精品解析：云南省曲靖市罗平县第二中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

数学（一）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙两名选手在射击训练中各射击5次，成绩（单位：环）如下： 甲 7 8 9 8 8 乙 10 6 7 10 7 记甲、乙的平均成绩和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，准线为，直线经过焦点，且与相交于两点，分别过作的垂线，垂足分别为，设的中点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 在中，上一点，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 10. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为和，以为圆心作圆与和相切，切点分别为，直线交于点为坐标原点，若为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. C. 双曲线的离心率为2 D. 11. 在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能是 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列满足，则______． 13. 已知是定义在上的偶函数，其图象的一条对称轴为直线，当时，，则______． 14. 袋中有3个大小、质地相同的球，分别标有数字1，2，3，从中随机抽取3次，每次取1个球，规则如下：第一次若抽到1号球，则不放回，否则放回；第二次若抽到2号球，则不放回，否则放回.则第三次抽到3号球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车渗透率统计如下： 2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表 月份 1 2 3 4 5 6 渗透率 41.4 49.4 51.1 51.5 53.0 53.3 （1）2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）． （2）根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率． （3）实际7月新能源汽车的渗透率为，请： ①结合预测值分析误差原因； ②提出改进模型的建议. （参考数据及公式：，．） 16. 已知椭圆的离心率为，经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 17. 如图1，四边形为菱形，，将沿折起． （1）如图2，当点与点重合时，且，记以为直径球为球，求平面截球的截面圆的半径； （2）如图3，当点与点重合时，且，求平面与平面夹角的余弦值． 18 已知函数． （1）若函数存在三个零点，证明：； （2）当时，过点可作函数图象的三条切线，求满足的条件． 19. 设等差数列的每一项均为正整数，公差大于零，记为数列的前项和． （1）已知． ①求数列的通项公式； ②若是数列项，由所有的组成的数列为，且，记数列的前项和为，求． （2）设，且，写出一个数列的公差． （3）若等差数列中有一项为完全平方数，证明：中存在无穷项完全平方数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（一）试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合复数的四则运算分析求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合A对应的范围，再结合交集定义即可求解． 【详解】由题可知，故． 故选：D． 3. 甲、乙两名选手在射击训练中各射击5次，成绩（单位：环）如下： 甲 7 8 9 8 8 乙 10 6 7 10 7 记甲、乙的平均成绩和方差分别为，和，，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，和，，即可求解. 【详解】因为，则， 又， ，则， 故选：A． 4. 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则， 则，即，解得， 则是成立的充要条件， 是成立的必要不充分条件， 是成立的充分不必要条件， 是成立的既不充分也不必要条件. 故选：B． 5. 若函数的图象的一个对称中心的横坐标为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得的表达式，赋值即可得答案. 【详解】由函数的性质知， 其图象的对称中心的横坐标满足， 因为点是函数图象的一个对称中心， 所以， 又，故当时，， 所以的最小值为， 故选：C． 6. 设抛物线的焦点为，准线为，直线经过焦点，且与相交于两点，分别过作的垂线，垂足分别为，设的中点为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，准线，，联立得到，结合条件得，再利用两点间距离公式求解即可． 【详解】直线过焦点，则，故抛物线的方程为，准线， 设， 联立方程 消去得， 故， 由题设知的纵坐标与中点纵坐标相等，且在准线上，而， 故，所以， 故选：C． 7. 在中，为上一点，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得到，通过平方即可求解. 【详解】解：因为，，， 所以， 故， 所以， 即 故， 故选：D． 8. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】同构变形得到，设，故，构造函数得到在上恒成立，故只需在区间上单调递增，求导，得到当时，在区间上恒成立，从而得到答案. 【详解】不等式可化为，设， 则不等式满足， 设，，则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，所以上恒成立， 故要不等式解集为， 只需区间上单调递增，而， ，故，即，其中，， 故当时，在区间上恒成立， 所以实数的取值范围为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直三棱柱的结构特征，结合线面平行的判定、线面垂直的判定和性质、面面垂直的判定逐一判断即得. 【详解】对于A，在直三棱柱中，由，得为的中点，为的中点， 则，又平面平面，则平面，A正确； 对于B，由，，平面， 得平面，又平面，则平面平面，B正确； 对于C，当时，与不垂直，此时与平面不垂直，C错误； 对于D，，四边形为正方形，则，由平面， 得，而平面，则平面， 又平面，因此，D正确. 故选：ABD 10. 已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为和，以为圆心作圆与和相切，切点分别为，直线交于点为坐标原点，若为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 圆的半径为 B. C. 双曲线的离心率为2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离求圆的半径判断选项A；由为线段的中点，且，可求得，，，所以，求出和离心率判断B，C选项；结合投影求出判断D选项． 【详解】设焦点，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离， 所以圆的半径等于焦点到渐近线的距离，A选项错误； 因为为线段的中点，且， 故，又，，， 所以，故， 中，，，则，所以， 故，双曲线离心率，B，C选项正确； 因为在上的投影为，所以， 又，故D正确． 故选：BCD． 11. 在中，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值可能是 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简已知等式，结合正弦函数性质、积化和差、二倍角的余弦公式及正弦定理逐一判断即得. 【详解】对于A，在中，因， 代入可得 即，因，于是，即，故A正确； 对于B，，则，代入，得， 于是，则，解得, 因，则，则得，故，， ，由，可得， 又，因此，故B错误； 对于C，因，则，因此，故C正确； 对于D，由正弦定理得，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列满足，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知求出等比数列的公比，再根据即可求出结果. 【详解】因为为等比数列，则， 所以，则． 故答案为： 13. 已知是定义在上的偶函数，其图象的一条对称轴为直线，当时，，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先根据偶函数求出 的值，再根据对称轴来推周期，最后利用周期来求解即可. 【详解】因为是偶函数，当时，有，故，所以． 故当时，． 又的图象关于直线对称，则，所以， 则是周期为2的周期函数，故． 故答案为： . 14. 袋中有3个大小、质地相同的球，分别标有数字1，2，3，从中随机抽取3次，每次取1个球，规则如下：第一次若抽到1号球，则不放回，否则放回；第二次若抽到2号球，则不放回，否则放回.则第三次抽到3号球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第一次和第二次的取球情况，进行分类讨论第三次抽到3号球的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解. 【详解】（1）第一次抽到1号球（概率为），不放回，剩下球2，3， ①第二次抽到2号球（概率为），不放回，则第三次抽到3号球的概率为1； ②第二次抽到3号球（概率为），放回，则第三次抽到3号球的概率为． 则第三次抽到3号球的概率为； （2）第一次抽到2或3号球（概率为），放回，球仍为， ①第二次抽到1或3号球（概率为），放回，则第三次抽到3号球的概率为； ②第二次抽到2号球（概率为），不放回，则第三次抽到3号球的概率为． 则第三次抽到3号球的概率为； 所以第三次抽到3号球的总概率为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据统计数据和研究报告，2025年中国新能源汽车产销呈现强劲增长态势，渗透率（渗透率=新能源汽车销量÷当月汽车总销量）持续攀升，行业格局加速分化．2025年3月新能源汽车渗透率首次超过，2025年1月至6月，全国新能源汽车的渗透率统计如下： 2025年1月至6月新能源汽车渗透率统计表 月份 1 2 3 4 5 6 渗透率 41.4 49.4 51.1 51.5 53.0 53.3 （1）2025年6月全国汽车销量为208.4万辆，计算该月新能源汽车的销量（精确到0.1）． （2）根据以上数据，建立y关于月份x的经验回归方程，并预测2025年7月新能源汽车的渗透率． （3）实际7月新能源汽车的渗透率为，请： ①结合预测值分析误差原因； ②提出改进模型的建议. （参考数据及公式：，．） 【答案】（1）111.1万辆 （2）， （3）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用新能源汽车销量汽车总销量渗透率，即可求解； （2）先计算出，结合条件，可求出，即可求解； （3）①结合（2）中结果和实际情况，即可作出判断；②根据实际情况，即可提出建议. 【小问1详解】 因为新能源汽车销量汽车总销量渗透率，则（万辆）， 所以2025年6月新能源汽车的销量约为111.1万辆． 【小问2详解】 因为， 又，所以， 所以回归方程为， 令，则， 所以7月新能源汽车的渗透率的估计值为． 【小问3详解】 ①估计值与实际值的绝对误差为，估计值偏高， 产生误差的原因是：模型局限性；渗透率超过后，增长自然放缓； 线性模型假设“增速永远不变”，但实际增长会先快后慢． ②改进建议：用非线性模型替代线性回归模型（例：，逻辑函数模型等）； 用减速增长模型，体现“先快后慢”规律． 16. 已知椭圆的离心率为，经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为的右顶点，过点的直线交于两点，若为的中点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件及即可求解； （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及为的中点即可求出斜率，进而求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出三角形的高，即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由题知，由，则， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在， 设的方程为， 由消去得，， 因为为的中点，所以，解得， 从而，的方程为， 所以， 而，所以点到直线的距离， 所以的面积． 17. 如图1，四边形为菱形，，将沿折起． （1）如图2，当点与点重合时，且，记以为直径的球为球，求平面截球的截面圆的半径； （2）如图3，当点与点重合时，且，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为等边三角形的中心，则平面，的中点为球心，截面圆的直径为，求出长度可得截面圆的半径； （2）取的中点为，建立空间直角坐标系，为二面角的平面角，利用已知条件求出点坐标，向量法求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 菱形，，则和都是等边三角形， 如图2，因为，由已知得，所以三棱锥为所有棱长均为2的正三棱锥， 设为等边三角形的中心，连接，则平面，设的中点为，则为球的球心， 连接，取的中点，连接，则，所以平面， 所以为球心到截面圆的距离，故为截面圆的圆心，且截面圆经过点，， 所以截面圆的直径为，由已知得，所以截面圆的半径为． 小问2详解】 如图3，取的中点为，连接，由条件知，所以平面， 由于是平面与平面的交线，所以为二面角的平面角． 过点作平面的垂线为轴，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图2所示空间直角坐标系． 则，设，则， 由已知得，所以，从而，解得． 又，所以，解得，所以点， 所以， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知函数． （1）若函数存在三个零点，证明：； （2）当时，过点可作函数图象的三条切线，求满足的条件． 【答案】（1）证明见解析 （2）且 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则易得，，进而求证即可； （2）设过点的切线的切点为，根据导数的几何意义可得方程有3个不同的解，设，可得存在3个零点，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 证明：若函数存在三个零点， 则， 所以 ， 所以， 同理， 则 ， 所以． 【小问2详解】 当时，则， 设过点的切线的切点为， 由，则斜率，所以切线方程为， 切线经过点，则，整理得， 由已知过点可作三条切线，则方程有3个不同的解， 设，则存在3个零点， 又， 当时，，函数在区间上单调递增，不存在3个零点； 当时，令，得或，令，得， 函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值点为0，极小值点为，要使存在3个零点， 即要，即，所以； 当时，令，得或，令，得， 函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为0，要使存在3个零点， 即要，即，所以． 综上所述，当且时，过点可作函数图象的三条切线． 19. 设等差数列的每一项均为正整数，公差大于零，记为数列的前项和． （1）已知． ①求数列的通项公式； ②若是数列的项，由所有的组成的数列为，且，记数列的前项和为，求． （2）设，且，写出一个数列的公差． （3）若等差数列中有一项为完全平方数，证明：中存在无穷项完全平方数． 【答案】（1）①；② （2）24（答案不唯一） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式求出，再利用等差数列的通项公式即可求出①；②分情况讨论即可求解； （2）满足等差数列的连续三项都为正整数的平方，为一组勾股数即可； （3）构造数列的子数列，再利用通项公式进行分析即可. 【小问1详解】 设数列的公差为，因为， 则，解得， ①所以数列通项公式为. ②若是数列的项，则，故， 若，则满足题意，所以， 若，则满足题意，所以． 故数列为，则数列的通项公式为， 当为偶数时，设，此时数列的前项和 ， 当为奇数时，设，此时数列的前项和 ． 综上，数列的前项和. 【小问2详解】 设等差数列的连续三项分别为， 要这三个数都为正整数的平方，可设，则，只需， 所以满足为一组勾股数即可． 当分别为时，，所以公差为24． （答案不唯一，满足条件的数列还有，公差为，公差为28560等） 【小问3详解】 设，构造数列子数列， 所以，则， 要为完全平方数，令，则 ， 所以恒为完全平方数， 由于为关于的单调递增函数，可以取无穷个正整数， 则可得无穷个正整数，使得为无穷个完全平方数． 即中存在无穷项完全平方数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $