19 第三章成果展示 二次函数-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

第三章成果展示　二次函数 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列y关于x的函数表达式中，是二次函数的是(　A　) A．y＝(x＋1)(x－3) B．y＝x3＋1 C．y＝x2＋ D．y＝x－3 2．当函数y＝(a－1)x2＋bx＋c是二次函数时，a的取值为(　D　) A．a＝1 B．a＝－1 C．a≠－1 D．a≠1 3．抛物线y＝x2－2x－1的对称轴为直线(　C　) A．x＝2 B．x＝－2 C．x＝1 D．x＝－1 4．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度h(m)与经过时间t(s)之间的关系式为h＝12t－6t2，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是(　D　) A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m 5．抛物线y＝－x2＋1向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线表达式是(　B　) A．y＝－(x－2)2＋4 B．y＝－(x－2)2－2 C．y＝－(x＋2)2＋4 D．y＝－(x＋2)2－2 6．地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓而凹进，背风坡陡峭而呈弧线凸出，轮廓呈抛物线状的沙丘叫作“抛物线形沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线形沙丘，以抛物线形沙丘最顶端为点O，建立如图2所示的平面直角坐标系．若点A(－15，－100)，点B(a，－144)在图2所示的抛物线上，则a的值为(　B　) A．15 B．18 C．24 D．36 解析：根据题意设抛物线的表达式为y＝mx2. 将点A(－15，－100)代入，得－100＝225m，解得m＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－x2. 当y＝－144时，－x2＝－144，解得x＝±18. ∵点B在第四象限，∴a＝18. 7．关于函数y＝－(x＋2)2－1的图象叙述正确的是(　D　) A．开口向上 B．顶点坐标为(2，－1) C．与y轴交点为(0，－1) D．对称轴为直线x＝－2 8．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数y＝cx2－bx＋a的图象与x轴的交点分别是(　A　) A．，(1，0) B．(－1，0)， C．(－1，0)，(3，0) D．(－3，0)，(1，0) 9．抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝2.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是(　C　) A．－1≤t＜3 B．3＜t＜8 C．－1≤t＜8 D．－1＜t＜4 10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现给出以下结论： ①abc＞0；②b＋2a＝0；③9a－3b＋c＝0；④a－b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)． 其中，结论错误的有(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．二次函数y＝－6x2＋x图象的开口向　下　． 12．已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)，若点P(m，3)在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为　2　． 解析：∵点P(m，3)在二次函数y＝－ax2＋2ax＋3(a＞0)的图象上， ∴3＝－am2＋2am＋3， ∴－am(m－2)＝0， 解得m＝2或m＝0(舍去)． 故m的值为2． 13．抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是　x＜－1或x＞3　． 14．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(5，0)与(1，0)，则抛物线的对称轴为直线x＝　3　． 15．将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位后，经过点(－2，5)，则8a－4b－11的值是　－5　． 16．已知二次函数y＝x2－2ax＋2x＋a－2在0≤x≤4范围内的最大值为7，则所有满足条件的实数a的值为　或9　． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)已知抛物线y＝2x2－4x－3，请回答下列问题： (1)写出该抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向； (2)当0≤x≤4时，求出y的最大值和最小值． 解：(1)∵y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，二次项系数为2＞0， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－5)，对称轴为直线x＝1. (2)∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－5)， ∴最小值为－5. ∵对称轴为直线x＝1，1－0＜4－1， ∴当x＝4时取得最大值，最大值为2(4－1)2－5＝13， ∴当0≤x≤4时，y的最大值为13，最小值为－5. 18．(8分)已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 解：(1)将(2，4)代入y＝x2＋mx＋m2－3，得4＝4＋2m＋m2－3， 解得m1＝1，m2＝－3. 又∵m＞0， ∴m＝1. (2)图象与x轴有2个交点．理由如下： ∵m＝1， ∴y＝x2＋x－2. ∵Δ＝b2－4ac＝12＋8＝9＞0， ∴二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有2个交点． 19．(10分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3. (1)求抛物线的表达式； (2)在直线BC上有一点P，使PO＋PA的值最小，求点P的坐标． 解：(1)把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3， ∴点C的坐标为(0，3)． 把y＝0代入y＝－x＋3，得x＝3， ∴点B的坐标为(3，0)． 将B(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (2)如图，作点O关于BC的对称点O′， 连接O′A，交BC于点P，连接OP，则点O′的坐标为(3，3)． ∵点O′与点O关于BC对称，∴PO＝PO′， ∴PO＋PA＝PO′＋PA≥O′A， ∴当A，P，O′在同一条直线上时，PO＋PA有最小值． 由y＝－x2＋2x＋3易知 A(－1，0)． 设AP所在直线的表达式为y＝kx＋m， 则解得 ∴AP所在直线的表达式为y＝x＋. 联立解得 ∴点P的坐标为. 20．(10分)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a(x－h)2＋k，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式； (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3 m．身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5，3.2)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋3.2，将(0，0.7)代入，得0.7＝25a＋3.2， 解得a＝－， ∴y＝－(x－5)2＋3.2＝－x2＋x＋， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋. (2)当y＝1.6时，－x2＋x＋＝1.6， 解得x＝1或x＝9， ∴她与爸爸的水平距离为3－1＝2(m)或9－3＝6(m)， ∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离是2 m或6 m. 21．(10分)某商店销售一批纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天的销售量减少10本．现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围． (2)将纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大？最大利润是多少元？ 解：(1)由题意，得y＝300－10(x－44)＝－10x＋740，每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故44≤x≤52. (2)w＝(x－40)(－10x＋740)＝－10(x－57)2＋2 890. 当x＜57时，w随x的增大而增大， 而44≤x≤52，∴当x＝52时，w有最大值，最大值为2 640. 故将纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是2 640元． 22．(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－2，－1)，B(0，－3)． (1)求抛物线的表达式． (2)平移抛物线，平移后的顶点为P(m，n)(m＞0)． ①如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围； ②若点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标． 解：(1)将A(－2，－1)，B(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－3. (2)①∵y＝x2－3， ∴抛物线的顶点坐标为(0，－3)，即B是原抛物线的顶点． ∵平移后的抛物线顶点为P(m，n)(m＞0)， ∴抛物线平移了|m|个单位， ∴S△OBP＝×3|m|＝3，解得m＝±2. ∵m＞0， ∴m＝2，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝2. ∵在x＝k的右侧，两抛物线都上升，原抛物线的对称轴为y轴，开口向上， ∴k≥2. ②把P(m，n)代入y＝x2－3， ∴n＝m2－3， ∴P. 由题意，得新抛物线的表达式为y＝(x－m)2＋n＝x2－mx＋m2－3， ∴Q(0，m2－3)． ∵B(0，－3)， ∴BQ＝m2，BP2＝m2＋＝m2＋m4，PQ2＝m2＋[(m2－3)－(m2－3)]2＝m2＋m4， ∴BP＝PQ. 如图，过点P作PC⊥y轴于点C，则PC＝|m|. ∵PB＝PQ，PC⊥BQ， ∴BC＝BQ＝m2，∠BPC＝∠BPQ＝×120°＝60°， ∴tan ∠BPC＝tan 60°＝＝＝， ∴m＝2或m＝－2(舍去)， ∴n＝m2－3＝3， ∴点P的坐标为(2，3)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $