第7讲正弦定理和余弦定理的应用复习讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦正弦定理和余弦定理应用，涵盖解三角形、面积计算、形状判定等核心考点，按基础知识、解题思路、考点突破、分层练习的逻辑架构知识体系，通过知识整合、典例精讲、方法总结、真题演练四个环节，帮助学生构建解题框架，突破已知两边及对角解的讨论等难点。 讲义采用问题驱动与模型建构教学法，如在三角形面积最值问题中，引导学生用基本不等式或三角函数建模求解，培养数学思维和运算能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，确保复习效率，为教师提供清晰的考点突破策略，助力把控复习节奏，提升学生应考能力。

书山有路勒为轻作亏 入一一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 第 讲 正弦定理知余弦定理的应用 YDZZZH 要点自主整合 【重点难点】 重点：正余弦定理及三角形面积公式。 雅点：在已和三角形的两边和其中一边对角的情况下解的对论. 【基础知识】【最新2026年版】 1正弦定理： a 6 =2R(其中R为△ABC外接圆的米泾). sinA sin B sinC a 【注】a=2 Rsin A,sinA= (边角转换要具备齐次的特证，谨慎处理) 2R 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+a2-2abcos C b2+c2-a2 cos A= CosB=+o2-b2 cosC= a2+b2-c2 2bc 2ac 2ab 3.三角形中的常见结论 〔1)有哭三角形内角的常用三角画数哭系式 A+B+C=π.sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；tan(A+B)=-tanC, sin (A+B 2 2 (2)在三角形中： 大边对大角，大角对大边；)任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边 (3)△ABC的面积公式 ①S=a-hh表泰a这上的毫，②S=1 absinC=acsnB=besim.4; 2 2 ③S=ab ,④8=2Ksim4 sin BsinC,⑤s-na+b+c): 1 4R ⑥S=R外(inA+sinB+sinC)=4R外肉 AB。 C cos-cos-cos 222 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勒为径作角亏 一一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 ⑦S=NP(p-ap-bp-c),其中P=(a+b+c)(海伦公式). S-I(@'+b-o)tanC-1(a'+o-b)anB-1(6+o-a)tanA: asin BsinCbsin Asinc'sin Asin B 2sin A 2sin B 2sin C -wg）-g-） @s=北a+bf-clhm=北a+ef-blhm9=b+ef-alm @=-6-l-a-8-a-c 302 围三角形面积的坐标公式 若a西=6).aC-6为).8-4CsnA=- 4 在 △ABC中 A>B台a>b台sinA>sinB台cosA<cosB台cos2A<cos2B, 4.解斜三角形的染型 解斜三角形的四种情况： )己知三边（符合基本的构成条件）三唯一解 (2)已知两角及一边三唯一解 (3)已知两边及夹角→唯一解 (4)已知两边及对角三解的情况复杂：可能无解，可能唯一，可能两解 情况一：已知三边（符合基本的构成条件） 解题方法：利用余弦定理可直接求出角的余弦，从而判新出角取唯一解。 情况二：已知两角及一边 解题方法：先求出第角（优先求出第三角的正弦），再利用正弦定理的性质，求出另外两边 情况三：已知两边及夹角 解题方法：利用余弦定理求出第三边，从而求出另外两角的余弦或正弦。 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作亏 入一一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 在△ABC中，已知a、b和A时解的情况如下： A为锐角 A为纯角蔬直角 图形 B A为锐角 A为钝角或直角 哭系式 a<bsin A a=bsinA bsinA<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5解题思路 ①边偏多，用余弦定理；角偏多，用正弦定理 ②在三角形中，边偏小，对角必为锐角 ③边角转换关系：a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C;a:b:c=sinA:sinB:sinC ④在三角形中求周长与面积最值问题，注注其形状为等腰或等边三角形 ⑤在三角形中，吴于角的应用需要考虑此角的正孩米表示面积与此角的余弦定理 ab≤ a+b ⑥求最值问题，需要考虑 2 (基本不等式问题) absa+b2 2 C ⑦a+b=2R:2co82smA+之 (a+2bmx=2RV2+22cosC+1(C为锐角) ⑧边角难题：茂需要考虑和差化积公式的应用 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勒为径作有亏 入一一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 sin a+sin B=2sin cosocos)+ofa-p sina.in/-kn(@+P)+sin(@- sin2a-sin2B=sin(a+B)sin(a-B) sin 30=3sin0-4sin30 cos 30=4cos3 0-3cos0 ⑨爪子型问题解决策略： 角平分线定理 已知D平分LBAC (1)SsxanDo SAACD ACDC (2)AD2-AAC-DBDC 【注】中方=上积下积 与底边“BC有关 (3)网8A0+4AC 【注】与角“L8AC有关，一般很少用 ① 中线长定理 已知①为BC的中点 ag-(m) 【注】与底边“BC有关 （2)和+0 【注】与角“上8AC有关： 与底边“8C”无关. 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勒为径亏 一一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 A 射影定理 a=bcosC+ccosB 6=a.cosC+ccosA c=acosB+6cosA B 三点共线一般情形 交叉原则 n→ AB+AC m+n m+九 【注】与角∠BAC有关 B 机 )】 张角定理 交又原则 B sica+B）sina sinB A① AG+A 【注】与爪字型的角有关 与底边“BC”无关 の C ⑩阿氏國的基本性质 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作亏 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 阿氏圆 若2A=入8（入>0且入≠1） 则点的轨迹为圆，其圆心在直线月B 上，但不在线段A⑧之间， A (1)半径R 1 入入 P B P2 PA PA （2)由 P8P8 ,时PP平分∠APB P1 PA 由 P82 ,对PP平分∠APB的外角；： (3)0A,08=R(0为圆的圆心)： (4)(S)m-R 【误区警东】 1.在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形问题时，可能出现一 解、两解或无解情况，应结会图形弃根据“三角形中大边对大角”来制解的情况，作出正 确取舍， 2.在判断三角形的形状时，一般特已和条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为 角角的关系或边边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形如因式分解、配方等)求解.运 意等式两边的公因式不要约掉，要移须提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能. 3.一般地，sina>sinB中a>B,但在△ABC中，sinA>sinB台A>B. SXFFJO 思想方法技巧 、 判断三角形形状的今法 根据所给条件确定三角形的形状，玉要有两条窥泛： ()化边为角；化角为边.具体有如下四种方法： ①通过正弦定理实拖边角转换； ②通过余弦定理实拖边角转换； ③通过三角变换找出角之间的关系； ④通过三角通数直符号的判断及正、余弦通数有界性的讨论； 注意：在△4BC中，b2+c2-a2>0曰A为锐角； 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作药亏 一一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 b2+c2-a2=0白A为直角；b2+c2-a2<0台A为钝角】 二、解题技巧 1.狂解斜三角形的问题中，有时所给问题在一个罗边形中，需将孕边形分割成三角形，有 时在同一个图形中有几个三角形，角解题时要先分析条件，特已知和特求量归结到一个可解的 三角形中，如果不能归到同一个三角形中，别应看诗求量需要在哪个三角形中解决，这个三 角形中的哪个量与已知条件所在的三角形共用，先解可解的三角形求出这个量或建安方程求 解。 2.在△ABC中，给定A、B的正弦或余弦度，则C的正弦或余弦有解即存在)的充要条件 是cosA+cosB>0. 简证如下：C有解白A+B有解白0<A<π-B<π白 cosA>cos(π-B)台c0sA>-c0SB台cosA+cosB>0.因此判折C是否有解，只领考 虑C0SA十C0SB的符号即可.了解这一结论，对做迷择题或填空题来说，将十分方便. 3.重点结论 t6=2r-2c0 sCsin(A+.a+b=2r2+22cosC+1tC为毙 4.非直角三角形△ABC中：tanA+tanB+tanC=tanA:tanB.tanC B 在任意的三角形中：cot+cot +co =cot C 2ot2(看第9讲)】 C 2 -cot 2 三、总的解题技巧(******)》 一小一大 解题思路： 两小 如图： 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 几书山有路勤为径作 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 ⑧ ① C 解题思路一：而小 特间题救在△ABD与△1CD中进行考虑 鼻体技巧一：从D出发，优先考虑余弦定理的应用，再考虑正弦定理的应用 晃棒教巧二：从/ADB与/ADC出发，优先考處余弦定理的应用，再考虑正弦定理的应用 晃体技巧三：从∠BD写∠CAD出发，优先秀虎余弦定理的应用，再考虎正弦定理的应用 解题思路二：一大一小 将问题放在小三角形△ABD与大三角形△ABC或小三角形△ACD与大三角形△ABC进行秀周 具体技巧一：在小三角形△BD与大三角形△C,优先考虎的余弦定理的应用，耳考虑正弦定理的应用 具体技巧二：在小三角形△ACD与大三角形△ABC,优先秀虑C的余弦定理的应用，再秀虑正弦定理的应用 【思考辨析】 判折下面结论是否正确猜在括号中打“√”或“X”) ()三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.() ()在△ABC中，若sinA>sinB,则A>B() (③)在△ABC的六个元素中，己知任意三个元素可求其他元素.()】 (4倒当b2+c2-a2>0时，△4BC为锐角三角形；当b2+c2-a2=0时，△ABC为直角三角 形；当b2+c2-a2<0时，三角形为钝角三角形.（) )在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( KTDLJL课堂典例讲练 考R 正弦定理的简单的应用 在三角形中，a一 b C a+b sinA+sinB+sinC=2R(R为外接宽米 a+b+c sinA sin B sinC sinA+sinB 泛) 【典的1】在单圆上有三京A,B,C,设△ABC三边长分别为4，b,C, b 2c sinA 2sin B sinC 【魏例】设A4BC的内角A,B,C朗对边分别为ab,c,若a00sB-bcos4+b +=1, acos B+bcos 4 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径4 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 刷4命题方向 跟踪练习① 在△4BC中，A=60°，a=6V3,b=12,SA4c=18V5,Q= a+b+c sin4+sin B+sin C 考点二 正弦定理之外接圆半羟的渗察 2 【典例】在△4BC中，a+b2=c2+二ab,若△4BC的外接圈半泛为 2 ,则△ABC 3 2 的面积的最大值为 【典例2】在△ABC中，已知asin A-csin C=(a-b)sinB,△ABC外接圆的半泛为 2. 对C= 【典例3】在△ABC中，m=(sinA,cosC),n=(cosB,sinA),且m·n=sinB+sinC,若 》命题方向 △ABC外接圆的半羟为1，求△ABC的周长的取值范围 跟踪练习2 在锐角三角形△ABC中，A=60°，若O是△ABC外接圆的园心， 且CosB AB+CosC AC=mAO,时实数m= sinC sinB 考京三 三角形面积问题 【典例1】在等边三角形△ABC的三边上容取一点D,E,F,满足DE=3,DF=2V3, ∠DEF=90°刚三角形△ABC的面积的最大值是() A.75 B.13V5 c73 D13V3 3 3 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟 几人书山有路为作希亏 入一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 解]如图， 为DE=3,DF=2√5，则EF=V12-9=V5,可海∠DFE=60°， 由∠ADF+∠AFD=120°，∠CFE+∠AFD=120°，则∠ADF=∠CFE, 文C=A=60°，△CEF∽A4FD,xCF_CE=EF_1.RCF=x AD AF DF 2 CE=y 则AD=2x 1 在△CEF中，由余弦定理可得，3=x2+y2一2y AF=2y 3y2 x-=3cos0 2 x=sin+3cos0 =3， 所以 2 4 3y=V3sine y=2sin0 w+2=5sm04co0-27sm0+pjs27,gmp号p到 *瓦楼0+=时系，际以5-5k+2y675数是：A 2 4 【典例2】在A4BC中，内角A,B,C所对的边分别是ab,c.若c2=(a-b)+6,C= 3 对△ABC的面积是 【典例3】在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为3V15, 1 b-c=2,cosA=-,则a= 4 跟踪练习③ (1)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，a=2,且 (2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,对△ABC面积的最大值为 (2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C.若△ABC的面积为 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤考泛，学海无涯苦作舟