第一次月考复习培优数学试卷 （范围：第1-2章）2025-2026学年浙教版（2024）数学八年级上册

第一次月考复习培优数学试卷（范围：第 1-2章）2025-2026学年 浙教版八年级上册 一选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列平面图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，，是的两条高线，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 3.直角三角形中，两直角边长分别是和，则斜边上的中线长是． A. B. C. D. 4.如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是(    ) A. 是的中线 B. 是的角平分线 C. D. 是的高 5.已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 6.如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是  (    ) 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． A. Ⅰ对，Ⅱ错 B. Ⅰ错，Ⅱ对 C. Ⅰ，Ⅱ都对 D. Ⅰ，Ⅱ都错 7.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 9.已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点；如图所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；是等边三角形；；其中正确的为． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，在和中，已知，再添加一个条件，就可以用“”判定，你添加的条件是          ． 12.如图，一架长米的梯子斜靠在墙上，到墙底端的距离为米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的端向上移动了          米． 13.如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为，则的面积为          ． 14.如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是________． 15.如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为          ． 16.如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且． 则的长是______； 若，且，则______． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，求证：． 18.本小题分如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． 求证：； 若的面积为，，，求的长． 19.本小题分 如图，在正方形网格上有一个． 作关于直线的轴对称图形． 作的边上的高． 若网格上的最小正方形边长为，求的面积． 20.本小题分 如图，在中，，边的垂直平分线交的外角平分线于点，垂足为，于点，于点，连接． 求证：； 若，，求的长． 21.本小题分 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角分别对应连结起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形如图，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 请证明图的结论成立 如图，和是等边三角形，连结，交于点，求的度数 如图，，，试探究与的数量关系． 22.本小题分 如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为，动点、分别从点、同时出发向右移动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动． 请在的网格纸图中画出运动时间为秒时的线段，并求出的长度． 在动点、运动的过程中，能否成为以为底的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间，若不能，请说明理由． 23.本小题分 在中，，，在的内部，点，在上，点在点的左侧，探究线段，，之间的数量关系． 如图，当时，探究如下：由，可知，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则且，连接，易证≌，可得在中，由勾股定理，得，则有． 如图，当时，写出线段，，之间的数量关系，并证明； 如图，当时，线段，，之间的数量关系为          ． 24.本小题分 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】如图，，共顶点，，，，连接，由，得又，，可以推理得到，进而得到          ，          ． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线，及点，与不平行作等腰直角三角形，使得点，分别在直线，上小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连接．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形，使得点，分别在直线，上请你简述作法，并在图中画出示意图不需要尺规作图 第3页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考复习培优数学试卷（范围：第 1-2章）2025-2026学年 浙教版八年级上册 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列平面图形中是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是轴对称图形，故此选项符合题意； B.没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：． 根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.如图，，是的两条高线，，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 3.直角三角形中，两直角边长分别是和，则斜边上的中线长是． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是(    ) A. 是的中线 B. 是的角平分线 C. D. 是的高 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】 解：已知，则是的中线，正确，不符合题意； B.是的角平分线，正确，不符合题意； C.是的角平分线， ， 是中线， ， 不正确，符合题意； D.是的高，正确，不符合题意． 故选C 5.已知等腰三角形的两边长分别为，，且，满足，则此等腰三角形的周长为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】略 6.如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是  (    ) 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：． A. Ⅰ对，Ⅱ错 B. Ⅰ错，Ⅱ对 C. Ⅰ，Ⅱ都对 D. Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】A  【解析】因为，所以，所以在和中，所以，所以，故结论Ⅰ正确．因为，所以因为，，，，所以，，所以，故结论Ⅱ错误．故选A． 7.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，于点，，则的长度为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 8.如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 9.已知，分别是长方形纸条边，上两点，如图所示，沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点；如图所示，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 故选：． 10.如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：；是等边三角形；；其中正确的为． A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：解：如图，连接， ，， ，， ，， ， ， ，， ； 故正确； ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； 故正确； 如图，在上截取， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ； 故正确； 如图，过点作于， ，， ， ， ， ； 故正确． 故选D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，在和中，已知，再添加一个条件，就可以用“”判定，你添加的条件是          ． 【答案】   【解析】因为，用“”判定，所以需要条件或故答案为或 12.如图，一架长米的梯子斜靠在墙上，到墙底端的距离为米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的端向上移动了          米． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形，分别得出，的长即可． 【解答】 解：如图，在中， 根据勾股定理知，，即米， 在中，由题意可得：米， 根据勾股定理知，，即米， 所以米．故答案为． 13.如图，已知的两条中线，交于点，过点作的平行线交于点，若的面积为，则的面积为          ． 【答案】  【解析】略 14.如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形判定和性质，角平分线性质，等腰直角三角形性质，三角形面积公式，直角三角形性质，找规律，三角形面积等，属于填空压轴题，综合性强，难度较大，解题时要善于发现和总结规律．过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点，先证明≌，再证明≌，即可证得，进而可得，同理可得，，，，即可得出答案． 【解答】 解：如图，过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点， ， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， ． 故答案为． 15.如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为          ． 【答案】    【解析】此题主要考查含度的直角三角形，熟练掌握含度的直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，添加辅助线段，是解题关键． 在上取点，使，过点作于点，连接，则是等边三角形，由是等边三角形，证明，得，有最小值，，得的最小值为． 【详解】解：在中，，，， ， 是的中点， ， 在上取点，使，过点作于点，连接， 则是等边三角形，  ， ， ， 是等边三角形， ， ， 或， ， ， ， 当点与点重合时，有最小值，为， 的最小值为． 故答案为：． 16.如图，在四边形中，对角线，为上一点，连结交于点，，已知，且． 则的长是______； 若，且，则______． 【答案】    【解析】解：延长交的延长线于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在中，， 即， ； 故答案为：； ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：． 延长交的延长线于点，易得是等腰直角三角形，可证≌，所以，即可得解； 由条件易证≌，得到，所以，即可求解． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，求证：． 【答案】【证明】在和中，所以，所以因为，所以．  【解析】略 18.本小题分 如图，是的角平分线，，，垂足分别为，． 求证：； 若的面积为，，，求的长． 【答案】(1)证明：因为BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥BC，所以DE＝DF．   (2)BC＝12  【解析】 略  略 19.本小题分 如图，在正方形网格上有一个． 作关于直线的轴对称图形． 作的边上的高． 若网格上的最小正方形边长为，求的面积． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作的关于直线的轴对称图形.​​​​​​​  (2)如图所示，为边上的高线. ​​​​​​​  (3).  【解析】 略  略  略 20.本小题分 如图，在中，，边的垂直平分线交的外角平分线于点，垂足为，于点，于点，连接． 求证：； 若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接BD. ∵DE垂直平分BC， ∴BD=CD， ∵AD平分∠CAM，DF⊥AC，DG⊥AM， ∴DG=DF， 在Rt△BDG和Rt△CDF中， ， ​​​​​​​∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL）， ∴BG=CF.  (2)解：在Rt△ADG和Rt△ADF中， ​​​​​​​， ∴Rt△ADG≌Rt△ADF（HL）， ∴AG=AF， ∵AC=AF+CF，BG=AB+AG，BG=CF， ∴AC=AF+AB+AG=2AG+AB， ∵AB=10cm，AC=14cm， ∴AG=（AC-AB）=×（14-10）=2（cm）.  【解析】 略  略 21.本小题分 两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角分别对应连结起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形如图，在“手拉手”图形中，，，，连结，，则． 请证明图的结论成立 如图，和是等边三角形，连结，交于点，求的度数 如图，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)证明:BAC=DAE,BAD=CAE.AB=AC,AD=AE,ABDACE(SAS);  (2)记AD与CE的交点为G.ABC和ADE是等边三角形,AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=. BAD=CAE.ABDACE(SAS).ADB=AEC.AGE=​​​​​​​DGO,DOE=DA ​​​​​​​E=.BOC=;  (3)A+BCD=.理由:延长DC至点P,使DP=DB,连结BP.BDC=,BDP是等边三角形, BD=BP,DBP=ABC==DBP,ABD=CBP.ABDCBP(SAS). ​​​​​​​BCP=ABCD+BCP=,​​​​​​​A+BCD=.  【解析】 见答案  见答案  见答案 22.本小题分 如图，在的网格纸中，每个小正方形的边长都为，动点、分别从点、同时出发向右移动，点的运动速度为每秒个单位，点的运动速度为每秒个单位，当点运动到点时，两个点都停止运动． 请在的网格纸图中画出运动时间为秒时的线段，并求出的长度． 在动点、运动的过程中，能否成为以为底的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】；     【解析】点的运动速度为每秒个单位和运动时间为秒， 由图中可知的位置如图， 则由已知条件可得，，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 作于点，由题意知，， 则、， ， ，则， 即， ， 当，即以为底时，， 解得：， 当时，能成为以为底的等腰三角形． 已知，的速度，根据时间即可求出各自运动路程，从而画出； 当时，，；列出方程求出后根据取舍即可得． 本题主要考查了作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及等腰三角形的判定． 23.本小题分 在中，，，在的内部，点，在上，点在点的左侧，探究线段，，之间的数量关系． 如图，当时，探究如下：由，可知，将绕点按顺时针方向旋转，得到，则且，连接，易证≌，可得在中，由勾股定理，得，则有． 如图，当时，写出线段，，之间的数量关系，并证明； 如图，当时，线段，，之间的数量关系为          ． 【答案】(1)  ∵，，∴△ABC是等边三角形.∴.如图，以B为顶点在△ABC外作，在BK上截取，连接QA，QM，过点Q作QH⊥BC，交CB的延长线于点H.在△ACN和△ABQ中，∴△ACN≌△ABQ，∴，∴.又∵，∴，即.在△AQM和△ANM中，∴△AQM≌△ANM，∴.∵，，∴，∴，∴，∴，.在Rt△QHM中，由勾股定理，得，即，整理，得.∴    (2)  【解析】 略  略 24.本小题分 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】如图，，共顶点，，，，连接，由，得又，，可以推理得到，进而得到          ，          ． 【问题研究】 小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图，已知直线，及点，与不平行作等腰直角三角形，使得点，分别在直线，上小明同学作法简述如下：如图，过点作，垂足为点，以为直角顶点作等腰直角三角形，过点作，交于点，在上截取，连接．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形，使得点，分别在直线，上请你简述作法，并在图中画出示意图不需要尺规作图 【答案】(1)CE  ;  (2)∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形，∴，. ∵，，∴， 在和中， ∴，∴，， ∴， ∴即为所要求作的等腰直角三角形.   (3)如图，即为所求. 作法：1.作于点F； 2.以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG； 3.以FG为边在FG上方作等边三角形FGH； 4.连接PH交直线a于点I； 5.连接并延长IG交直线b于点B； 6.在射线FI上取一点A，连接PB，PA，使，连接AB.   【解析】  ， ，， 在和中， ，故答案为，．  略  略 第2页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $