第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义-2026届高三数学一轮复习

第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【重点难点】 重点:①平面的概念与基本性质 ②空间直线、平面之间的各种位置关系 难点:①证明点共线、线共点、点线共面等 ②异面直线的判定、及能够求异面直线的夹角 【基础知识】 一、平面的基本性质 名称 图示 文字表示 符号表示 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 若,, 且,, 则. 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 若,且, 则, 且. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 空间平行线的传递性 若,, 则. 二、公理2三个推论(结论唯一性) 推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 三、空间中两直线的位置关系 【注】两直线无公共点:平行或异面 四、异面直线的定义与判定 (1)定义:不在任何平面的两直线、或既不平行也不相交的两直线 (2)判定定理:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. (3)异面直线所成的角 ①定义:设是两条异面直线,经过空间任一点作直线∥,∥,把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角). 【注】如果两条异面直线所成的角是直角,则称这两条直线互相垂直. ②范围:. 五、空间中直线和平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数 直线在平面内 无数个 直线与平面相交 一个 直线与平面平行 0个 【总结】 【注】直线与平面有公共点:线在面内或线面相交六、空间平面与平面的位置关系 位置关系 图示 符号表示 公共点个数 两平面平行 0个 两平面相交 无数个(这些公共点聚在交线上) 七、垂直直线 空间中如果两条直线相交于一点,或经过平移后相交于一点,并且交角为直角,则称这两条直线互相垂直. 八、空间四边形 顺次连接不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形,所连接的相邻顶点间的线段为空间四边形的边,连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线. 【常见结论】 (1)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. (2)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 【误区警示】 1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.而不是分别在两个平面内.理解定义一定要准确. 2.等角定理是求空间中两条直线所成角的基础,运用定理时,应注意“这两个角相等或互补”,只有在“方向相同”时才相等. 3.同一平面内两条直线不平行则必相交,但在空间中则不然,平面几何中的一些结论在空间中未必成立. 一、共线与共面问题 证明共线时,所共的直线一般定位为两个平面的交线;证明共面问题时,一般先由已知条件确定一个平面(有平行直线的先用平行直线确定平面),再证其它元素在该平面内. 二、异面直线问题 1.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理:连接平面外一点A与平面内一点B的直线和平面内不经过该点B的直线是异面直线. (2)反证法:假设两直线共面,则可能平行,也可能相交,按已知条件对两种情形进行推理产生矛盾. 2.求异面直线所成角 空间的角在教材中全移到了空间向量与立体几何中学习,这是因为用向量方法处理这部分内容可以降低难度,但复习时,可以移到前面加以整合,相关问题可以用纯几何方法求解,也可以用向量知识求解,增加解决问题方法的可选性. 异面直线所成角的大小,是用过空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的.因此,平移直线是求异面直线所成角的关键.这里给出几种平移直线的途径. 在已知平面内平移直线构造可解的三角形,或根据实际情况构造辅助平面,在辅助平面内平移直线构造可解的三角形,是求异面直线所成角的途径之一; 这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面,在这个平面内过这个点作这条直线的平行线,或在两条异面直线上各选一点连线,构造两个辅助面过渡. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“ ”) (1)如果两个不重合的平面有一条公共直线,就说平面相交,并记作.( ) (2)两个平面有一个公共点,就说相交于过点的任意一条直线.( ) (3)两个平面有一个公共点,就说相交于点,并记作.( ) (4)两个平面与相交于线段.( ) (5)经过两条相交直线,有且只有一个平面.( ) (6)没有公共点的两条直线是异面直线.( ) 典型例题 例1 已知,是异面直线,直线∥直线,则与( ) 一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线 答案: 例2 已知、、表示不同的点,表示直线,、表示不同的平面,则下列推理错误的是( ) ,,, ,,, , ,, 答案: 三条直线两两相交,可以确定 个平面. 答案:1或3 例3 考点一 线共点问题 证明共线问题:(1)可由两点连一条直线,再验证其他各点均在这条直线上;(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——两相交平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公共点. 例4 如图,在四面体中作截面,、的延长线交于,、的延长线交于,、的延长线交于.求证:、、三点共线. 【思路点拨】 要证明、、三点共线,由公理3可知,只要证明、、都在平面与平面的交线上即可. 【证明】 、、在平面与平面的交线上,即、、三点共线 【总结】错误主要出现在不能正确判断、、所在平面. 考点二 线共点问题 证明共点问题一般是证明三条直线交于一点.首先证明其中的两条直线相交于一点,然后再说明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线,由公理3可知两个平面的公共点必在两个平面的交线上,即三条直线交于一点. 如图所示,已知空间四边形 中,、分别是边、 的中点,、分别是边 、上的点,且, 求证:三条直线、、 交于一点. 例5 【思路点拨】 先证、、、四点共面,再证、交于一点,然后证明这一点在上. 【证明】因为、分别是、的中点,所以由中位线定理可知,,,又,所以中,,且, 由公里四可知,,且,所以四边形是梯形,、为上、下两底,所以两腰、所在直线必相交于一点. 因为直线,平面,所以平面.同理可得平面,所以在平面和平面的交线上.又∵面面,所以直线.故、、三直线交于一点. 【思维总结】 证明线共点的方法一般是先证两条直线相交于一点,然后再证明这一点在第三条直线上,而证明后者,往往是利用这点在两个平面的交线上. 考点三 点、线共面问题 证明若干条线(或若干个点)共面,一般来说有两种途径:一是首先由题目条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内;二是将所有元素分为几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重合.本题最容易忽视“三线共点”这一种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的含义.例6 如图,在正方体中,点、分别是棱、的中点,求证:、、、共面. 【思路点拨】连结、与相交,与相交证明两交点与共线. 【证明】因为、、三点不共线,所以、、三点确定一平面,又由题意可知与共面于平面且不平行,故分别延长、相交于,则直线平面,所以.同理,设直线与的延长线交于点,则平面. 又因为点、、均在平面内,且由题设条件知为的中点且, 从而,所以为等腰直角三角形,所以, 同理,又因为,从而点,所以、、、共面. 【思维点评】 题中是先说明、、确定一平面,再说明在所确定的平面内,也可证明,从而说明四点共面. 考点四 异面直线的判定 证明两直线为异面直线的方法: 1.定义法(不易操作). 2.反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. 3.客观题中,也可用下述结论: 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图. 如图所示,正方体中,、分别是、的中点.问: ( )和是否是异面直线?说明理由. ( )和是否是异面直线?说明理由. 例7 【思路点拨】 (1)易证,所以与不是异面直线.(2)由图易判断和是异面直线,证明时常用反证法. 【解】( )不是异面直线.理由:连结、、.因为、分别是、的中点,所以. 又因为且,所以为平行四边形. 所以,得到,所以、、、在同一平面内,故和不是异面直线. ( )是异面直线.理由:因为是正方体,所以、、、不共面. 假设与不是异面直线,则存在平面,使平面,平面, ∴、、、,∴与是正方体矛盾. ∴假设不成立,即与是异面直线. 【总结】 证明异面直线的方法中反证法最常用,不能把异面直线误解为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线. 四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体.如图,在正四面体中,、分别是和的中点.与是一对异面直线,在图中适当地选取一点作出异面直线与的平行线,找出异面直线与所成的角. 例8 [解]选取平面,该平面有以下两个特点:①该平面包含直线;②该平面与相交于点.在平面中,过点作的平行线交于点,连结,可以看出:与所成的角即为异面直线与所成的角. 【规律方法总结】 1.公理1反映了平面的本质属性,通过直线的“直”和“无限延伸”的特性,揭示了平面的“平”和“无限延展”的特征.其作用是:(1)检验平面;(2)判断直线在平面内;(3)由直线在平面内判定直线上的点在平面内. 2.公理2的作用:确定平面的依据.它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.例如:三点确定几个平面?当三点共线时,三点确定无数个平面;当三点不共线时,确定一个平面,所以三点确定一个或无数个平面. 公理2中的“有且只有一个”包含两层含义:(1)“有”说明平面的存在性;(2)“只有一个”说明平面的唯一性. 3.公理3进一步反映了平面的延展性.其作用是:(1)判定两平面相交;(2)作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时,这两点的连线就是交线);(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点,则这几个点都在这两个平面的交线上). 考点一 共线、共面问题 【方法】共面:是否相交、是否平行 共线:【考查公理3】如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 【典例】如下图所示,空间四边形中,分别在上,且满足,,过的平面交于,连结. ( )求; ( )求证:三线共点. 冲刺清北数学 书山有路勤为径,学海无涯苦作舟 学科网(北京)股份有限公司 [解] (1)如下图所示,正方体中,分别是和的中点.求证: ( )四点共面; ( )三线共点. [解] (2)如图,平面⊥平面,四边形与四边形都是直角梯形,,∥且,∥且,分别为的中点. ( )证明:四边形是平行四边形; ( )四点是否共面?为什么? [解] 考点二 空间两条直线的位置关系 【典例】已知为异面直线,平面,平面,,则( ) 与都相交 与中至少一条相交 与都不相交 与中的一条直线相交 (1)若直线和是异面直线,在平面内,在平面内,是平面与平面的交线,则下列命题正确的是( ) 与都不相交 与都相交 至多与中的一条相交 至少与中的一条相交 (2)如图,在正方体中,分别是的中点,则下列判断错误的是( ) 与垂直 与垂直 与平行 与平行 (3)在图中,分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线是异面直线的图形有 .(填上所有正确答案的序号) (4)若空间中四条两两不同的直线,满足,∥,,则下列结论一定正确的是( ) ∥ 与既不垂直也不平行 与的位置关系不确定 (5)已知直线和平面,,,,且在内的射影分别为直线,则直线的位置关系是( ) 相交或平行 相交或异面 平行或异面 相交、平行或异面 考点三 空间线面的位置关系 【典例】设直线与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) 在平面内有且只有一条直线与直线垂直 过直线有且只有一个平面与平面垂直 与直线垂直的直线不可能与平面平行 与直线平行的平面不可能与平面垂直 (1)对两条不相交的空间直线与,必存在平面,使得( ) , ,∥ , , (2)已知是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若,,,则; ②若∥,∥,,则∥; ③若,∥,,则∥; ④若,∥,∥,则. 其中所有正确的命题是( ) ①④ ②④ ① ④ (3)已知直线分别在两个不同的平面内,则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的( ) 必要不充分条件 充分不必要条件 充要条件 既不充分也不必要条件 考点四 异面直线的判定 【典例】如图所示,在空间四边形中,点分别是边的中点,点分别是边上的点,且,有以下四个结论. ①与平行; ②与异面; ③与的交点可能在直线上,也可能不在直线上; ④与的交点一定在直线上. 其中正确结论的序号为 . (1)如图所示,正方体中,分别是的中点. ( )和是否共面?说明理由; ( )和是否是异面直线?说明理由. [解] (2)如图,在正方体中,分别为棱的中点,有以下四个结论: ①直线与是相交直线; ②直线与是平行直线; ③直线与是异面直线; ④直线与是异面直线. 其中正确结论的序号为 . (3)设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 ( ) 不存在 只有1个 恰有4个 有无数多个 第3题 第5题 (4)在空间四边形各边 上分别取 四点,如果相交于点,那么( ) 点必在直线上 点必在直线上 点必在平面内 点必在平面外 (5)在空间四边形的边 上分别取 四点,若与交于点,则( ) 一定在上 一定在上 可能在上也可能在上 不在上,也不在上 考点五 求异面直线所成的角 【典例】如下图所示,在正方体中,分别是的中点,求异面直线和所成角的余弦值. [解] (1)如下图所示,正方体中,,则与所成角的余弦值 . (2)如下图长方体中,,,,在上,且.则与所成角的余弦值 . (3)如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为 . (4)空间四边形中,且与所成的角为,分别为的中点,则与所成角的大小 . A组 考点能力演练【最新2026年版】 1.下列命题正确的个数为( ) ①梯形可以确定一个平面; ②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面; ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 2.已知是异面直线,直线平行于直线,那么与( ) 一定是异面直线 一定是相交直线 不可能是平行直线 不可能是相交直线 3.如图是正方体或四面体,分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( ) 4.下列结论中正确的是( ) ①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行; ②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内; ③一条直线与两条平行直线中的一条相交,那么它也与另一条相交; ④空间四条直线,如果∥,∥,且∥,那么∥. ①②③ ②④ ③④ ②③ 5.若直线与平面相交,则( ) 平面内存在直线与异面 平面内存在唯一一条直线与平行 平面内存在唯一一条直线与垂直 平面内的直线与都相交 6.在正方体中,分别是线段的中点,则直线与直线的位置关系是( ) 相交 异面 平行 垂直 7.是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) , ,∥ ∥∥共面 共点共面 8.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( ) 充分非必要条件 必要非充分条件 充分必要条件 既非充分又非必要条件 9.在下列命题中,不是公理的是( ) 平行于同一个平面的两个平面相互平行 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 10.平行六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为( ) 3 4 5 6 11.已知空间中有三条线段,且,那么直线与的位置关系是( ) ∥ 与异面 与相交 ∥或与异面或与相交 12.设四面体的六条棱的长分别为,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是( ) B组 高考题型专练【最新2026年版】 1.设是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) 若与共面,则与共面 若与是异面直线,则与是异面直线 若,,则 若,,则 2.以下四个命题中, ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点共面,点共面,则点共面; ③若直线共面,直线共面,则直线共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) 0 1 2 3 3.如图,矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成.若为线段的中点,则在翻折过程中,下面四个命题中不正确的是( ) 是定值 点在某个球面上运动 存在某个位置,使 存在某个位置,使∥平面 4.已知为不垂直的异面直线,是一个平面,则在上的射影可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号) 第3题 第5题 5.如下图,已知正方体中,分别为的中点, ,,若交平面于点,试确定点的位置在 . 6.如图,直三棱柱中,,,,, 为线段上的一动点,则当最小时,的面积为 . 7. 在正方体中,分别为棱、的中点,则在空间中与三条直线都相交的直线有 条. 第6题 第8题 8.如图,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点在线段上,分别为、的中点.设异面直线与所成的角为,则的最大值为 . 9.如图,在正方体中,为正方形的中心,为直线与平面的交点.求证:三点共线. [证明] 10.如图,在三棱锥中,⊥底面,是的中点.已知 ,,,.求: ( )三棱锥的体积; ( )异面直线与所成角的余弦值. [解] 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点二 【典例】 跟踪练习2 (1) (2) (3)②④ (4) (5) 考点三 【典例】 跟踪练习3 (1) (2) (3) 考点四 【典例】 ④ 跟踪练习4 (2)③④ (3) (4) (5) 考点五 【典例】 跟踪练习5 (1) (2) (3) (4)或 A组 考点能力演练【最新2026年版】 B组 高考题型专练【最新2026年版】 ①②④ 为与的交点 无数 ( );( ) $