06 课时分层训练(五) 30°，45°，60°角的三角函数值-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(五)　30°，45°，60°角的三角函数值 知识点一　30°，45°，60°角的三角函数值 1．式子2cos 30°－tan 45°的值是(　C　) A．1－ B．0 C．－1 D． 2．将如图的三角尺的直角顶点放置在直线AB上的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的余弦值为(　A　) A． B． C． D．1 3．计算： (1)2cos 30°－tan 60°＋sin 45°cos 45°； (2)(－1)2 025＋2sin 45°－cos 30°＋sin 60°＋tan260°. 解：(1)原式＝2×＝＝. (2)原式＝－1＋2×＋()2＝－1＋＋3＝2＋. 知识点二　根据特殊角的三角函数值求相应锐角的度数 4．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于(　A　) A．70° B．60° C．50° D．30° 5．在△ABC中，若＋(－cos B)2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是(　C　) A．75° B．90° C．105° D．120° 6．已知∠A是锐角，填空： (1)若cos A＝，则∠A＝　60°　； (2)若2sin A＝1，则∠A＝　30°　； (3)若tan (A＋15°)＝，则∠A＝　15°　． 知识点三　三角函数的简单实际应用 7．如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B距离地面的高度AB为1.5 m，风筝飞到C处时的线长BC为30 m，这时测得∠CBD＝60°，求此时风筝距离地面的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73) 解：在Rt△BCD中，sin ∠CBD＝， ∴CD＝BC·sin ∠CBD＝30×sin 60°＝15≈25.95(m)， ∴CE＝CD＋AB≈25.95＋1.5＝27.45≈27.5(m)． 答：此时风筝距离地面的高度约是27.5 m． 8．按如图所示的运算程序，能使输出的y值为的是(　C　) A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30° 解析：A．α＝60°，β＝45°，α＞β，则y＝sin α＝； B．α＝30°，β＝45°，α＜β，则y＝cos β＝； C．α＝30°，β＝30°，α＝β，则y＝sin α＝； D．α＝45°，β＝30°，α＞β，则y＝sin α＝. 9．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在距离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在距离树根C的12 m 处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．(结果保留根号) 解：∵BC⊥AC， ∴∠BCA＝90°. 在Rt△ABC中，∵tan ∠BAC＝， ∴BC＝AC·tan ∠BAC＝12×tan 30°＝12×＝4(m)． 10．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，求∠A的度数． 解：在Rt△ABC中， ∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5， ∴cos A＝＝＝， ∴∠A＝45°. 11．如图，点A是一个半径为600 m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B，C两个村庄，现要在B，C两个村庄之间修一条长为2 000 m的笔直公路将两村连通，现测得∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.问：此公路是否会穿过该森林公园？请说明理由．(参考数据：≈1.73) 解：此公路不会穿过该森林公园．理由如下： 如图，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°. ∵∠ABC＝45°， ∴tan ∠ABC＝＝tan 45°＝1， ∴BH＝AH. ∵∠ACB＝30°， ∴tan ∠ACB＝＝tan 30°＝， ∴CH＝AH. ∵BC＝BH＋CH＝2 000 m， ∴AH＋AH＝2 000 m， ∴AH＝1 000(－1)m. ∵1 000(－1)＞600， ∴此公路不会穿过该森林公园． 【创新运用】 12．阅读材料，解答下列问题： sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β， cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β. 例：sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45°＝. (1)试仿照例题，求出cos 75°的准确值； (2)我们知道tan α＝，试求出 tan 75° 的准确值； (3)根据材料及所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan 75° 的准确值(要求分母有理化)，并和(2)中的结果进行比较． 解：(1)∵cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β， ∴cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°·cos 45°－sin 30°·sin 45°＝＝. (2)∵tan α＝， ∴tan 75°＝＝＝2＋. (3)如图，tan 75°＝tan∠CBD＝＝＝＋2. 与(2)中的结果相同． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $