12.4.1 互逆命题和互逆定理（4大基础题型+1大巩固提升）（题型专练）数学新教材华东师大版八年级上册

12.4.1 互逆命题和互逆定理 题型一：判断是否有逆命题或逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．互为相反数的两个数之和为0 C．直角三角形两锐角互余 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握各个定理的逆命题是解题的关键．根据平行线的性质与判定，相反数的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，写出各个定理的逆命题，判定真假即可． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，有逆定理，不符合题意； B、互为相反数的两个数之和为0的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题，有逆定理，不符合题意； C、直角三角形两锐角互余逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，有逆定理，不符合题意； D、全等三角形的对应角相等逆命题是：对应角相等的两个三角形是全等三角形，是假命题，没有逆定理，符合题意； 故选：D． 2．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，逆定理，熟练掌握逆命题与逆定理的区别是解题的关键．分别写出其逆命题，然后判断对错，即可得出答案． 【详解】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题，故①有逆定理，符合题意； ②全等三角形的对应边相等的逆命题是：三边分别相等的两个三角形全等，是真命题，故②有逆定理，符合题意； ③同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题，故③有逆定理，符合题意； 故选：D． 3．下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是真假命题的判断，逆命题，逆定理的含义，先分别写出命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得到答案． 【详解】解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意； 同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意； 同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意； 故选：B 4．(24-25下·山东禹城张庄镇中学·月考)下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是命题与定理，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，判断正误，得出结论． 【详解】解：①有两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是等腰三角形有两个角相等，逆命题正确，存在逆定理； ②全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不正确，不存在逆定理； ③同位角相等，两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题正确，存在逆定理； 综上，存在逆定理的是①③，一共2个， 故选：C． 5．(24-25八上·河南南阳第一完全学校·月考)下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A中、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是两个三角形全等的三边分别相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； B中、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； C中、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是两个全等的直角三角形斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题， 则原定理有逆定理，不符合题意； D中、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题， 则原定理没有逆定理，符合题意； 故选：D． 题型二：判断逆命题的真假 1．下列命题的逆命题为真命题的是（   ） A．无理数是无限小数 B．若，则 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都等于 【答案】D 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果一个数是无限小数，那么它是无理数，错误，是假命题，因为无限循环小数是有理数，该选项不符合题意； B、逆命题为：若，则，错误，是假命题，因为，则，该选项不符合题意； C、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题，因为相等的角不一定是对顶角，该选项不符合题意； D、逆命题为：三个角都是的三角形是等边三角形，正确，是真命题，该选项符合题意； 故选：D． 2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题， 先说明各命题的逆命题，再判断真假可得答案. 【详解】解：因为A的逆命题是：开方开不尽的数是无理数，是真命题，所以不符合题意； 因为B的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以符合题意； 因为C 的逆命题是：若，则，是真命题，所以不符合题意； 因为D的逆命题是：正多边形的各边都相等，是真命题，所以不符合题意. 故选：B. 3．(24-25八下·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·月考)下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，写出各定理的逆命题，再判断真假，逆命题为假命题的即符合题意． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”，逆命题为真命题，故A不符合题意； B 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故B不符合题意； C 、对顶角相等的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，逆命题是假命题，故C符合题意； D 、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形逆命题是等边三角形有一个角等于，且三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，故D不符合题意； 故选：C． 4．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的对应角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了逆命题及命题真假的判断，熟练掌握写命题的逆命题，全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，是解题关键． 交换原命题的题设和结论部分得到四个命题的逆命题，然后根据平行线的判定、全等三角形的判定和绝对值的意义进行判定即可． 【详解】解：A、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立； B、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，不成立； C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； D、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立． 故选：D． 5．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，判断命题的真假，先写出各个选项的逆命题，再结合直角的定义、对顶角的定义、有理数的乘方以及平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、逆命题为：相等的角都是直角，该逆命题不成立，故不符合题意； B、逆命题为：如果，那么，该逆命题不成立，故不符合题意； C、逆命题为：相等的角都是对顶角，该逆命题不成立，故不符合题意； D、逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，该逆命题成立，故符合题意； 故选：D． 6．(24-25八下·山东德州第九中学·月考)下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A．若，则 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用不等式的性质、全等三角形的性质及绝对值的意义、对顶角，分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、若，则的逆命题为：若，则；错误，正确结论为，故该选项为假命题． B、对顶角相等的逆命题为：相等的两个角是对顶角，错误，“如两直线平行，内错角相等”，故该选项为假命题； C、全等三角形的对应边相等的逆命题为：对应边相等的两个是全等三角形，根据可判断出该命题正确，故该选项为真命题； D、，则的逆命题为：若，则，错误，如当时，，，故该选项为假命题； 故选C． 题型三：写出原命题的逆命题 1．已知命题：“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．”请你写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等 真 【分析】本题考查了命题的概念及三角形全等的性质，根据逆命题的概念即可直接作答，根据三角形全等的性质即可判断命题真假． 【详解】解：原命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 则其逆命题为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等， 该命题为真命题． 故答案为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；真． 2．(24-25八下·贵州黔东南苗族侗族从江县庆云镇初级中学·月考)命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等 【分析】本题考查命题与定理，关键掌握三角形全等的判定定理及性质．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：∵原命题的条件是：如果两个三角形全等， 结论是：那么这两个三角形的对应边相等， ∴其逆命题是：如果两个三角形的对应边相等，那么两个三角形全等． 故答案为：如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等． 3．(24-25七下·江苏泰州靖江城北实验学校·月考)把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法． 一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果后面是条件，那么后面是结论． 【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 4．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题是真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 5．(24-25八上·上海普陀区继续教育学院附属中学·月考)命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了命题与逆命题，掌握命题的题设和结论是解题的关键．交换命题的题设和结论的位置，即可得出命题的逆命题． 【详解】解：命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”． 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 6．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 【答案】 如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行 两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查命题和逆命题的定义，熟练掌握命题与逆命题的定义是解题的关键．利用命题可以写成“如果那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论解答第一题空，利用逆命题的定义解答第二题空即可． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式，为“如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行”， 逆命题为“两直线平行，同位角相等”， 故答案为：如果两直线被第三条直线所截形成的同位角相等，那么这两条直线平行；两直线平行，同位角相等． 7．(24-25八上·沪教版（上海）·期末)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题 【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 题型四：写成命题并判断真假 1．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；正确 (2)对应角相等的三角形全等；不正确 【分析】本题考查了原命题与逆命题，以及判断命题的真假，将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题，继而利用定理判断命题的真假即可． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补， 根据平行线的性质定理即可判断这是真命题； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补，正确； （2）逆命题为：对应角相等的三角形全等， 根据全等三角形的判定定理可知这是假命题， 故答案为：对应角相等的三角形全等，不正确； 2．命题“如果，那么”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)这个逆命题是真命题吗？请证明． 【答案】(1)如果，那么， (2)这个命题的逆命题是假命题，证明见解析 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，判断一个命题是真命题还是假命题． （1）逆命题就是题设和结论互换，可得逆命题是若，则， （2）举反列判断命题真假即可． 【详解】（1）解：命题“如果，那么” 逆命题是“若，则”， （2）解：∵当时，也有，， 如：，，，，而， ∴“若，则”的结论不成立， ∴逆命题是假命题． 3．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （2）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． （3）先根据命题与逆命题的关系写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】（1）解：“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 原命题是真命题，逆命题是假命题； （2）解：“周长相等的三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形的周长相等”， 原命题是假命题，逆命题是假命题； （3）解：“如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数”的逆命题是“如果两个数的差是正数，那么这两个数都是正数”， 原命题是假命题，逆命题也是假命题． 4．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 【答案】(1)如果，那么 (2)相等的两个角是同一个角的余角 (3)如果，那么 (4)有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查了逆命题的概念，熟练掌握逆命题的概念是解决本题的关键． （1）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （2）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （3）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解； （4）根据逆命题的概念，即原命题为“若p，则q”，那么逆命题为“若q，则p”，由此可解． 【详解】（1）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （2）解：同角的余角相等的逆命题为：相等的两个角是同一个角的余角； （3）解：如果，那么的逆命题为：如果，那么； （4）解：等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 5．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等的三角形的周长相等； (2)如果，，那么． 【答案】(1)逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．判断：逆命题是假命题 (2)逆命题：如果，那么，．判断：逆命题是假命题． 【分析】本题考查了逆命题，全等三角形的判定，有理数的乘法，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． 根据题意写出逆命题，然后判断真假即可． 【详解】（1）逆命题：如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等． ∵周长相等的两个三角形不一定全等， ∴逆命题是假命题； （2）逆命题：如果，那么，． ∵如果，则，或，． ∴逆命题是假命题． 6．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行，该真命题 (2)如果两个实数的绝对值相等，那么它们也相等，为假命题 (3)如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题 【分析】本题主要考查了逆命题以及判定命题的真假，熟练掌握相关知识是解题关键．一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆的命题，我们称其中的一个命题为原命题，另一个则为逆命题． （1）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据平行线的判定定理即可确定该逆命题为真命题； （2）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据绝对值的性质即可确定该逆命题为假命题； （3）根据逆命题的定义确定原命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定定理可知该逆命题为假命题． 【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行，该真命题； （2）解：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，为假命题； （3）解：如果两个三角形的对应角相等，那么它们为全等三角形，为假命题． 题型一：逆命题和逆定理综合应用 1．(24-25八上·安徽六安叶集区十校·期中)（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 2．定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在和中，，，． 求证：． 证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． …… 【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等； （2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形判定，等边对等角性质，命题的条件和结论，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据命题的条件和结论求解即可； （2）由得到，然后根据证明出即可． 【详解】解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等”； （2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． ∵， ∴， ∴． 3．(24-25七下·江苏泰州姜堰区·期末)阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．为整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？ 【答案】（1）见解析；（2）假命题，逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除；（3）1203；（4）15或39 【分析】本题主要考查了新定义，判断命题真假，写出一个命题的逆命题，正确理解题意是解题的关键． （1）设（k为正整数），则，根据为整数，即可得可以被3整除， （2）根据能被3整除，但是可判断命题真假；把原命题的结论与条件互换写出对应的逆命题即可； （3）根据题意可得能被3整除，则可推出能被3整除；设（k为正整数），则可得到，要使这个四位数最小，首先要满足a最小，其次要保证b最小，再要保证c最小，据此求解即可； （4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为，设（k为正整数），根据可以被3整除得到可以被3整除；可求出汽车的速度为，则可推出，则一定是大于等于0的偶数，当时，，则，当时，，则，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵可以被3整除， ∴设（k为正整数） ∴， ∵为整数， ∴可以被3整除， （2）命题2是假命题，理由如下： 例如能被3整除，但是； 逆命题：如果一个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍，那么这个三位数能被3整除； （3）∵四位数能被3整除， ∴能被3整除， ∴能被3整除， ∵能被3整除， ∴能被3整除； 设（k为正整数）， ∵， ∴， ∴， ∵要使这个四位数最小， ∴首先要满足a最小， 当的同时，要满足b最小，则此时， ∴， ∴当，时，这个四位数最小，最小为1203； （4）设第一次看到的两位数为，则第二次看到的两位数为，第三次看到的三位数为 ∵可以被3整除， ∴设（k为正整数） ∵可以被3整除 ∴可以被3整除， ∵后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置， ∴汽车的速度为， ∵再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数， ∴， ∴， ∵m为整数且， ∴一定是大于等于0的偶数， 当时，，则， ∵， ∴， ∴a一定是3的倍数， ∴， ∴， ∴； 当时，，则， ∵， ∴， ∴一定是3的倍数， ∴， ∴， ∴； 综上所述，第一次看到的里程碑上的两位数是15或39． 4．(24-25上·福建福建厦门第一中学·期中)小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： （1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； （2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （3）…… 由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．…… (1)请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：______； (2)小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据下图写出了已知，求证： 命题Ⅰ：在中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：______； ①请你写出命题Ⅱ的几何语言； ②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 【答案】(1)如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形 (2)①见解析；②都是真命题，见解析 【分析】（1）根据原命题写出逆命题即可； （2）①用几何语言写出命题即可；②证明全等，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，命题Ⅱ为：如果一个三角形一边上的中线也是这条边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； （2）①解：由题意知，命题Ⅱ：在中，是的中线，，求证：是等腰三角形； ②解：命题Ⅰ、Ⅱ都是真命题，证明如下； 命题Ⅰ：证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 命题Ⅱ：证明：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线等知识．熟练掌握逆命题，真命题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线是解题的关键． 5．(24-25八上·河南郑州金水区实验中学·期中)如图①所示，将两个含角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题： ．    (1)请在上面空格中写出该命题； (2)小聪发现（1）中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：在中，， ． 求证： ． 证明： 【答案】(1)若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则这条直角边所对的角为角； (2)；；证明见详解 【分析】（1）将条件与结论对调即可得到答案； （2）根据命题写出已知求证，延长至D使，连接，证明即可得到得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 命题为：若在直角三角形中，一直角边等于斜边一半，则直角边所对的角为角； （2）解：由（1）得， 已知：在中，，， 求证：； 证明：延长至D使，连接，    ∵， ∴， 在与， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故所填答案为：；．(证明如上) 【点睛】本题考查书写逆命题及证明，解题的关键是作出辅助线得到． 1．下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题． 写出原命题的逆命题后进行判断即可确定正确的选项． 【详解】解：①若，则，错误，为假命题； 其逆命题为若，则，错误，为假命题； ②直角三角形的两个锐角互余，正确，为真命题； 逆命题为两个角互余的三角形为直角三角形，正确，为真命题； ③如果，那么，正确，为真命题； 其逆命题为若，那么，错误，为假命题； ④互为相反数的两个数和为0，是真命题， 它的逆命题是：和为0的两个数互为相反数，是真命题． 原命题和逆命题均是真命题的是②④． 故选：B． 2．下列命题中，其逆命题不成立的是（   ） A．角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若是钝角三角形，则 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假． 根据原命题写出逆命题，判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题：到角两边距离相等的点在角平分线所在直线上，是真命题，不符合题意； B．逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，符合题意； C．逆命题：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意； D．逆命题：若，则是钝角三角形，是真命题，不符合题意． 故选：B． 3．(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)下列命题中，原命题和逆命题都为真命题的是（   ） A．对应角相等的两个三角形全等 B．钝角三角形有两个锐角 C．对顶角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】D 【分析】本题考查了求一个命题的逆命题，命题真假的判断，熟练掌握求一个命题的逆命题及命题真假的判断是解题的关键．写出原命题的逆命题及判断两个命题的真假即可． 【详解】解：A、原命题是假命题，故选项A不符合题意； B、原命题是真命题，其逆命题“有两个锐角的三角形是钝角三角形”是假命题，故选项B不符合题意； C、原命题是真命题，其逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”是假命题，故选项C不符合题意； D、原命题是真命题，其逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题，故选项D符合题意． 故选：D． 4．(24-25八下·河南郑州新郑·期中)下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的三个角都是60° 【答案】C 【分析】逐一分析各选项的原命题及其逆命题，判断逆命题的真假．本题考查了命题的判断，熟练掌握解题要领是解题的关键． 【详解】A. 原命题：“等腰三角形的两个底角相等”． 逆命题：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 根据等腰三角形的判定，逆命题为真． B. 原命题：“内错角相等，两直线平行”． 逆命题：“两直线平行，内错角相等”． 这是平行线的性质，逆命题为真． C. 原命题：“全等三角形的对应角相等”． 逆命题：“对应角相等的三角形全等”． 对应角相等仅能判定相似，不能保证全等，逆命题为假． D. 原命题：“等边三角形的三个角都是60°”． 逆命题：“三个角都是60°的三角形是等边三角形”． 根据等边三角形的判定，逆命题为真． 故选：C． 5．(23-24八下·云南昭通巧家县·期中)关于命题“若，则“与其逆命题的真假性，下列判断正确的是（　　） A．原命题与其逆命题都是真命题 B．原命题与其逆命题都是假命题 C．原命题是假命题，其逆命题是真命题 D．原命题是真命题，其逆命题是假命题 【答案】C 【分析】本题主要考查的是命题与定理、逆命题等知识点，要熟悉相关性质定理是判断命题的真假关键． 根据绝对值的性质、逆命题的判断、真假命题的概念解答即可． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴命题“若，则“是假命题，其逆命题是若，则，是真命题， ∴原命题是假命题，其逆命题是真命题． 故选：C． 6．(24-25八上·重庆实验学校·期中)“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 【答案】平行四边形是两组对边分别相等的四边形 【分析】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题． 【详解】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”， 故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形． 7．(24-25八下·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知命题“平行四边形的对角相等”成立，那么它的逆命题 ．（填“成立”或“不成立”） 【答案】成立 【分析】本题主要考查逆命题，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据题意得到逆命题为“对角相等的四边形是平行四边形”，即可进行判断． 【详解】逆命题为“对角相等的四边形是平行四边形”，是真命题， 故答案为：成立． 8．(24-25八上·陕西咸阳永寿县豆家中学·期中)“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 【答案】 等腰三角形有两个角相等 真 【分析】本题考查命题与定理，掌握相关知识是解决问题的关键．交换命题的题设和结论后可得命题的逆命题，然后判断正误即可． 【详解】解：“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是等腰三角形有两个角相等，这个命题是真命题． 故答案为：等腰三角形有两个角相等，真． 9．填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ． （2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ． 【答案】 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 如果，则． 【分析】本题考查了命题的组成部分（条件和结论）以及逆命题的概念，解题的关键是明确命题中“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论，逆命题则是将原命题的条件和结论互换得到的命题． （1）对于给定命题，先分离出条件和结论，条件是命题成立的前提，结论是由条件推出的结果；再通过交换原命题的条件和结论得到逆命题，进而确定逆命题的条件和结论． （2）同样先找出原命题的条件（“如果”后的部分）和结论（“那么”后的部分）；再将条件和结论互换，得到该命题的逆命题． 【详解】解：（1）命题“两直线平行，内错角相等”可改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”． 因此，条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”． 其逆命题是“如果内错角相等，那么两直线平行”，所以逆命题的条件是“内错角相等”，结论是“两直线平行”． （2）命题“如果那么”中， 条件是“”，结论是“”． 将条件和结论互换，得到逆命题是“如果那么”． 故答案为：（1）两直线平行；内错角相等；内错角相等；两直线平行； （2）如果那么． 10．(24-25八上·江西吉安吉安县·期末)“平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 【答案】真 【分析】本题考查了命题与逆命题，熟练掌握定义是解题的关键； 判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先交换命题的题设与结论得到原命题的逆命题，然后根据平方根的定义判断逆命题的真假． 【详解】命题“平方根等于本身的数是0”的逆命题是0的平方根等于它本身，此逆命题为真命题． 故答案为∶真． 11．(23-24八上·四川宜宾·期末)如图所示，相交于点，命题“若，则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．    【答案】真 【分析】本题考查的是真假命题的判定，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：“若，则”的逆命题是： 若，则； ∵， ∴， ∴该逆命题是真命题； 故答案为：真． 12．(23-24八上·湖南永州冷水滩区·期中)写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题考查了命题的相关知识点，找到题设和结论是解题关键． 【详解】解：逆命题为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 故：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上 13．(24-25七下·江苏宿迁钟吾初级中学·期末)（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见详解（2）见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互逆命题，命题的真假，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合同位角相等，两直线平行，得，再由，得，故，所以，即可作答． （2）分析（1）的解题过程，得两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 14．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等； (3)全等三角形的对应边相等 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；成立 (2)如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立 (3)如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立 【分析】本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点． 首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断： （1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补，根据平行线的性质定理，命题成立； （2）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立； （3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立． 【详解】（1）解：逆命题：两直线平行，同旁内角互补； 根据平行线的性质定理，命题成立； （2）解：逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等； 如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立； （3）解：逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等； 如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立． 15．(23-24八上·山东德州乐陵·期中)【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3.角平分线”部分内容． 3.角平分线 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的宜线是角的对称轴．如图13.5.4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折．我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．    图13.5.4 已知：如图13.5.4、是的平分线，点P是上的任意一点．，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等．便可证得．    【联想证明】在学完角平分线的性质定理后， ①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：_________________________________． ②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明． 已知：如图，点P是内部一点______________________________ 求证：____________． 证明：    【答案】①在角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上； ②见解析 【分析】本题考查了逆命题，全等三角形的判定和性质． ①写出角平分线性质定理的逆命题即可； ②过点P作，，证明即可得到结论． 【详解】解：①角平分线性质定理的逆命题为：在角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上； ②已知：如图，点P是内部一点，点P到距离等于点P到距离．求证：点P在角平分线上． 证明：过点P作，，    ∵点P到距离等于点P到距离， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分，即点P在角平分线上． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.4.1 互逆命题和互逆定理 题型一：判断是否有逆命题或逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．互为相反数的两个数之和为0 C．直角三角形两锐角互余 D．全等三角形的对应角相等 2．下列定理：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．(24-25下·山东禹城张庄镇中学·月考)下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的对应角相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 5．(24-25八上·河南南阳第一完全学校·月考)下列定理中没有逆定理的是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．直角三角形的两个锐角互余 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等 D．全等三角形的对应角相等 题型二：判断逆命题的真假 1．下列命题的逆命题为真命题的是（   ） A．无理数是无限小数 B．若，则 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都等于 2．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 3．(24-25八下·陕西咸阳永寿县常宁镇中学·月考)下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形的两底角相等 C．对顶角相等 D．有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 4．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的对应角相等 D．两直线平行，内错角相等 5．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·期末)下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．直角都相等 B．如果，那么 C．对顶角相等 D．两直线平行，同旁内角互补 6．(24-25八下·山东德州第九中学·月考)下列命题的逆命题是真命题的为（　　） A．若，则 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．若，则 题型三：写出原命题的逆命题 1．已知命题：“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．”请你写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 2．(24-25八下·贵州黔东南苗族侗族从江县庆云镇初级中学·月考)命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等”的逆命题是 ． 3．(24-25七下·江苏泰州靖江城北实验学校·月考)把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 4．命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 5．(24-25八上·上海普陀区继续教育学院附属中学·月考)命题“线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 6．命题“同位角相等，两直线平行”中，改成“如果那么”句式为 ，逆命题为 ． 7．(24-25八上·沪教版（上海）·期末)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题 题型四：写成命题并判断真假 1．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 2．命题“如果，那么”． (1)写出这个命题的逆命题． (2)这个逆命题是真命题吗？请证明． 3．说出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假： (1)如果，那么； (2)周长相等的三角形的面积相等； (3)如果两个数都是正数，那么这两个数的差是正数． 4．写出下列命题的逆命题： (1)如果，那么； (2)同角的余角相等； (3)如果，那么； (4)等腰三角形的两个底角相等． 5．(24-25八下·江西鹰潭余江区正源学校·月考)写出下列命题的逆命题，并判断其逆命题的真假． (1)两个全等的三角形的周长相等； (2)如果，，那么． 6．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等． 题型一：逆命题和逆定理综合应用 1．(24-25八上·安徽六安叶集区十校·期中)（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 2．定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在和中，，，． 求证：． 证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． …… 3．(24-25七下·江苏泰州姜堰区·期末)阅读下面材料，并按要求完成相应的任务： 如何快速判断一个较为复杂的整数能否被3整除？小明对下列一些能被3整除的整数进行了研究：27，123，159，246，1233，23454． 小明通过观察、计算发现：这些整数各个数位上的数字之和都能被3整除，如：整数246各个数位上的数字之和为，12能被3整除；整数1233各个数位上的数字之和为，9能被3整除．由此，他提出了这样一个命题； 命题1：如果一个数能被3整除，那么这个数各个数位上的数字之和能被3整除．小明以两位数为例进行了证明； 设是一个两位数，若两位数能被3整除，求证：能被3整除． 证明：∵两位数能被3整除， ∴设（k为正整数）．．． ．为整数．可以被3整除． 由此推断，命题1是一个真命题，紧接着对它的逆命题进行了研究，发现命题1的逆命题也是真命题． 结论：在判断一个数是否能被3整除时，可以通过计算其各个数位上数字之和来进行快速判断． 小明在研究时还发现，整数123中，；整数159中，；整数246中，．于是，他又提出了这样一个命题； 命题2：如果一个三位数能被3整除，那么这个三位数的百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字的两倍． 任务1：证明命题 （1）设是一个三位数，若可以被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 任务2：写逆命题 （2）判断命题2是真命题还是假命题，并写出它的逆命题； 任务3：应用结论 （3）若四位数能被3整除，且，这个四位数的最小值为______． （4）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个能被3整除的两位数；后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个数字m所得的三位数，且这个三位数也能被3整除．则第一次看到的里程碑上的两位数是多少？ 4．(24-25上·福建福建厦门第一中学·期中)小明在学习等腰三角形的相关知识时，发现其性质定理“等边对等角”与判定定理“等角对等边”存在互逆关系． 由此，爱动脑筋的小明进行了如下思考：“等腰三角形三线合一”的性质可以分解为多个不同的真命题，即： （1）等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高线； （2）等腰三角形底边上的中线也是底边上的高线； （3）…… 由这些真命题，小明得到“互逆”之后的新命题，即： Ⅰ．如果一个三角形一个角的平分线也是这个角对边上的高线，那么这个三角形是等腰三角形； Ⅱ．…… (1)请你根据前面的命题（2）写出小明猜想的命题Ⅱ：______； (2)小明认为如果这些命题是真命题，那么就可以作为等腰三角形的判定方法，于是小明对命题进行证明，他把第一个命题根据下图写出了已知，求证： 命题Ⅰ：在中，平分，，求证：是等腰三角形； 命题Ⅱ：______； ①请你写出命题Ⅱ的几何语言； ②命题Ⅰ、Ⅱ是否都是真命题，如果不是，请说明理由．如果是，请帮助小明进行证明． 5．(24-25八上·河南郑州金水区实验中学·期中)如图①所示，将两个含角且大小相同的三角尺摆放在一起，可以证得是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边长的一半．交换此命题的条件和结论，得到下面命题： ．    (1)请在上面空格中写出该命题； (2)小聪发现（1）中所写命题为真命题，请根据该命题的条件和结论，结合图②，用“几何语言”补充出“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：在中，， ． 求证： ． 证明： 1．下列命题：①若，则；②直角三角形的两个锐角互余；③如果，那么；④互为相反数的两个数的和为0．其中原命题和逆命题均为真命题的是（   ） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 2．下列命题中，其逆命题不成立的是（   ） A．角平分线所在直线上的点到这个角的两边的距离相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．若是钝角三角形，则 3．(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)下列命题中，原命题和逆命题都为真命题的是（   ） A．对应角相等的两个三角形全等 B．钝角三角形有两个锐角 C．对顶角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 4．(24-25八下·河南郑州新郑·期中)下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形的三个角都是60° 5．(23-24八下·云南昭通巧家县·期中)关于命题“若，则“与其逆命题的真假性，下列判断正确的是（　　） A．原命题与其逆命题都是真命题 B．原命题与其逆命题都是假命题 C．原命题是假命题，其逆命题是真命题 D．原命题是真命题，其逆命题是假命题 6．(24-25八上·重庆实验学校·期中)“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 7．(24-25八下·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知命题“平行四边形的对角相等”成立，那么它的逆命题 ．（填“成立”或“不成立”） 8．(24-25八上·陕西咸阳永寿县豆家中学·期中)“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的逆命题是 ；这个命题是 命题（最后一空选填“真”或“假”） 9．填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题的条件是 ，结论是 ． （2）命题“如果，那么”的条件是 ，结论是 ，这个命题的逆命题是 ． 10．(24-25八上·江西吉安吉安县·期末)“平方根等于本身的数是0”这个命题条件和结论互换后的命题是 命题．（填：真或假） 11．(23-24八上·四川宜宾·期末)如图所示，相交于点，命题“若，则”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）．    12．(23-24八上·湖南永州冷水滩区·期中)写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题，并写成“如果…，那么…”的形式 ． 13．(24-25七下·江苏宿迁钟吾初级中学·期末)（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 14．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ (1)同旁内角互补，两直线平行； (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等； (3)全等三角形的对应边相等 15．(23-24八上·山东德州乐陵·期中)【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页的“3.角平分线”部分内容． 3.角平分线 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的宜线是角的对称轴．如图13.5.4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折．我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等．    图13.5.4 已知：如图13.5.4、是的平分线，点P是上的任意一点．，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等．便可证得．    【联想证明】在学完角平分线的性质定理后， ①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：_________________________________． ②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行证明． 已知：如图，点P是内部一点______________________________ 求证：____________． 证明：    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $