13 课时分层训练(十) 二次函数-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(十)　二次函数 知识点一　二次函数的定义 1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是(　C　) A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝ C．y＝50＋x2 D．y＝(x＋2)(x－3)－x2 2．若函数y＝(m－2)x|m|＋1(m是常数)是关于x的二次函数，则m的值是　－2　． 知识点二　二次函数的一般形式 3．对于二次函数y＝－1的二次项系数a、一次项系数b和常数项c描述正确的是(　C　) A．a＝－1，b＝－1，c＝0 B．a＝－1，b＝0，c＝1 C．a＝－1，b＝0，c＝－1 D．a＝1，b＝0，c＝－1 4．若二次函数y＝(2x－1)2＋1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则 b2－4ac　＜　0.(填“＞”“＜”或“＝”) 知识点三　在实际问题中列二次函数表达式 5．下列函数关系中，是二次函数的是(　D　) A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径r之间的关系 6．九年级共有x名同学，在开学见面时每两名同学都握手一次，共握手y次，则y与x之间的函数关系式是　x2－x　，　是　二次函数(填“是”或“不是”)． 知识点四　在几何图形中列二次函数表达式 7．已知正方形的面积为y(cm2)，周长为x(cm). (1)请写出y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． 解：(1)∵正方形的周长为x， ∴正方形的边长为x， ∴y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式为 y＝＝x2. (2)利用二次函数的定义得出y是x的二次函数． 8．如图，在△ABC中，BC＝12，边BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数表达式．(不需写出x的取值范围) 解：∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴＝， 解得DG＝， ∴y＝＝－x2＋12x. 9．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　B　) A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 解析：由题意，得4y＋2πx＝20， ∴2y＋πx＝10， ∴y＝， 即y与x是一次函数关系． 把y＝代入S＝y2－πx2， 得S＝x2－5πx＋25， 即S与x是二次函数关系． 10．已知关于x的函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1. (1)当m为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m为何值时，此函数是二次函数？ 解：(1)∵函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是一次函数， ∴m2＋2m＝0，m≠0，解得m＝－2. (2)∵函数y＝(m2＋2m)x2＋mx＋m＋1是二次函数，∴m2＋2m≠0， 解得m≠－2且m≠0. 11．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长率都是x，写出利润y与增长的百分率x之间的函数关系式，它是二次函数吗？如果是，请写出二次项系数、一次项系数和常数项． 解：依题意，得y＝a(1＋x)2＝ax2＋2ax＋a， 是二次函数，二次项系数为a，一次项系数为2a，常数项为a. 12．(原创题)“一面杭扇，多少江南”，杭扇承载着千年历史长河的余温，记录着杭州这座古城的历史人文．某“杭扇”专卖店购进了一批同一款式的“杭扇”，进价为每件100元，现在的售价为每件120元，每星期可卖出300件．经市场调查发现，若每件涨价1元，则每星期要少卖出10件．求每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式． 解：由题意，得每件涨价x元时，销售每件获得的利润为(120－100＋x)＝(20＋x)元，每星期的销售量为(300－10x)件， ∴每星期售出商品的利润y＝(300－10x)·(20＋x)＝－10x2＋100x＋6 000. 13．如图，圆柱的高为10 cm，圆柱的底面直径为x cm，圆柱的表面积为S cm2. (1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为二次函数； (2)当圆柱的底面直径从4 cm增加到10 cm 时，圆柱的表面积增加了多少？(最后结果保留π) 解：(1)由题意，得圆柱的表面积S＝2πrh＋2πr2＝2π××10＋2π×＝＋10πx， ∴圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式为S＝πx2＋10πx. ∵π≠0， ∴函数S＝πx2＋10πx是二次函数． (2)∵π×102＋10π×10－＝150π－48π＝102π(cm2)， ∴圆柱的表面积增加了102π cm2. 【创新运用】 14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位的速度向终点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围． 解：△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化． ∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24， ∴BP＝12－2t，BQ＝4t， ∴△PBQ的面积S与出发时间t(s)之间的函数关系式为S＝(12－2t)·4t＝＋24t(0＜t＜6)． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $