第8讲 构造常数数列的解题技巧 讲义-2026届高三数学一轮复习

冲刺清北数学 第 8 讲 构造常数数列的解题技巧 。。 YDZZZH 要点自主整合 非零常数列身兼等差数列和等比数列两大特性，但由于是由一系列的同一个常数构成，简单 明了，因此常常不被人们重视事实上，把常数列的性质当作一种解题工具，则会大开眼界， 妙趣横生在一些求数列通项的题目中若能适时构造常数数列，则可避免复杂的累加、累成 或迭代等过程，从而使求数列的通项公式一步到位因此，在解决相关问题时，常有事半功 倍之效果。 常见形式 (1)若an1=an(n∈N+),则数列{an}为常数列 (2)若f(an)=f(an)(n∈N),，则数列{f(an)}为常数列. 具体构造形式 【构造形式之一和】 若an+f(n+1)=an+f(n),则数列{an+f(n)}为常数列. 【变式】若a1+f(n+2)=am+f(n) a+f (n+2)+f(n+1)=a,+f(n+1)+f (n) 则数列{an+f(n+1)+f(n)}为常数列. 【构造形式之二差】 若an+1-f(n+1)=an-f(n),则数列{an-f(n)}为常数列. 【变式】若a+1-f(n+2)=an-f(m) 则a1-f(n+2)-f(n+1)=a。-f(n+1)-f(n) 则数列{a。-f(n+1)-f(n)》为常数列. 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 人希与】 冲刺清北数学 【构造形式之三积】 若f(n+l)a1=f(n)an，则数列{f(n)小an}为常数列. 【变式着时2力a1=f(m)小a, f(n+2).f(n+1).a=f(n+1).f(n).a 则数列{f(n+1)f(n)an}为常数列： 【构造形式之四商】 若01 an一，则数列 an 为常数列。 f(n+1)f(n) f(n) 【变式】若。aH =an f(n+2)f(n) 则 an a f(n+2):f(n+1)f(n+1)f(n) 则数列 为常数列 f(n+1).f(n) 【注】每一条推广中的凑项犯法：取f(n+2)与f()的“中间项”f(n+1)取分别加、减、 乘、除 比如： an+1 a,,如何变常数列呢？只要两边分母同乘，f(n+2)f(n+)即可 f(n+3)f(n) 出现常数列。 即： an+l a f(n+3)f(n+2)f(n+1)f(n+2)f(n+1)f(n) a 则： 为常数列。 f(n+2)f(n+1)f(n) SXFFJO 思想方法技巧 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 解题技巧一 an-an-1=d 》命题方向 解题思路：a。+元m三Q,-1+元(n-1) 注意项的角标与”n" 则{a。+元n为常数列. 的变化一致 跟踪练习① 【例题】己知a1=1,an-an-1=2(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 解趣技二 an qan- 解题思路： an=an-1 g" 9 注意项的角标与 "n" 命题方向 的变化一致 则 为常数列 【变式】an-qam-1=d 解题思路【1小： an+1-a-1+2 9 97 则 为常数列 解题思路【2】：an+入=q(am-1+入) 则{a,+为等比数列. 跟踪练习② 【例题1】a1=1,an=2an-(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 【例题2】a1=1,an=2am-1+1(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 解题技巧三 anan-1=An +B 解题思路：an+元n2+μn=am-1+2(n-1)2+(n-1) 由一次构造二次形式 书山有路勤動为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 则{a。+元n2+un为常数列. 跟踪练习③ 【例0题方响a1=n(n之2)，则a,= 构造常数列方法) 解题技巧四 an-qan=An +B 解题思路【1小：an+元n+4=qa-1+入(n-1)+4,则{an+元n+u为等比数列. 解题思路【20，+n+L_a+n-)+L,则0，+n+业 97 为常数列。 》命题方向9” 跟踪练习4 【例题】a1=1,an-2am-1=n-1(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 解题技巧五 0m-am-1=A·99 解题思路：a,+元g”=a+元g,则a,+元g}为常数列. 跟踪练习5· 命题方向 【例题】a=1,a。-a-1=3:2"(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 解题技巧六 0n-90m-1=A·9" 指数的底数"q”与”am”的系 解题思路【1小： a_a=A,则 为等差数列 g" 9 数"q”一致 解题思略产n=片+(n-),则 为常数列 跟踪练习6 【例题】a1=1,a。-2am-1=3.2"(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 指鼓的底数"9'与”a”的系数"p"不一致 解题技巧七 am-pam-l=A·q" 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 解题思路【1小：an+元·g”=p(a-1+元·g”-),则{an+元·g"}为等比数列. 解题思路【】0+入9-8+入g,则0，+入g D-T 为常数列. (p” 跟踪练习⑦ 《命题方向 【例题】a,=1,an-2an1=5·3"(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 该方法可用于求等差乘等比求和 解题技巧八 anan=(An +B)g" 解题思路：an+(2n+)g”=a-1+[2(n-1)+小g-,则an+(2n+μ)g”}为常数列 跟踪练习8 【例题】题方阿 am-1=(3n-2)2"(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 解题技巧九 am-p·an-1=(An+B)g 解题思路【1小：an+(2n+)g“=p:{a-1+2(n-1)+小g”-}, 则a+(2n+μ)·g"为等比数列 解题路哥击n+)g-a+An-+小g,则 an+(an+u).g" D- 常数列。 跟踪练习⑨ 【例题1】a1=1,am-2an-1=(3n-2):2"(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 【例题2】a1=1,an-3am-1=(3n-2):2"(n≥2)，则an= 构造常数列方法) 要注意角标与”n”的变化 一致 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作云 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 解题技巧十 ans=aa (n+)a=na n+1n、 【变式题型】0出=，构造， an+l an n+2 n (n+2)(n+1)(n+1)m 则 an 为常数列. (n+1)n 【变式题型2】(n+2)a+1=na,构造(n+2)(n+1)an+1=(n+l)nam 则{(n+1)nan}为常数列， 跟踪练习10 【例题】a=1,a4=2+a,则a,- 构造常数列方法) n 【例题2】a1=1，a1 _2nam,则an= 构造常数列方法) n+1 【例题3】a1=1,an+1 2n+2)an,则an= 构造常数列方法) n 【例题4】a1=1，a+1= 2nan,则an= (构造常数列方法) n+2 解题技巧十一 am+1=Ag"·an(A≠0) 解题思路【1： a,=A. an-l an 9n2+伽 为等比数列。 解题思路【2】： an 》命题为·A”g=*a-),’ 为常数列. 跟踪练习11 【例题】a=1,a41=3:2”a,则an= 构造常数列方法) KTGGXⅪ课堂巩固训练 1.a1=2,nam+1=(n+1)an+2,则an= 构造常数列方法) 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 人业壁餐希写 冲刺清北数学 1 2n-3 2a=3’a.= 构造常数列方法) 2n+1 an-(n≥2)，则an= 1 3 a=1,amm=a,-m(n+D) 则an= 构造常数列方法) 4a1=1,a+1=2”an,则an= 构造常数列方法) 4=1,4=2,a=a,2+a:A=十合S是数列6前m项和注明： ,+1= an+12 【总结】在实际解题中，应用要根据实际情况或自身熟悉的方法 掌握程度，取选择最佳方法：累加法、累乘法、变常数列不能 一味地追求变常数列常数列本身确实非常简单明了，但其中所 蕴含的数学思想方法转化与划归的思想、方程思想、待定系数 法等，对我们研究数列却有极大的帮助. 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟