3.1用树状图或表格求概率（第3课时）（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 3.1用树状图或表格求概率 第3课时 第三章概率的进一步认识 学 习 目 标 1.能将无明显差异的元素转化为可区分元素，确保结果集的等可能性，并针对转盘、摸球、抽卡片等不同场景，选择合适的方法穷举所有等可能结果，准确计算目标概率；（重点） 2.从试验本质判断等可能性，并通过拆分、编号等手段将非等可能结果转化为等可能结果.（难点） 知识回顾 1. 树状图的适用场景有哪些：树状图更适用于__________与____________的两步实验． 多步骤 需要强调顺序 2. 列表法的适用场景有哪些：列表法更适用于____________________，或者两部实验但结果________的两步试验. 两步试验且结果数较多 对称 3. 等可能事件与概率计算的关系：等可能事件是__________的核心前提. 概率计算 情境引入 问题：问题: 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形。游戏者同时转动两个转盘，如果转盘 A 转出了红色，转盘 B 转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色.其中游戏者的获胜概率是多少？ 新知探究 探究一：“配紫色” 游戏的概率探究 1.情境中的游戏是_________——转动转盘A和转动转盘B；是_______（等可能/不等可能）事件，因为每个转盘被分成面积相等的扇形，指针指向每个区域的概率________.（相等/不等） 两步事件 等可能 相等 2.列举法选择：两步事件中，当两个转盘的区域数量相差不大时，________更直观 表格法 3. 用列表法列举所有情况 转盘B \ 转盘A 红 白 黄 蓝 绿 （红，黄） （白，黄） （红，蓝） （白，蓝） （红，绿） （白，绿） 新知探究 2.概率统计： 游戏者获胜的结果数有______种；表格中共有______种情况，且每种情况出现的概率相等 1 6 因此游戏者获胜的概率为. 新知探究 分步列举的逻辑 知识归纳 在这类题目中，先固定转盘A的结果，再依次搭配转盘B，就可以分步列出出所有结果； 核心逻辑是强调分步进行. 新知探究 1.若将转盘A改为3个扇形（红、黄、蓝），转盘B改为2个扇形（蓝、白），你认为用树状图还是表格法更便捷？为什么？请你将其中的所有结果列举出来，并分析在此情况下游戏者的获胜概率. 【分析】转盘A改为3个扇形（红、黄、蓝），转盘B改为2个扇形（蓝、白），属于“3×2两步事件”，树状图能更清晰地体现“分步列举”的逻辑，分支层级明确，不易遗漏； 新知探究 解：用树状图列举所有可能结果 开始 │ ┌─────┴─────┐ │ │ │ 红 黄 蓝 │ │ │ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ ┌───┴───┐ 蓝 白 蓝 白 蓝 白 │ │ │ │ │ │ （红,蓝）（红,白） （黄,蓝） （黄,白） （蓝,蓝） （蓝,白） 由图可知共有6种结果，其中获胜的情况是（红，蓝）， 因此游戏者获胜的概率是. 新知探究 探究二：“配紫色” 游戏概率的争议探究 如图，在 “配紫色” 游戏概率计算中，小颖和小亮给出了不同的解法，却得到了相同的概率结果。这两种解法是否都正确呢？ 想一想 分析：我们先从小颖的解法分析，在对小亮的解法进行分析.判断二人的对错，并对得出结论. 新知探究 2.小颖的列举方法 如图，小颖直接用树状图列举结果 （1）结合题中转盘的颜色占比可知，小颖的解法_________（正确/不正确） 不正确 (2)因为她直接将A盘分为“红、蓝”2种结果，认为每种结果概率为___ 0.5 但A盘红色占120°，蓝色占240°，指针指向两个区域的概率不一样，_____（是/非）等可能事件. 非 新知探究 3.小亮的列举方法 小亮通过将转盘 A 的红色区域细分，保证了所有结果的________，在此基础上进行列举和计算，结果是________（正确/不正确）的，因此，小亮的做法是________的. 等可能性 准确 正确 4.小亮细分表盘的原因是什么？ 通过以上表格容易发现：细分后每个扇形角度都为________，即满足________假设，此时才能用“结果数/总结果数”计算概率——这是概率计算的前提. 120° 等可能 新知探究 非等可能化等可能的步骤： 知识归纳 用树状图或表格法求概率时，需注意确保列举的每个结果是等可能的 若事件非等可能性时，可将将非等可能区域按“最小等面积单位”细分. 新知探究 现有两个转盘，转盘C被分为黄色（圆心角180°）和橙色（圆心角180°）两个区域；转盘D被分为粉色（圆心角90°）、紫色（圆心角90°）、灰色（圆心角180°）三个区域。游戏规则：同时转动两个转盘，若转盘C转出黄色且转盘D转出粉色，则获得一等奖。 （1）小明直接画树状图，将转盘C的结果记为黄、橙，转盘D的结果记为粉、紫、灰，得到6种结果，进而得出获一等奖的概率为1/6。这种做法对吗？为什么？ （2）请用正确的方法（保证结果等可能性），计算获得一等奖的概率 新知探究 解：（1）小明的做法不对，原因如下： 树状图法计算概率的前提是所有结果必须是等可能的。转盘C的黄、橙区域圆心角均为180°，因此黄、橙是等可能结果；但转盘D的粉色（90°）、紫色（90°）、灰色（180°）区域圆心角不同，导致这三个结果不是等可能的. 新知探究 （2）由于两个转盘转动是独立事件，一等奖概率为转盘C转出黄色的概率与转盘D转出粉色的概率的乘积. 转盘C黄色区域概率：P(黄)=​ 转盘D粉色区域概率：P(粉) = 一等奖概率：P(一等奖)=P(黄)×P(粉)= ​ 新知探究 探究三：树状图与列表法求概率的注意事项 1.用树状图或列表法求概率时，最容易出错的环节： ①列举结果时容易遗漏或重复； ②没判断事件是否等可能就直接用‘结果数/总结果数’； ③多步骤事件时，树状图分支画不完整等 2.面对非等可能事件时 ①不能仅看结果数量，需以面积占比、频率权重等为概率依据 ②方法：（1） 细分转化为等可能事件→列举计算； （2）直接用各步骤概率相乘 典例分析 一个盒子中装有两个红球、两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同. 从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率. 例1 【分析】解题关键是明确放回摸球的独立性：第一次摸球后放回，第二次摸球时总球数不变（5个），两次结果相互独立。 正确列举所有等可能结果：由于球除颜色外完全相同，需通过“标记红球、白球”（红1/红2，白1/白2）区分相同颜色的球，确保每种结果等可能. 典例分析 【解答】（1）先将两个红球分别记作红1、红2，两个白球分别记作白1、白2，然后列表如下： 第二次/第一次 红1 红2 白1 白2 蓝 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白1） （红1，白2） （红1，蓝） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白1） （红2，白2） （红2，蓝） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，白1） （白1，白2） （白1，蓝） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，白1） （白2，白2） （白2，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，白1） （蓝，白2） （蓝，蓝） 总共25种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次摸到的球的颜色能配成紫色的结果有4种：（红1，蓝）（红2，蓝）（蓝，红1）（蓝，红2）， 所以，P(能配成紫色)= 巩固练习 基础巩固题 C 1.用列表法或树状图法求概率时，核心前提是（ ） A. 试验有两个步骤 B. 试验结果数量较多 C. 所有试验结果是等可能的 D. 试验涉及颜色元素 2.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求向上一面点数之和为5的概率，最适合的方法是（ ） A. 仅用树状图法 B. 仅用列表法 C. 两种方法都适合 D. 两种方法都不适合 B 巩固练习 基础巩固题 B 3.小颖计算"从装有1个红球、2个蓝球的袋子中摸出红球的概率"时，直接认为结果有"红、蓝"2种，概率为1/2，她的错误在于（ ） A. 未考虑摸球是否放回 B. 未保证试验结果等可能 C. 错误使用树状图法 D. 计算过程数值错误 4.两个转盘：A盘等分为"红、白"2个区域，B盘等分为"黄、蓝、绿"3个区域。同时转动两转盘，"配紫色"（A盘红且B盘蓝）的概率是（ ） A. B. C. D. C 巩固练习 基础巩固题 4 5.将两个相同的红球记为"红1""红2"，与1个蓝球进行"放回摸球"，两次摸到"红、蓝"配成紫色的结果有_______种. 6.用列表法求概率时，需先保证所有试验结果_______，再有序列举所有可能结果. 7.转盘A的红区占120°、蓝区占240°，为使结果等可能，应将蓝区拆分为_____份. 等可能 2 巩固练习 基础巩固题 8. 一个不透明袋子中有1个红球、1个白球、1个蓝球，除颜色外无其他差别. （1）从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率是多少？ （2）从袋子中随机摸出1个球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出1个球，用列表法求两次摸出的球颜色能配成紫色（红和蓝）的概率. （3）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，用树状图法求两次摸出的球颜色能配成紫色的概率. 【解答】解：（1）摸到红球的概率 袋子中有3个球（1红、1白、1蓝），随机摸1个球，总的情况数为3，摸到红球的情况数为1。因此，摸到红球的概率为： 巩固练习 基础巩固题 （2）放回抽样，用列表法求配成紫色的概率 放回抽样时，第一次摸球有3种可能，第二次摸球也有3种可能，总结果数为 种。列表如下（行表示第一次摸球，列表示第二次摸球）： 第一次\第二次 红 白 蓝 红 (红,红) (红,白) (红,蓝) 白 (白,红) (白,白) (白,蓝) 蓝 (蓝,红) (蓝,白) (蓝,蓝) 能配成紫色（红和蓝）的情况为 (红,蓝)和(蓝,红)，共2种。因此，概率为： 巩固练习 基础巩固题 （3）不放回抽样，用树状图求配成紫色的概率 不放回抽样时，第一次摸球有3种可能（红、白、蓝），第二次摸球时剩下2种可能，总结果数为 种 能配成紫色的情况为(红,蓝)和(蓝,红)，共2种。因此，概率为： 课堂小结 用树状图或表格求概率(第三课时) 概率计算的首要条件 试验所有结果必须具有等可能性 非等可能转化方法 转盘：拆分不均区域 元素：编号相同物体 作业布置 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题3.3第4题。 感谢聆听! $