1 个，顾客随机摸出 1 个球，记下颜色后放回，再摸出 1 个球，再记下颜色。用树状图求两次摸出的球颜色相同的概率. 【分析】有放回抽样（每次摸球后放回，结果独立），树状图需体现“重复试验”的分支特征. 关键： ① 第一次摸球有3种等可能结果（红、黄、蓝）； ② 第二次摸球因“放回”，仍有3种等可能结果，总结果数为3×3=93×3=9种； ③ 目标事件：两次颜色相同（红红、黄黄、蓝蓝）. 【解答】绘制树状图（分步列举） 第一次摸球 第二次摸球 ├── 红 │ ├── 红 → (红,红) │ ├── 黄 → (红,黄) │ └── 蓝 → (红,蓝) ├── 黄 │ ├── 红 → (黄,红) │ ├── 黄 → (黄,黄) │ └── 蓝 → (黄,蓝) └── 蓝 ├── 红 → (蓝,红) ├── 黄 → (蓝,黄) └── 蓝 → (蓝,蓝) 计算概率： 总等可能结果数：9种； 两次颜色相同的结果数：3种（红红、黄黄、蓝蓝）； 概率P= 【点评】本题考查对树状图的使用，树状图优势：清晰展示分步试验的所有可能，避免遗漏；有放回抽样的概率计算需考虑重复结果，树状图是直观的工具 10. （2022・陕西西安模拟）一个不透明袋子中有 2 个红球、1 个白球，这些球除颜色外无差异，依次摸出 2 个球（不放回）。用树状图求摸出的两个球都是红球的概率 【分析】不放回抽样，需区分两个红球（保证等可能）； ① 第一次摸球有3种等可能结果（红1、红2、白）； ② 第二次摸球是剩下的2个球； ③ 目标事件：两个都是红球（红1红2、红2红1） 【解答】画树状图列举所有可能结果 第一次摸球（不放回） 第二次摸球 ├── 红₁ │ ├── 红₂ → (红₁,红₂) │ └── 白 → (红₁,白) ├── 红₂ │ ├── 红₁ → (红₂,红₁) │ └── 白 → (红₂,白) └── 白 ├── 红₁ → (白,红₁) └── 红₂ → (白,红₂) 计算概率： 总等可能结果数：6种； 两个都是红球的结果数：2种（红1红2、红2红1）； 概率：P=【点评】本题在解题时，若未区分两个红球，如将红球视为“红”，导致第一次摸球结果为“红”“白”两种，非等可能，容易导致错误产生.但合理利用，通过区分相同元素（红1、红2），保证等可能结果，避免概率计算错误. 11.（2024・安徽合肥中考）某校为选拔学生参加演讲比赛，对 A、B、C 三名候选人进行面试和笔试，两项成绩均分为 “优秀”“良好”“合格”。假设每项成绩的等级是随机的，用树状图求 A 候选人面试和笔试成绩均为 “优秀” 的概率. 【分析】本题是独立事件，每项成绩有3种等可能结果；① 面试成绩：优秀、良好、合格（3种）； ② 笔试成绩：优秀、良好、合格（3种，与面试独立）； ③ 目标事件：面试优秀且笔试优秀（优,优） 【解答】画树状图列举所有情况 面试成绩 笔试成绩 ├── 优秀 │ ├── 优秀 → (优秀,优秀) │ ├── 良好 → (优秀,良好) │ └── 合格 → (优秀,合格) ├── 良好 │ ├── 优秀 → (良好,优秀) │ ├── 良好 → (良好,良好) │ └── 合格 → (良好,合格) └── 合格 ├── 优秀 → (合格,优秀) ├── 良好 → (合格,良好) └── 合格 → (合格,合格) 计算概率： 总等可能结果数：3×3=9种； 面试和笔试均为优秀的结果数：1种（优,优）； 概率：P= 【点评】此题在解题过程中容易认为“优秀”概率高或低，忽略“每项成绩等级随机”的等可能前提；采用画树状图解决问题，不仅展示独立事件的联合结果，更能清晰计算目标事件概率. 题型四 双转盘（含分区不均）概率计算 12.（2023・江西南昌中考）如图，转盘 M 被分为 2 个扇形，圆心角分别为 120°（红）、240°（蓝）；转盘 N 被分为 3 个扇形，圆心角均为 120°（红、蓝、白）。同时转动两转盘，配成紫色（红 + 蓝）的概率是多少？ 【分析】本题核心是处理非等可能结果：转盘 M 的红区（120°）与蓝区（240°）面积不等，结果不具有等可能性，需将蓝区拆分为 2 个 120°的区域，再用树状图列举结果计算概率. 【解答】画树状图列举所有情况 开始 ├── 红（转盘 M） │ ├── 红（转盘 N）→ (红,红) │ ├── 蓝（转盘 N）→ (红,蓝) │ └── 白（转盘 N）→ (红,白) ├── 蓝 1（转盘 M） │ ├── 红（转盘 N）→ (蓝 1,红) │ ├── 蓝（转盘 N）→ (蓝 1,蓝) │ └── 白（转盘 N）→ (蓝 1,白) └── 蓝 2（转盘 M） ├── 红（转盘 N）→ (蓝 2,红) ├── 蓝（转盘 N）→ (蓝 2,蓝) └── 白（转盘 N）→ (蓝 2,白) 配成紫色（红 + 蓝）的结果有 3 种 计算概率： 【点评】本题突出 “等可能性是概率计算的前提”，通过 “拆分不均区域” 将非等可能结果转化为等可能，是概率计算的关键思维。解题时需注意：若区域面积不等，必须先拆分再列举，否则会导致结果错误. 13.（2022・广西南宁模拟）两个转盘如图所示，转盘 A 等分为红、白 2 区，转盘 B 等分为红、蓝、绿 3 区。同时转动两转盘，用树状图或列表法求转出的颜色中有红色的概率. 【分析】本题是等可能结果下的基础概率计算：转盘 A（红、白 2 区）和转盘 B（红、蓝、绿 3 区）的区域面积均相等，结果具有等可能性，用列表法可直接列举所有结果，计算 “转出颜色中有红色”（至少一个红色）的概率. 【解答】列表列举所有情况 转盘B\转盘A 红 白 红 (红, 红) (白, 红) 蓝 (红, 蓝) (白, 蓝) 绿 (红, 绿) (白, 绿) 转出颜色中有红色的结果有 4 种； 计算概率： 【点评】本题考查列表法的规范应用及 “或” 事件（至少一个红色）的理解，属于基础题型。解题时需注意 “有红色” 的含义是 “至少一个红色”，避免误判为 “两个都是红色”. 14.（2024・辽宁沈阳中考）转盘 Ⅰ 的圆心角：红区 180°、蓝区 180°；转盘 Ⅱ 的圆心角：红区 90°、蓝区 90°、白区 180°。若要使同时转动两转盘配成 “红蓝” 的概率为​，需对转盘 Ⅱ 进行怎样的分区调整？ 【分析】本题是概率逆向设计：已知目标概率6，需调整转盘 Ⅱ 的分区，使 “转盘 Ⅰ 红 + 转盘 Ⅱ 蓝” 的概率为。先分析转盘 Ⅰ 的概率，再推导转盘 Ⅱ 转出蓝色的概率，最终转化为 “区域圆心角占比” 的几何问题. 【解答】分析转盘 Ⅰ 的概率：转盘 Ⅰ 红区、蓝区各 180°，因此转出红色的概率 推导转盘 Ⅱ 转出蓝色的概率：设转盘 Ⅱ 转出蓝色的概率为P2​(蓝)，根据题意：​，解得 设计转盘 Ⅱ 的分区：转盘 Ⅱ 总圆心角为 360°，要使蓝区概率为​，则蓝区圆心角为. 【点评】本题体现逆向思维，从 “目标概率” 反推 “试验条件”，综合应用了 “分步概率相乘” 与 “圆心角占比对应概率” 的知识。解题关键是先通过概率关系推导未知转盘的概率要求，再转化为几何分区，对逻辑推理能力要求较高. 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. 1.概率计算的首要条件：试验所有结果必须具有等可能性. 2.等可能性判断标准：结果发生的概率均等. 3.非等可能转化方法： ①转盘：拆分不均区域 ②元素：编号相同物体. 设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性. 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题3.3 第4题. 3.1用树状图或表格求概率（第3课时） 核心前提：等可能性 1. 判断标准：结果发生概率均等（如等面积转盘、同质地球） 2. 转化方法： ①转盘：拆分不均区域 ②元素：编号相同物体 3.关键方法：画树状图、列表法 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $