09 课时分层训练(八) 利用三角函数测高-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(八)　利用三角函数测高 知识点一　测量倾斜角 1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A的仰角为37°，同时测得BC＝20 m，则树的高AB为(　A　) A．20tan 37° m B． m C． m D．20sin 37° m 2．如图，图1、图2分别表示用测倾器测量观测目标P的仰角和俯角，铅垂线所指的度数分别为α，β，那么我们就说观察目标P的仰角为α，俯角为β，这种说法对吗？请说明原因． 图1　　　　　　　　图2 解：对．原因如下： 如题图1，∵BA为水平线，AC为铅垂线， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋α＝90°. ∵∠PAB＋∠BAD＝90°， ∴∠PAB＝α. 如题图2，∵AP⊥AD， ∴β＋∠CAP＝90°. ∵∠PAB＋∠CAP＝90°， ∴∠PAB＝β. 综上可得，α，β就是观察目标P时的仰角和俯角，题干说法正确． 知识点二　测量底部可以到达的物体的高度 3．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1 m，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6 m，设旗杆AB的高度为x m，则下列表达式正确的是(　B　) A．tan 55°＝ B．tan 55°＝ C．sin 55°＝ D．cos 55°＝ 4．如图，在距离铁塔200 m的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪AD的高为 1.5 m，则铁塔BC的高为(　C　) A．(1.5＋200sin α)m B．(1.5＋200cos α)m C．(1.5＋200tan α)m D．m 5．如图，小王在高台上的点A处测得塔底点C的俯角为α，塔顶点D的仰角为β，已知该高台与塔的水平距离AB＝a，则此时塔高CD的长为(　B　) A．asin α＋asin β　 B．atan α＋atan β C．　 D． 知识点三　测量底部不可以到达的物体的高度 6．如图，已知点B，D，C在同一条直线上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CD＝a，则建筑物AB的高度为(　D　) A． B． C． D． 解析：设AB＝x. 由题意，得∠ACB＝α，∠ADB＝β， ∴BD＝，BC＝. ∵CD＝BC－BD， ∴＝a， ∴x＝，即AB＝. 7．如图，学校环保小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们 先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D处测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是(　B　) A．20 m B．30 m C．30 m D．40 m 解析：在Rt△CDE中， ∵CD＝20 m，DE＝10 m， ∴sin ∠DCE＝＝， ∴∠DCE＝30°. ∵∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝30°，∠BCD＝90°. ∵DF∥AE， ∴∠CDF＝30°. ∴∠BDC＝60°， ∴BC＝CD·tan 60°＝20 m， ∴AB＝BC·sin 60°＝20＝30(m)． 8．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20 m的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80 m到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度． 解：设BC为x m，则AC＝(20＋x)m， 由条件知∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80 m. 在Rt△DBC中，tan 60°＝＝， 则DC＝x m， ∴CE＝(x－80)m. 在Rt△ACE中，tan 60°＝＝＝， 解得x＝10＋40， ∴小山BC的高度为(10＋40)m. 9．如图是一种太阳能路灯的简图，它由灯杆和灯管支架两部分构成，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3 m，EF＝9 m(点A，E，F在同一条直线上)．求灯管支架CD的长度． 解：如图，延长FC交AB于点G. 在Rt△ADE中，tan ∠AED＝＝tan 60°＝， ∴AD＝AE＝3 m. ∵AE＝3 m，EF＝9 m， ∴AF＝AE＋EF＝12 m. 在Rt△AFG中，tan F＝＝tan 30°＝， ∴AG＝4 m. ∵∠A＝90°，∠F＝30°， ∴∠AGF＝60°， ∴∠BDC＝∠AGF＝60°， ∴△DGC是等边三角形， ∴CD＝DG＝AG－AD＝4－3 ＝(m)， 即灯管支架CD的长度为 m． 10．如图，在数学综合实践活动课上，两名同学要测量小河对岸大树BC的高度，甲同学在点A处测得大树顶端B的仰角为45°，乙同学从点A出发沿斜坡走6 m到达斜坡上点D处，在此处测得树顶端点B的仰角为26.7°，且斜坡AF的坡比为1∶2. (1)求乙同学从点A到点D的过程中上升的高度； (2)依据他们测量的数据求出大树BC的高度．(参考数据：sin 26.7°≈0.45，cos 26.7°≈0.89，tan 26.7°≈0.50) 解：(1)如图，过点D作DH⊥AE于点H. 在Rt△ADH中，＝， ∴AH＝2DH. ∵AH2＋DH2＝AD2， ∴(2DH)2＋DH2＝(6)2， ∴DH＝6 m， ∴乙同学从点A到点D的过程中上升的高度为6 m. (2)如图，过点D作DG⊥BC于点G，设BC＝x m． 在Rt△ABC中，∠BAC＝45°， ∴AC＝BC＝x m. 由(1)，得AH＝2DH＝12m. 在矩形DGCH中，CG＝DH＝6 m，DG＝CH＝AC＋AH＝(x＋12)m. 在Rt△BDG中，BG＝BC－CG＝BC－DH＝(x－6)m. ∵tan ∠BDG＝， ∴≈0.50， 解得x≈24， ∴大树BC的高度约为24 m． 【创新运用】 11．小宇与小航准备测量某塔的高度，如图，小宇在点A处观测到该塔最高点P的仰角为45°，再沿正对该塔的方向前进10 m，在B处测得最高点P的仰角为60°.小航先在点C处竖立长为2.6 m 的标杆FC，再后退至其眼睛点D、标杆顶端F、最高点P在同一条直线上的位置处，此时测得最高点P的仰角为30°，已知两人身高均为 1.6 m.(头顶到眼睛的距离忽略不计) (1)求该塔PQ的高度．(结果保留一位小数) (2)测量结束时小宇站在点E处(点E在点B的正下方)，小航站在点C处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为1.5 m/s，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．(参考数据：≈1.732) 解：(1)如图，设PQ与AD相交于点G. 由题意，得AB＝10 m，BE＝GQ＝1.6 m. 设BG＝x m，∴AG＝AB＋BG＝(x＋10)m. 在Rt△BPG中，∠PBG＝60°， ∴PG＝BG·tan 60°＝x m． 在Rt△APG中，∠PAG＝45°， ∴tan 45°＝＝1， ∴PG＝AG， ∴x＝x＋10， ∴x＝5＋5， ∴PG＝x＝(15＋5)m， ∴PQ＝PG＋GQ＝15＋5＋1.6≈25.3(m)， ∴该塔PQ的高度约为25.3 m. (2)小宇先到达塔底．理由如下： 设FC与AD相交于点H. 由题意，得CH＝BE＝1.6 m. ∵FC＝2.6 m， ∴FH＝FC－CH＝1 m. 在Rt△PGD中，PG＝(15＋5)m，∠PDG＝30°， ∴DG＝PG＝(15＋15)m. 在Rt△DFH中，DH＝FH＝ m， ∴GH＝DG－DH＝(14＋15)m. ∵小宇的速度为1.5 m/s，小航速度是其2倍， ∴小航的速度为3 m/s， ∴＝≈9.1(s)， ＝≈13.1(s)． ∵9.1＜13.1， ∴小宇先到达塔底． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $