第7讲数列放缩技巧赏析复习讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦数列放缩这一核心考点，覆盖高考非压轴要求下的六大解题策略，按“先求和再放缩”“通项裂项放缩”等逻辑层次组织知识点，通过考点梳理、方法归纳、真题典例精讲等环节，帮助学生构建系统解题框架，突破放缩技巧难点。 资料以策略分层和典例驱动为特色，如在裂项放缩教学中，引导学生用数学思维分析通项结构，提炼常见放缩模型，用数学语言规范证明步骤。设置基础应用、综合证明等分层练习，配合即时方法总结，高效培养学生的逻辑推理与运算能力，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

书山有路勤为径+。三 “学海无涯苦作舟 冲制清北数学 第7讲 数列敖缩技巧赏折 数列放缩的解决技巧在先课改之前难度系数比较大，加上教学老师设有系统的归纳，市面 上对这块具有系 做题遇到类以自 步把学生梳理、归驯、尼结奇奇，新佛叹后数双循明秀常雁度闲J日王卵现外具东画家 统一命题的省市，加上高考在数列板块的考察要求下方，或者数列放缩根本不涉及，或者 只是涉及简单的放缩类型.本讲宝要是解决高考非压轴要求下的数列放缩技巧，若是想掌握 更加高难度的解快技巧，或者想进一步数列放缩的康层逻辑可以参考《系列二数列压轴》 这本书，里面对于数列的放缩技巧，放缩精度等进行了较系统的分析，若是想掌握有关数 列之外的类型，可以参考《系列一导数》这本书，里面有一讲针对导数与数列相结合的题 型进行更加系统的归纳，当然与纯粹考察数列放缩还是有一定的区别，下面我们详细阐述 高考数列非压轴类型的解决技巧 策略一：先求和再放缩 先术和后再放缩这类题型在日常考察或者高考非压轴类型的考察中属于常见题目，难度 弃不大，掌握基本的放缩类型与要求就可以解决 已知正玩默a,}的首项4=l,前刀项和S足0，=VS,+VS(n≥2) 【典例】 （1)求数列an}的题项公式： 1 (Ⅱ)记数列a,a1J的前n项和了。，若对任意的n∈N,不等式47，<a-0恒成， 求实数☑的取值范围 降1(1)由已知0，=+Sn22,为S,-S=.+S.n≥2， 车V-V=1≥2)，文S=1,数到同以1为前，1药公防华装版利 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 两风。=刀，鼓S。= 当n≥2时，0，=S-S=21-1,当n=1时，4=l满是上式，款0，=2n-1 ,s,7d.动 1 4x-≤a2-a 由对任意的neW',不等式47。<a-0恒成豆，则2 ,解得a≤-1或a≥2， 即a∈(-o0,-U[2,+o 【典历】已知考比数到a,}(n∈N')为送增数列，且a,'=a,5a,=24,+2a （1)求数列am}的通项公式： b=4n-2 tI)设”a,(neN),数列b的前n项和T,证明：S<6 1 41= 2 a,g2}=a9 1 41=2 9÷ 懈1(1)由题意5ag=2a9+2a,g,辉海92载l9=2 a1-2 (Ⅱ)由(I)可得 x+n+2=+a-+” 为---+4-a+ag=i2- 得n-2元+1=4n-2,数=4，=6，可得数列 ++ 为常数列， 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泾，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作 一学海无涯苦作舟 冲制清北数学 五+1a+d=7+4+6-6.=6-*66-2- 满3得0=62g<6 策略二：将通项放缩成裂项相消的结构再求和 将通项放缩需要对常见类型的放缩形式具有一定的积累，对学生来说有一定挑 战，是数列爱高考非压轴考察下的难点，下面将具体介绍两种形式，第一种：将 通项放缩为可裂项相消的结构形式；第二种：将通项放缩为等比结构或者等差 与等比混合型结构形再错位相减求和， 常见类型： 1 111 （)n2川n+lnn+l. 11-11 1-4<,4=21，,1】 n=4n4n2-11气2n-12n+1 2” 2" 2m- 11 2-2-2-习2-2-可2可2-可n≥2，. 3” 3 311(11 w6r-6-13-3-3-可233n≥2， 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泛，学海无涯苦作舟 k2 书山有路勤为径作 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 1 2 1 (n≥2)； t)当a>b时，a-b=(a-bja+a-2h+a-b2+ab-2+b->a-bl-a, 可是简单的记为保大不保小，具体放缩精度参考本讲的等比类的放缩技巧， 【典倒3】在如图所示的平面四边形ABCD中，△ABD的面积是△CBD面积的两倍，又 数两a0足4=2，当a≥2时，0=a+2厨+a,-2r0C,南么经是 （1)东数列b的通项公式 111 .15 63下 4 A B B ① C 解如图，过点A作AM⊥BD于点M,过点C作CN⊥BD于点N,连接AC交BD AM AE SD AMI=AE=2 于虎E,可8 MME△CNE,数CNBG,由题克.SACMCNEC BE=1BA+2BC 从而 3 3 ,又B,E,D三点共线， BD=a+2"BA+a,-2"BC 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泾，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作亏 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 1 n1+2n-1 -31 an-2n 22 论 3，即0.-2”=2a1+2”,即0.=201+2 数是器2 (n之2)，即b,-b1=2（n之2)，则数列b,是以1为首项，公差 d=2的奇差数列，数b,=2n-1 11 (Ⅲ)由11)可得，6，(2n-1 2回r西-副 1 1 b n-1n厂4n4 12 2 【典伪月设数列0的前n项和S,已知4=l, 2Sm二0n13 n-n- 3,n∈N （1)求数列am}的通项公式 1+1 (Ⅱ)对一切正数n,有44,4,4 、n 解](I)由题意可得， 28,=m--子刘 3① _.25-fn-Ile.-jto-IP-(n-IP-la-W （n22), 由②①得： 2a,=nm-n-la,33m2-3n+-2n-1刂-号 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泛，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作写 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 antlan=1 整理得n+la。=na1-mn+l(n≥2)，即n+1n(n≥2)， a2-4=1amH-a=1 an 由4=1，可得4，=4，即21，则n+1n,故数列nJ是以1为首项，1 an=n 为公菱的等差数列，则n”,即4，=n 1+1-5,7 （)岁n=1时，44，省n=2时，4a,44, 11111 L 省n≥3时.a,7nn-可n-1刀，此时 女+g61 a1a2a,4(2334 综上：对一切正整数n,有40,4n4 en,就 1=1< 7 法2：当n=1时，4 +女女-g-六训 则4a2 1+L++ 17 综上：对一切正壁数n,有aa2a,4 06, 女6g+ 则4a2an 【典例】已知数列a}潘足4，=1,01=30，+1 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泛，学海无涯苦作舟 书山有路勒为径作 ”一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 1 a+ (I)证明( 2是等比数列，养求a的遇须公式： 11 ,13 (Ⅱ)证明：424n2 1 ,1 阳101更电01=30，+1，时0 +2a+ ), 1_3+0 a1 22 1 3 13 3”-1 n+ 则数列 2是以2为管项，3为公比的等比数列故 22 3=3” 2, 2 (Ⅱ)由(1)可得，a。 c>0,neN*), ，， -sex3( c a az - 对 3 ,令22，解得C=3, L=2 下面证明：当n∈N”时，a,3”-1 恒成安 11211-3- 由0,33”-1333°-可 11 岁h∈N*131≤0，则23可三0是<、 ，即0n3- .与ne2N时，03”-1下3， 1 1 (3 3 恒成安 策略三：数列恒成安与数列不等式 此列问题宝要采用参变分离的解快技巧 n=2"-2-1 1 【典例6】已知数列a的前n须和S,满且8 8 (I)求a的通项公式； an+l 免也a,4,教列5的前项和T, 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泾，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径大三 一，学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 221-1T<元+a,对任意n∈N恒成立，求实数九的取值范围. 解（1由题意82了 8,则Sn=21-2 当n≥2时，4，=S。-S=2”,当n=1时，4=2满足上式，故2. (Ⅱ)由 (I) 可 得 2+1 11 6a,-id-可2-i2n-可-22-2-i 则=，电0收4，则2”-644. 即元>2”-4+8，当n=2时，-2-4+8取得最大值8，故∈8，+0. 策略四：利用数列单调性证明数列不等式 【典例7】已知数列a,的前n项和S,满且30。=2Sn+2m,neN (1)证明：数列a,+2是等比数列，莽东a的通项公式 ,=log,0+2 (Ⅱ)设 2,征明： ++安+城+ 解7(I)由题意3a,=2S,+2川)，当n22时，3a1=25+2n-2 两式相减可得，am=3a-+2,所以0，+2=3引01+2)（n≥2)。4=4，又 a1+2=6 则数列a,+2是以6为首项，3为公比的等比数列，数0，+2=6×3=23” 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泛，学海无涯苦作舟 k2 书山有路勤为径作 、“学海无涯苦作舟 冲制清北数学 对0n=23”-2 b,=log,9,+2=m (Ⅱ)由(I)可得， 2 8-2 b2+ - b2n+3 Cn+l 2n+2 4n2+8n+4 =1V4n2+8n+3 >1 V√b2n+3 V2n+1√2n+3 则数列Cn}是单增数列，故 ++> 策略五：利用前预和的性质构造导数不等式 此类问题玉要是在导数背景下进行考察，本质是想据上一问的结论来解决该问题，这里只 是简单的介绍解题恩路写方法，具体参考《系列一导数》 a> 要证： ,判断数列}与数列b,的通项公式的大小关系，即分 别把n与D看作晒数，采用构造新通数的思想进行判断， 【典例】已知数列fx=xer-e （1)当a=1时，对论fx的单调性。 （I)当x>0时，fx<-1,求a的取值驼国： 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泛，学海无涯苦作舟 k会 书山有路勤为径亏 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 1 =In(n+1) (Ⅲ)设n∈N时，延明：V+1V22+2 n2+n 僻t1)省a=l时，f八d=e-e则f八)=xe, 者x∈(-o,0)时，fd<0,若时，fx>0x∈0，+0，数f八x在仁o,0)上单藏，在 (0,+0)上单增. tm)由己知可得f1=(acr+e"-e,f0)=0,f"x)=a2x+2ajer-e. f"0)=2a-1 =1-1a0-2-1s0,kg0号 ,改五0，+上，对2国<g0=1. 故f八x<-1,符合题意， 1 a>- 当4>2时.f"0)=2a-1>0存在6>0，史得x∈(0，e到时.f八>0 则八)在0，E)上增，数八>f0)=-1,不符合题意，合者上 uc-ag 1 an=1 (Ⅲ)分析思路：不等式左边的通项公式比较容易的准确，设为 a n2+n 不香式有这的结构影式养不翼”项和的形式，看作是尉n项和化装眉的形式，双考数为b,}的胸几须和 对b,=nln+l-n之2)，雪n=1时，6=lh2满定上式，款b,=lnn+l-hn, 】>nn+l-nn 下面问题转1化为证明：√n己+n √mn+l 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为泾，学海无涯苦作舟