3.6 第3课时 利用二次函数解决抛物线型问题(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(鲁教版五四制)

年级上册·鲁教版 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第三章　二次函数 6　二次函数的应用 第3课时　利用二次函数解决抛物线型问题 　二次函数在桥梁问题中的应用 1. （2023·威海期中）如图所示是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O ， B ，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近 似看成抛物线 y ＝－0.01（ x －20）2＋4，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好位于水 面，且 AC ⊥ x 轴，若 OA ＝5米，则桥面离水面的高度 AC 为（　C　） A. 5米 B. 4米 C. 2.25米 D. 1.25米 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. （2023·济宁任城区期中）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4 m 时，拱顶距离水面是2 m.当水面下降1 m后，水面宽度是 m.（结果保留 根号） 第2题图 2 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　二次函数在隧道问题中的应用 3. 模型观念　如图所示，隧道的截面由抛物线和长方形 OABC 构成，长方形的长 OA 是12 m，宽 OC 是4 m.按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 表示.在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相 等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是（　D　） A. 2 m B. 4 m C. 4 m D. 4 m D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 为促进经济发展，方便居民出行.某施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧 道.抛物线的最高点 P 离路面 OM 的距离为6 m，宽度 OM 为12 m. （1）按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式. 解：（1）根据题意，得顶点 P 的坐标为（6，6）， 设抛物线的函数表达式为 y ＝ a （ x －6）2＋6， 把（0，0）代入，得36 a ＋6＝0， 解得 a ＝－ ， 即抛物线的函数表达式为 y ＝－ （ x －6）2＋6（0≤ x ≤12）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）一货运汽车装载某大型设备后高为4 m，宽为3.5 m.如果该隧道内设双向行 车道（正中间是一条宽1 m的隔离带），那么这辆货车能否安全通过？ 解：（2）根据题意，得当 x ＝6－0.5－3.5＝2（或者当 x ＝6＋0.5＋3.5＝10）时， y ＝－ （2－6）2＋6＝ ＜4， ∴这辆货车不能安全通过. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　二次函数在其他建筑问题中的应用 5. （教材P104习题3.14T3变式）某厂大门是抛物线型水泥建筑，大门地面路宽为 6 m，顶部距离地面的高度为4 m，现有一辆装载大型设备的车辆要进入厂区，已 知设备总宽为2.4 m，要想通过此门，则设备及车辆总高度应小于（　C　） A. 2.66 m B. 2.60 m C. 3.36 m D. 2.58 m C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　二次函数在体育问题中的应用 6. 羽毛球运动是一项非常受人喜欢的体育运动.某运动员在进行羽毛球训练时，羽 毛球飞行的高度 h （m）与发球后球飞行的时间 t （s）满足关系式 h ＝－ t2＋2 t ＋ 1.5，则该运动员发球后1 s时，羽毛球飞行的高度为（　C　） A. 1.5 m B. 2 m C. 2.5 m D. 3 m 不能准确把实际问题转化成二次函数数学模型 C 7. 一名男生推铅球，铅球行进高度 y （米）与水平距离 x （米）之间的关系是 y ＝ － x2＋ x ＋ ，则他将铅球推出的距离是 米. 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. （2023·泰安泰山区二模）如图所示，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 y ＝－0.2 x2＋ x ＋2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为 3.05 m，则他距篮筐中心的水平距离 OH 是 ⁠m. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. （2023·威海文登区期中）如图所示，隧道的截面由抛物线 DEC 和矩形 ABCD 构成，矩形的长 AB 为4 m，宽 BC 为3 m，以 DC 所在的直线为 x 轴，线段 CD 的 垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. y 轴是抛物线的对称轴，最高点 E 到地 面距离为4米. （1）求出抛物线的表达式. 解：（1）根据题意，得 D （－2，0）， C （2，0）， E （0，1）， 设抛物线的表达式为 y ＝ ax2＋1（ a ≠0），把（－2，0）代 入，得4 a ＋1＝0， 解得 a ＝－ ， ∴抛物线的表达式为 y ＝－ x2＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）在距离地面 米高处，隧道的宽度是多少？ 解：（2）在 y ＝－ x2＋1中，令 y ＝ －3＝ ，得 ＝－ x2＋1，解得 x ＝± ， ∴ －（－ ）＝2 （米）， ∴距离地面 米高处，隧道的宽度是2 米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：（3）这辆货运卡车能通过该隧道.理由如下： 在 y ＝－ x2＋1中，令 y ＝3.6－3＝0.6， 得0.6＝－ x2＋1，解得 x ＝± ， ∴｜2 x ｜＝ ≈2.53米. ∵2.53＞2.4， ∴这辆货运卡车能通过该隧道. （3）如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6 米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 应用意识　某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动 轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米.将发石车置于山 坡底部 O 处，山坡上有一点 A ，点 A 与点 O 的水平距离为30米，与地面的竖直距 离为3米， AB 是高度为3米的防御墙.若以点 O 为原点，建立如图所示的平面直角 坐标系. （1）求石块运动轨迹所在抛物线的函数表达式. 解：（1）设石块运动轨迹所在抛物线的函数表达式为 y ＝ a （ x －20）2＋10， 把（0，0）代入，得400 a ＋10＝0，解得 a ＝－ . ∴ y ＝－ （ x －20）2＋10.即 y ＝－ x2＋ x . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙 AB . 解：（2）石块能飞越防御墙 AB . 理由如下：把 x ＝30代入 y ＝－ x2＋ x ，得 y ＝－ ×900＋30＝7.5.∵7.5＞3＋3， ∴石块能飞越防御墙 AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面 OA 的最大距离. 解：（3）设直线 OA 的函数表达式为 y ＝ kx （ k ≠0），把 （30，3）代入，得3＝30 k ，∴ k ＝ .故直线 OA 的函数 表达式为 y ＝ x . 如图所示，设直线 OA 上方的抛物线上的一点 P 的坐标为 ，过点 P 作 PQ ⊥ x 轴，交 OA 于点 Q ，交 x 轴于点 D ，则 Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴ PQ ＝－ t2＋ t － t ＝－ t2＋ t ＝－ （ t －18）2＋8.1.∵－ ＜0，∴图象开口向下， PQ 有最大值， ∴当 t ＝18时， PQ 取最大值，最大值为8.1. 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面 OA 的最大距离是8.1米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 推理能力　（2023·威海环翠区期中）首钢滑雪大跳台是北京冬奥会自由式滑 雪大跳台和单板滑雪大跳台比赛场地，其结构如图所示.已知起跳点距离地面高度 为18米，且起跳点的斜坡恰好能保证运动员初始速度与水平方向夹角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 小墩同学对运动员在起跳点的初始速度 v0与飞行的最大竖直高度 H0（相对于起跳 点的高度）、飞行的最远水平距离 S0的关系非常感兴趣.通过翻阅资料，得知：在 忽略空气阻力且只考虑重力的情况下，若物体以一定初始速度 v0（米/秒）斜向射 出去，该物体的运动轨迹是抛物线.特别地，若抛出方向与水平方向夹角为45° 时，物体所能达到的竖直飞行最大高度 H0（米）与初始速度 v0的平方成正比，具 体关系为 H0＝ ，而运动轨迹与抛物线 y ＝－ x2形状相同.假设在一次训练 中，运动员飞行的最大竖直高度 H0为5米.请你根据上述信息思考： （1）该运动员在起跳点的初始速度为 米/秒.（保留根号） 10 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）如图所示，以水平方向为 x 轴，起跳点所在竖直方向为 y 轴，建立平面直角 坐标系 xOy ，请你直接写出该运动员的运动轨迹的函数表达式. 解：（2）∵运动员飞行的最大竖直高度 H0为5米，起跳点距离地面高度为18米， ∴运动员到达最高点时距离地面的高度为18＋5＝23（米）. ∵该运动员的运动轨迹与抛物线 y ＝－ x2形 状相同，∴设该运动员的运动轨迹的函数表达 式为 y ＝－ （ x － m ）2＋23. ∵该抛物线经过（0，18）， ∴－ （0－ m ）2＋23＝18，解得 m ＝±10（负数不合题意，舍去）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴ m ＝10，∴该运动员的运动轨迹的函数表达式为 y ＝－ （ x －10）2＋23， 即 y ＝－ x2＋ x ＋18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （3）在（2）的条件下，若着陆坡所在线段表达式为 y ＝－ x ＋ （14≤ x ≤34）.通过计算，请你说明该运动员飞行的最远水平距离 S0能否超过24米. 解：（3）该运动员飞行的最远水平距离 S0能超过24米.理由：由题意，得解得 由题意知14≤ x ≤34，∴ ∴该运动员的落地点的坐标为（30，3），∴该运动员飞行的最远水平距离 S0＝30米.∵30＞24， ∴该运动员飞行的最远水平距离 S0能超过24米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$