3.1用树状图或表格求概率（第2课时）（教学课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦用树状图或表格求概率，通过“石头剪刀布”游戏情境导入，先回顾树状图绘制、列表法构建等知识作为学习支架，引导学生探究游戏公平性，衔接前后知识点形成完整脉络。 其亮点在于结合生活情境培养数学眼光，通过对比树状图与列表法的优劣发展数学思维，用表格清晰呈现结果提升数学语言表达。例如用掷骰子点数和问题，列表统计结果培养推理与运算能力，帮助学生灵活选方法，教师使用可提升教学效率。

北师大版·九年级上册 3.1用树状图或表格求概率 第2课时 第三章概率的进一步认识 学 习 目 标 1.熟练运用树状图法和列表法列举两步随机事件的所有等可能结果，并准确计算事件概率，能根据概率结果判断游戏规则的公平性；（重点） 2.针对具体问题情境，能灵活选择树状图或列表法，解决结果数量较多或情境稍复杂时的情境.（难点） 知识回顾 1. 树状图的绘制逻辑分层绘制分支，确保_______、_______地列举所有等可能结果 不重复 不遗漏 2. 列表法的构建方式：表格的“行”和“列”需分别对应两个相互独立的操作步骤或对象分组，行表示____________，列表示_____________. 第一个对象 第二个对象 3. 等可能结果的含义：每个结果出现的______相等，这是计算等可能事件概率的前提. 概率 4. 概率的核心计算公式：P（A）=，n 是______________________，m 是_______________________ 所有等可能结果的总数 事件A包含的结果数 情境引入 问题：由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏。如果两人的手势相同，那么小凡为游戏的获胜者；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小颖中的获胜者为游戏的获胜者。 假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？ 新知探究 探究一：“石头、剪刀、布”游戏公平性探究 1.判断一个游戏公平的标准： 游戏是否公平，看三人获胜的概率是否相等 若相等，则游戏公平，反之则不公平. 2. 小组合作:用树状图列举小明和小颖的所有手势组合 观察统计：总共有9种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同 新知探究 2.概率统计： （1）小凡获胜：两人手势相同.这类结果共_____种，因此小凡获胜的概率P=; （2）小明获胜：小明胜小颖.这类结果共_____种，因此小明获胜的概率P=; （3）小颖获胜：小颖胜小明.这类结果共______种，因此小颖获胜的概率P=. 3 = 3 3 = = 公平性验证：三人获胜的概率相等，所以这个游戏对三人______ 公平 新知探究 3.尝试用列表法呈现结果，重复步骤概率计算，验证结论是否与树状图法一致. 小明手势 石头 剪刀 布 石头 剪刀 布 由表格可知：三人获胜概率均为，游戏对三人______ 公平 (石,石) (石,剪) (石,布) (剪,石) (布,石) (剪,剪) (布,剪) (剪,布) (布,布) 新知探究 树状图法与列表发优劣对比： 知识归纳 不同的优劣势对比，可以帮助大家判断不同情况用什么方法合适. （1）树状图法 优势： 劣势： （2）列表法 优势： 劣势： 能清晰体现事件发生的步骤性与顺序性 当步骤更多或结果数量较大时，分支会变得繁琐、视觉上不够紧凑，绘制和查看的效率会降低 简洁紧凑，突出结果的组合性 不易体现事件的先后顺序 新知探究 1. 甲、乙两人玩 “摸卡片比数字” 游戏，规则如下： 准备分别标有数字1、2、3的三张卡片，打乱后背面朝上放置。甲先随机摸出一张卡片，记录数字后放回并重新打乱；再由乙随机摸出一张卡片.若甲摸出的数字大于乙摸出的数字，则甲胜；若乙摸出的数字大于甲摸出的数字，则乙胜；若数字相等，则重新摸卡，直到分出胜负.已知甲、乙每次摸卡时，摸到标有1、2、3的卡片的可能性相同，这个游戏对甲、乙公平吗？ 新知探究 解：用树状图列举所有可能结果 甲 乙 ├─── 1 ────1 ─── (1,1)平局 │ ├─── 2 ─── (1,2)乙胜 │ └─── 3 ─── (1,3)乙胜 开始├─── 2 ───1 ─── (2,1)甲胜 │ ├─── 2 ─── (2,2)平局 │ └───3 ─── (2,3)乙胜 └─── 3 ───1 ─── (3,1)甲胜 ├─── 2 ─── (3,2)甲胜 └─── 3 ─── (3,3)平局 总结果数：9种 平局结果：3种 甲胜：(2,1)、(3,1)、(3,2) → 3种； 乙胜：(1,2)、(1,3)、(2,3) → 3种. 甲获胜的概率 ，乙获胜的概率 因此这个游戏对甲、乙公平 新知探究 探究二：掷骰子点数和的获胜概率最大化选择 小明和小军玩游戏，每人从(1,2,…,12)中选择一个数，随后两人各掷一次质地均匀的骰子，若谁选择的数等于 “两枚骰子掷得的点数之和”，谁就获胜；若两人选择的数都不符合点数和，则重复游戏直至分出胜负。若你是游戏者，应选择哪个数，才能让获胜概率最大？ 做一做 分析：本题最好选用________，因为两枚骰子点数和的组合关系，且两枚骰子的组合数过多，树状图法使用起来会变得繁琐且不够紧凑. 列表法 新知探究 2.用列表法列举所有结果.（中间格子代表两数之和） 小明点数/ 小军点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12 新知探究 3. 统计每个点数和的结果数 点数之和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 出现次数 概率 2 1 3 4 5 6 5 4 3 2 1 通过以上表格容易发现：点数之和是____出现的次数最多，概率最大，其次是______和_______，因此作为游戏者，应该选择数字______. 7 7 8 6 新知探究 列表法的优势： 知识归纳 当题目着重先后顺序时，要体现步骤性时，可选择画树状图法. 当事件涉及两步组合求和且不用太过区分顺序时，列表法能直观展示结果关系，便于统计与概率分析 新知探究 小明和小红玩游戏，规则如下：两人各掷一次质地均匀的骰子，若掷得的点数之积为偶数，则小明获胜；若掷得的点数之积为奇数，则小红获胜。这个游戏对小明和小红公平吗？若不公平，谁获胜的概率更大？ 【分析】本题中涉及的是两个步骤，且不用区分顺序，因此使用表格法能更清晰的将奇偶性展示出来 新知探究 解：用表格列举所有结果及积的奇偶性 小明掷得的点数/ 小红掷得的点数 1 2 3 4 5 6 1 奇 偶 奇 偶 奇 偶 2 偶 偶 偶 偶 偶 偶 3 奇 偶 奇 偶 奇 偶 4 偶 偶 偶 偶 偶 偶 5 奇 偶 奇 偶 奇 偶 6 偶 偶 偶 偶 偶 偶 从表中可以看出总结果数有36种；积为奇数有9种，积为偶数有27种. 小红获胜的概率为；小明获胜的概率为，因此这个游戏不公平，小明获胜的概率更大 典例分析 同时掷两枚质地均匀的骰子，设第一枚骰子的点数为m，第二枚骰子的点数为n，求下列事件的概率： （1）两枚骰子的点数之和为5（即m+n=5）； （2）至少有一枚骰子的点数为3. 例1 【分析】两枚骰子的结果适合用列表法，其中行、列分别对应第一枚、第二枚骰子的点数，清晰呈现 36 种等可能结果，体现两步独立、结果组合性强情境下列表法的优势. 典例分析 【解答】（1）用表格列出第一枚骰子点数与第二枚骰子点数的和的所有组合，并从中寻找结果等于5的个数 第一枚骰子点数m/ 第二枚骰子点数n 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 统计表中的结果数可知共有36种结果 共有36种结果，其中m+n=5的结果共4种 因此两枚骰子之和为5的概率P= 典例分析 【解答】 （2）第一枚为3，第二枚不为3的情况有6种 第一枚不为3，第二枚为3的情况有6 其中两枚都是3的情况有重复，因此最终由11情况至少一枚骰子为3 则至少一枚骰子为3的概率P= 甲、乙两人玩转盘游戏：转盘被等分为红、黄、蓝三个区域（指针指向区域边界时重新转动）。游戏规则为：甲先转动转盘一次，记录颜色后，乙再转动转盘一次；若两次指针指向的颜色相同，则甲获胜；若两次颜色不同，则乙获胜。这个游戏对甲、乙公平吗？ 例2 典例分析 【分析】甲转→乙转是两步有顺序的随机事件，适合用树状图，第一层为甲转动的颜色，第二层为乙转动的颜色，体现步骤清晰、层级明确情境下树状图的优势. 【解答】画树状图列出所有情况 典例分析 甲转动 乙转动 │ ├─ 红 → (红,红)-甲胜 ─ 红 → ─ 黄 → (红,黄)-乙胜 │ └─ 蓝 → (红,蓝)-乙胜 │ ├─ 红 → (黄,红)-乙胜 开始→│ ─ 黄 → ├─ 黄 → (黄,黄)-甲胜 │ └─ 蓝 → (黄,蓝)-乙胜 │ ├─ 红 → (蓝,红)-乙胜 │ ─ 蓝 → ├─ 黄 → (蓝,黄)-乙胜 │ └─ 蓝 → (蓝,蓝)-甲胜 从图中可以看出总结果数有9种，且每种结果等可能出现，但甲胜的情况只有三种，而乙有六种 甲获胜的概率是，而乙胜的概率是，因此该游戏对甲不公平. 巩固练习 基础巩固题 A 1.同时抛掷两枚质地均匀硬币，要列举所有可能结果，最适合的方法（ ） A. 树状图法 B. 列表法 C. 公式法 D. 以上方法都不适合 2.小明和小刚玩“猜拳”游戏（石头、剪刀、布），用树状图列举所有结果时，第一层分支代表的是（ ） A. 小明出的手势 B. 小刚出的手势 C. 两人出的手势组合 D. 游戏结果 A 3.甲、乙两人各掷一次骰子，若“点数和为6”，则甲胜；若“点数和为7”，则乙胜。这个游戏（ ） A. 对甲公平 B. 对乙公平 C. 对两人都公平 D. 无法判断 B 巩固练习 基础巩固题 4.下列事件中，适合用树状图法列举结果的是（ ） A. 从两张卡片中同时抽一张，求抽到红色卡片的概率 B. 先后两次抽奖，每次抽一张奖券（不放回），求两次都中奖的概率 C. 掷一枚骰子，求点数大于3的概率 D. 从装有3个红球、2个白球的袋子中摸一个球，求摸到红球的概率 5.一个游戏规则：掷两枚骰子，若点数之积为奇数，甲胜；若为偶数，乙胜。则（ ） A. 甲胜的概率大 B. 乙胜的概率大 C. 两人胜的概率相等 D. 无法确定 B B 巩固练习 基础巩固题 6.用列表法列举“同时掷两枚骰子”的所有结果，总共有______种等可能结果。 7.小明和小红玩“摸球”游戏：袋中有2个红球、1个白球，小明先摸1个（不放回），小红再摸1个。要列举所有可能结果，应选用________法. 8.掷一枚骰子两次，点数和为8的概率是 36 树状图 巩固练习 基础巩固题 9. 甲、乙两人分别从 A、B 两个路口出发，每个路口都有 “直行”“左转”“右转” 3 种通行方式，且选择每种方式的可能性相同。规定： 若两人通行方式均为 “直行”，则甲胜； 若两人通行方式均为 “左转”，则乙胜； 其余情况重新通行，直到分出胜负。 （1）用列表法列举两人通行方式的所有可能结果； （2）计算甲、乙获胜的概率，说明游戏是否公平. 【解答】解：（1）用列表法列举两人通行方式的所有可能结果 巩固练习 基础巩固题 【解答】解：（1）用列表法列举两人通行方式的所有可能结果 甲的通行方式/ 乙的通行方式 直行 左转 右转 直行 (直行,直行) (直行,左转) (直行,右转) 左转 (左转,直行) (左转,左转) (左转,右转) 右转 (右转,直行) (右转,左转) (右转,右转) 由表可知，总结果数为9种，每种结果等可能出现. （2）计算甲、乙获胜的概率及公平性判断 甲胜的结果数有1种，乙胜的结果数也有1种，重新通行的结果数有7种， 由于重新通行时胜负概率不变，仅需比较有效结果 甲获胜的概率P=；乙获胜的概率P=. 课堂小结 用树状图或表格求概率(第二课时) 树状图法 能清晰体现事件发生的步骤性与顺序性 列表法 以 “行 × 列” 的二维表格形式呈现结果，简洁紧凑，突出结果的组合性 适合多步骤、有明确先后顺序的随机事件 适合两步独立且结果为组合配对的随机事件 作业布置 1.必做题：习题3.2第1-3题。 2.探究性作业：习题3.2第5题。 感谢聆听! $