07 课时分层训练(六) 解直角三角形-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(六)　解直角三角形 知识点一　已知两边解直角三角形 1．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．若∠C＝90°，a＝3，b＝3，则∠A＝　30°　，∠B＝　60°　，c＝　6　． 2．在Rt△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．已知∠C＝90°，a＝19，c＝19，解这个直角三角形． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝19，c＝19， ∴b＝＝19. ∵tan A＝＝1， ∴∠A＝45°， ∴∠B＝90°－∠A＝45°， ∴b＝19，∠A＝∠B＝45°. 知识点二　已知一边一锐角解直角三角形 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝10，则△ABC的面积为(　A　) A．24 B．30 C．40 D．48 解析：∵∠C＝90°，sin A＝，AB＝10， ∴BC＝AB•sin A＝10×＝6， ∴AC＝＝＝8， ∴△ABC的面积为＝＝24. 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形． (1)b＝10，∠B＝60°； (2)a＋b＝3＋，∠A＝30°. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∴c＝2a. ∵b＝10， ∴(2a)2＝a2＋102， 解得a1＝，a2＝－(舍去)， ∴c＝. 由上可得∠A＝30°，a＝，c＝. (2)∵a＋b＝3＋，∠A＝30°，∠C＝90°， ∴c＝2a，b＝3＋－a，∠B＝60°， ∴(2a)2＝a2＋(3＋－a)2， 解得a1＝，a2＝－3－2(舍去)， ∴b＝3，c＝2. 由上可得a＝，b＝3，c＝2，∠B＝60°. 知识点三　解简单的斜三角形 5．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin ∠AOB的值为(　B　) A． B． C．1 D． 解析：如图，连接AD，CD. 设正方形的网格边长是1，则根据勾股定理可得OD＝AD＝，OC＝AC＝. 在△ODA中，由等腰三角形三线合一，得∠OCD＝90°，则CD＝＝， ∴sin ∠AOB＝＝＝. 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin B＝.求： (1)边BC的长度； (2)cos A的值． 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝AC＝10，∴BC＝2BD. 在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝， ∴AD＝AB·sin ∠ABD＝10×＝8， ∴BD＝＝＝6， ∴BC＝2BD＝12. (2)如图，过点B作BH⊥AC于点H. ∵S△ABC＝AC·BH＝BC·AD， ∴BH＝＝＝， ∴AH＝＝＝， ∴cos ∠BAH＝＝＝， 即cos A的值为. 知识点四　构造直角三角形求面积 7．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是(　C　) A． B． C． D．2 8．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6.求△ABC的面积． 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°. ∵BC＝6， ∴CD＝BD＝3. 在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°， ∴tan 30°＝， ∴AD＝3＝， ∴S＝×(3)×3＝9＋3， ∴△ABC的面积是9＋3. 9.如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝3，则AC的长为(　B　) A． B． C． D．2 10．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC′D′.若∠D′AB＝45°，则阴影部分的面积是(　D　) A． B．5－5－ C． D．5－2 解析：设BC与C′D′交于点E，则BE⊥C′D′， ∴C′E＝BC′•cos C′. ∵四边形ABC′D′为菱形， ∴∠C′＝∠D′AB＝45°， ∴C′E＝BC′•cos C′＝2×＝. 同理BE＝BC′•sin C′＝， ∴D′E＝2－， ∴梯形D′EBA的面积S′＝(D′E＋AB)·BE＝2－1， ∴阴影部分的面积S＝S正方形ABCD－S′＝2×2－(2－1)＝5－2. 11．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且＝，则tan A＝　　． 解析：如图，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D. ∵＝， ∴设BC＝2a，AC＝3a. ∵∠A，∠B互为半余角， ∴∠A＋∠B＝45°， ∴∠DCB＝∠A＋∠B＝45°. 在Rt△CDB中，BD＝BC·sin 45°＝2a•＝2a，CD＝BC·cos 45°＝2a•＝2a. ∵AC＝3a，∴AD＝AC＋CD＝3a＋2a＝5a. 在Rt△ABD中，tan A＝＝＝. 12．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tan A＝2cos ∠BCD. (1)求证：BC＝2AD； (2)若cos B＝，AB＝10，求△ABC的面积． (1)证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°. 在Rt△ACD中，tan A＝. 在Rt△CDB中，cos ∠BCD＝. ∵tan A＝2cos ∠BCD， ∴＝， ∴BC＝2AD. (2)解：在Rt△CDB中，cos B＝＝. ∵BC＝2AD，∴＝. ∵AB＝10， ∴BD＝AB＝6， ∴BC＝＝＝8， ∴CD＝＝＝2， ∴△ABC的面积为AB·CD＝×10×2＝10， ∴△ABC的面积为10. 【创新运用】 13．[引入]在直角三角形中，已知任意两边长就能求出第三边，也可以已知一边和一个锐角，利用直角三角形中已知锐角的大小得出三边的比例关系，求出剩余两边的大小，这类内容称为解直角三角形． (1)如图，在图1中，三边a∶b∶c＝　1∶∶2　，在图2中，三边a∶b∶c＝　1∶1∶　． [探究] (2)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，求△ABC的三条边长之比． [应用] (3)如图4，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝120°，CD＝2，BC＝3，求四边形ABCD的面积． 　　 图1　　　　　　　图2 　 图3　　　　　　　图4 解：(2)如图1，过点A作AD⊥BC于点D. 图1 ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∴BD＝AB， ∴BC＝AB， ∴△ABC的三条边长之比1∶1∶. (3)如图2，延长AD，BC交于点E. 　图2 ∵∠B＝∠ADC＝90°， ∠BCD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠E＝30°， ∴EC＝2CD＝4， ∴DE＝2，BE＝BC＋CE＝7， ∴AB＝BE＝， ∴四边形ABCD的面积为 S△EAB－S△EDC＝×7－×2×2＝. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $