第2讲立体几何之存在、折叠、最值综合问题复习讲义-2026届高三数学一轮复习

冲刺清北数学 第2讲 立体几何之存在、折叠、最值综合问题 YDZZZH 要点自主整合 【重点难点】 重点：掌握探究性题型解题方法与技巧、翻折与折叠前后的变与不变、 线段之和最值题型的平面化解题技巧. 难点：如何猜想点的位置及如何证明、如何转化为常见题型 【解题技巧】 1.对于线面关系中的存在性问题 首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找 假设满足的条件，若满足，则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设. 2.存在性问题的解题策略 借助于空间直角坐标系，把几何对象上动态点的坐标用参数变量)表示，将几何对象坐 标化，这样根据所要满足的题设要求得到相应的方程或方程组.若方程或方程组在题设范围 内有解，则通过参数的值反过来确定几何对象的位置；若方程或方程组在题设范围内无解， 则表示满足题设要求的几何对象不存在 3.翻折问题的2个解题策略 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量 关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置 确定翻折前后变 和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会 与不变的关系 发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则 要在立体图形中解决 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点，因为这些点的位置移动， 会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面 确定翻折后关键 之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才 点的位置 能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与 计算 4.“展开问题”是“折叠问题”的逆向思维、逆过程 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 “展开问题”是指将立体图形的表面或部分表面)按一定的要求铺成平面图形，再利用平面 图形的性质解决立体问题的一类题型.解决展开问题的关键是：确定需要展开立体图形中的 哪几个面有时需要分类讨论)，以及利用什么平面定理来解决对应的立体图形问题， 提醒]求立体图形中两条或多条)线段长度和的最小值，只需将这些线段统一到一个平面 上，要注意立体图形展开前后线段与角度哪些会改变，哪些不会变 5与体积、面积有关的最值问题的解题策略 空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、 体积等发生变化，进而就有了面积与体积的最值问题 定性 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规 分析 律，进而发现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最 定量 大值或最小值的问题.根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方 分析 法可供选择 四面体体积公式（了解） S SA=a SB=b SC=c ∠BSC=a∠CSA=B∠ASB=X r-6kyl-ma-ef-ow7+2aaewga7 C 8 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径‘ ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 四个面都是边长为a,b,c的全等三角形 r-0-X6--可 p2=a2+b2+c2） A C B t SA =a SB=b SC=c ∠ASC=a∠BSC=BA-SC-B=0 v=1 abcsin Bsin Bsin B 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 SASAB =S1 SMDC=S2 S-AB-C=0 AB=a V=2SS,sin0 3a B SA=a SB=b SC=c BC-a,AC=b AB=c 6RV=p(p-aa Xp-bb yp-cc) 1 其中p=(aa+bb+cc) 2 R为四面体的外接球的半径 B 7,空间余弦定理 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐翁写 冲刺清北数学 空间余弦定理 ad+d)-ad+o) c0s<AB,C⑩> 2A0-CO +a元+ ABC①= 2 B 【证明】AB.CD=AB.(AD-AC) =AB·AD-AB·AC B.D.cos(B,D-B.AC.cos(4B.C -AB.AD cOs∠BAD- AB,ACcos∠BAC =@o +-丽 248.AD 网cc-c 2AB·AC a0+ac-ac+o） 2 推广：cos(AB.CD a+ac到-(ac+m 2ABCD KTDLJL 课堂典例讲练 考点一 点的存在性问题 【典例】如图，正方体ABCD-AB,C,D,中，P是线段BC,上的动点，有下列四个说法： 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为作 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 ①存在点P,使得DP∥平面ADB; ②对于任意点P,四棱锥P-A,ADD,体积为定值； ③存在点P,使得AP⊥平面CDB; ④对于任意点P,△A,DP都是锐角三角形 其中，不正确的是() B D A.① B.② C.③ D.④ 解以B为原点，BC,BA,BB的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系， D B D A 不妨设正方体棱长为1， 则B0,0,0,C1,0,0,A0,1,0,D1,1,0),B0,0,1,C1,0,1,A0,1,1,D1,1,1， 设Pa,0,a(0≤a≤1)，DP=(a-l,-l,a-1,BD=(11,0,B4=(0,1,l, 平面A,DB的一个法向量为n=（x,y,z, BD.n=x+y= 0,即n=1,-1 BAn=y+z=0 若DP.n=a-1+1+a-1=0,得a= 2 则a=,DPLi,又DPe平面D8,所以DP/平面4Da. 即点P为BC,中点时，D,P∥平面ADB,说法①正确； 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐希与 冲刺清北数学 在正方体ABCD-AB,CD中，平面A,ADD,∥平面B,BCC1,P∈平面B,BCC1, 则P点到平面A,ADD,的距离为定值，又正方形AADD,面积为定值， 所以对于任意点P,四棱锥P-AADD,体积为定值，说法②正确： 由AP=（a,-1,a-1,BD=(11,0,BC=1,0,1, BD·A,P=a-1=0 若AP⊥平面CDB,则有 ,方程组无解， BC,·AP=a+a-1=0 所以不存在点P,使得AP⊥平面C,DB,说法③错误； 由AD=1,0,-1,AP=(a,-la-1,Dp=(a-l,-l,a, A,D=2,A,P=DP=2a2-2a+2, 则△ADP中，∠PDA,=∠PAD,都是锐角， 。1) AP.DP=a(a-1)+1+ala-1)=2a-- +>0,∠APD也是锐角， 22 所以对于任意点P,△A,DP都是锐角三角形，说法④正确.只有说法③不正确故选：C. 【典例2】如图，在正方体ABCD-A,BC,D,中，P为棱AB上的动点，DQ⊥平面 DPC,Q为垂足给出下列四个结论： 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 k 书山有路勒为作写 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 D A B Q D P B ①DQ=CQ； ②线段DQ的长随线段AP的长增大而增大； ③存在点P,使得AQ⊥BQ; ④存在点P,使得PQ∥平面DDA. 其中所有正确结论的序号是 解在正方体ABCD-A,B,C,D,中，令AB=1,以点D为原点，建立如图所示的空间直角 坐标系， ZA °0 D P 设P=1(0≤1≤1)，则D0,0,0,C0,1,0),D0,0,1,P1,t,0, 则CD=(0,-1,1,CP=(1,t-1,0, CD,·n=-y+z=0 令平面DPC的法向量n=（x,y,z，则 ，取y=1，得 CP.n=x+(t-1)y=0 n=1-t,, 由Dg⊥平面D,PC于Q,得D0=入=(1-t)2,2,元)，即Q1-t)2,,2), C9=(1-t)2,入-1，入)，显然C0n=(1-t}22+元-1+入=0，解得元= 1 （t-12+2 1-t11 于是0-1r+2-旷+2'-+2) 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 李餐写 冲刺清北数学 对于①，D,0=V1-t22+元2+(2-12=V1-222+(2-2+=cg,①正确： 对e1g-7-11 1 一在[0,1上单调递增，②正确： V1-t2+2 对于③，而A1,0,0),B11,0),A0=(1-t)2-1,2,2),B0=(1-t2-1,1-1,元)， 若A0·B0=[1-t)入-+2(2-1)+22=t2-2t+322-(3-2)2+1=0, 显然4=(3-2t2-42-21+3=-41-3<0, 即不存在t∈[0,1，使得AQ·BQ=0,③错误； 对于④，平面D,DA的-个法向量DC=(01,0),而P0=(1-t)2-1,元-t,入)， 由P0Dc=入-1=0，得元=1，即1=-1护+2 整理得t3-2t2+3t-1=0, 令fd)=t3-2t2+3t-1,t∈[0,1，显然函数fd)在[0,1上的图象连续不断， 而f0)=-1<0,f1=1>0,因此存在t∈(0,1)，使得ft)=0,此时PQ丈平面 D DA, 因此存在点P,使得PQ/平面D,DA,④正确. 所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④ 【典例】在如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形， AB∥CD,AB=2BC,∠ABC=60°，AC⊥FB. (I)求证：AC⊥平面FBC; 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 人业男碧与 冲刺清北数学 (Ⅱ)求BC与平面EAC所成角的正弦值； ()线段ED上是否存在点Q,使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论. E D为 解] 跟踪练习① (1)如图，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ADEF⊥平面ABCD,AF∥DE, AD⊥DE,AF=2√6，DE=3V6 (I)求证：平面ACE⊥平面BED; (Ⅱ)求直线CA与平面BEF所成角的正弦值： (Ⅲ)在线段AF上是否存在点M,使得二面角M-BE-D的大小为60°？若存在，求 出4以的值：若不存在，说明理由. AF 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟