第13章 三角形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 云南专版）

第十三章综合评价 (时间：120分钟满分：100分)》 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题 2分，共30分) 1.在△ABC中，BC边的对角是 A.∠A B.∠B C.∠C D.无法确定 2.下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是 弥 B 3.下列结构不是利用三角形的稳定性的是 A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.伸缩门 D.矩形门框的斜拉条 4.木工师傅要做一个三角形木架，现有两根木条的长度分别为 13和8，则第三根木条的长度可以是 ( ) A.5 B.18 C.21 D.23 0 5.请同学们认真观察，图中三角形的个数为 A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 封 (第5题图) (第6题图) (第8题图) 会 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.那么图 中与∠A相等的角是 ( ) A.∠B B.∠ACD C.∠BCD D.∠BDC 线 7.已知△ABC的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 8.马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可 以合拢，方便携带.如图，已知∠COD=70°，∠ABE=130°，则 ∠A的度数为 ( ) A.50 B.60° C.70 D.80 9.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠BFD的度数为( A.59 B.60° C.56° D.22 第1页（共6页） (第9题图) (第11题图) (第12题图) 10.小米画了一个有两条边长分别为3和5的等腰三角形，则这 个等腰三角形的周长为 ) A.11 B.13 C.8 D.11或13 11.如图，△ABC的角平分线BD与中线CE相交于点O.有下列 两个结论：①BO是△CBE的角平分线；②CO是△CBD的中 线.下列说法正确的是 A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确 12.如图，在锐角三角形ABC中，CD,BE分别是边AB,AC上 的高，且CD,BE相交于点P.若∠A=50°，则∠BPC的度数 是 ( A.509 B.90 C.100 D.1309 13.将一副直角三角尺按如图所示方式放置，使含30°角的三角尺 的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1 的度数为 A.45 B.65° C.70 D.75 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O, A,B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点 C,使△ABC的面积为3，则这样的点C共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 15.如图，点O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°， 则∠BOC的度数为 ( A.95 B.120° C.1359 D.无法确定 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16.如图，在△ABC中，∠A=35°，∠C=60°，BD 平分∠ABC,DE∥BC交AB于点E,则 ∠BDC= 17.如图，直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B, AM⊥b,垂足为M.若∠1=58°，则∠2的度数为 第2页（共6页） /B M (第17题图)（第18题图）（第19题图）》 18.如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是AC的中点. 已知△DEC的面积是4cm2,则△ABC的面积是cm2. 19.在△ABC中，将∠B,∠C按如图所示的方式折叠，点B,C均 落于边BC上一点G处，线段MN,EF为折痕.若∠A=82°， 则∠MGE的度数为· 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.(6分)在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求 △ABC的各内角的度数. 21.(6分)如图，在△ABC中. (1)画出边BC上的高AD和中线AE; (2)若∠B=40°，∠ACB=120°，求∠BAD和∠CAD的度数， 22.(6分)如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南 偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°方向，求∠C的度数. 第3页（共6页） 23.(8分)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将下面的解题 过程补充完整， 试题：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，AP平 分∠BAC交BC于点P,BN⊥AP于点M,交AC于点N,求 ∠CBN的度数. 解：根据三角形的内角和定理可知： ∠ABC+∠ACB+∠BAC= 又.'∠BAC=60°，∠ACB=40°， .∠ABC= BN⊥AP,.∠AMB=90. 又.'AP平分∠BAC, ∴.∠BAP= ∠BAC= ∴.∠ABM=90°-∠BAP= .∠CBN=∠ _-∠ 24.(8分)已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足(b一2)2十 |c-3|=0,且a为方程|x-4|=2的解，求△ABC的周长，并 判断△ABC的形状. 25.(8分)如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A=70° (1)求∠ABD的度数； (2)若CE平分∠ACB,交BD于点E,∠BEC=118°，求 ∠ABC的度数. 第4页（共6页） 26.(8分)已知直线PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在直 线MN与PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C=45°，设 ∠CBQ=∠a,∠CAN=∠B. (1)如图①，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点 D,求证：∠=∠a+45°. 请将下列推理过程补充完整： 证明：.∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义）， ∴.∠CDQ=∠a+∠C( .PQ∥MN(已知)， ∴.∠CDQ=∠3( ∴.∠β= ∠C=45(已知)， ∴.∠B=∠a+45°； (2)如图②，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于 点F,请判断∠α与∠3的数量关系，并说明理由. DB以Q 名师测 图② 27.（12分)综合实践 【知识发现】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯(Thales)最 早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发 现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明.之后古希 腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基 于平行线性质的不同的证明.其中欧几里得利用平行线和延 长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学们帮助 欧几里得将证明过程补充完整， 第5页（共6页） (1)已知：如图①，在△ABC中. 求证：∠A+∠B+∠ACB=180°. 证明：延长线段BC至点F,并过点C作CE∥AB. CE∥AB,∴. =∠1， =∠2. .∠1+∠2+∠ACB=180°( .∠A+∠B+∠ACB=180°； (2)【结论运用】如图②，已知∠AOB,点H,Q分别在OA,OB 上，连接HQ,作∠OQH的平分线MQ交OA于点M,过 点M作MN∥HQ交OB于点N.若∠OQH=100°， ∠OMN=48°，求∠AOB的度数； (3)【拓展延伸】如图③，在(2)的条件下，若OA绕点O逆时针 旋转，交直线FN于点E,作∠OEF的平分线ED交射线 QM于点D,则在旋转的过程中，界器的值是香变化： 若不变，请求出其值；若变化，请说明理由， 。2 0 N 图① 图② 图③ 第6页（共6页）数学活动 1A2B3A【变式C4解：吉-治+3(2a一=-32a十 .整理可得x=6a,解得x=会。5.解：任务一：等式的性质2等式的性质1分 式的基本性质任务二：①25410（答案不唯一）@-号一子（答案不唯-） ④证明：合=合ad=c“中名-号 a-b c-d (atb)(cd)(a-b)(c+d)actbc-ad-bd-actbc-adtbd 2bc-2ad (a-b)(c-d)(a-b)(c-d) (a-b)(c-d) (a-b)(c-d) 0名±号6解：填表为：9行4249.9日424 a-b c-d 9号猜想：+宁≥2.证明如下：当≠0时+-2=（一）(-)】 ≥0+是-2>0，即x+>2.当x=士1时2+=2. 第十八章整合与提升 高频考点突破 1.D2.D3.04.D5.C6.A7.6ab8.3+10 9.A10.x-111.解： 器：2原式=÷·2红3+山= x十1 x一4· 1 +i=x+ 、2解：原式=学·品·当=品当 x+2 =-1时，原式=子之=子1BB14号15.D16C17m<-1且m≠ 2 一1018.解：(1)方程两边乘(x一3)，得2x=x一3十5.解得x=2.检验：当x=2时，x -3≠0.所以，原分式方程的解为x=2;(2)方程两边乘(x十2)(x-2),得5x-2-2(x 十2)=1.解得x=子检验：当x=子时，x+2)(x-2)≠0，所以，原分式方程的解为： =子.19.A20,解：设从甲农户手中所购的宝珠梨的单价为x元，则从乙农户手中 所购的宝珠梨的单价为(：+专)=专x元，根据题意，得9=吧+25.解得=6。 4 32 经检验江=6是原分式方程的解，且符合题意.“音=专×6=8答：从甲农户手中所 购的宝珠梨的单价是6元，从乙农户手中所购的宝珠梨的单价是8元， 易错易混专攻 A2解12一2y题1：原式=a+&-可十号市十异一胄 a-1 a 1 =1:习题2：方程两边乘（红十1），得2=x十x十1，解得x=检验：当x=号时，x十1 ≠0.所以，原分式方程的解为x=分、3.C4m<2且m≠0 常考题型演练 1D2.D3解：原式-导÷兴-号·广当=-1时，原 x-1 x-1 1 式=--2一一3,4.解：设小许原计划的平均速度为xkm/h,提速后的平均速度 告2X乞=解得z=10,5.经检验，x=10.5是 为1.2xkm/h.根据题意，得x 原分式方程的解，且符合题意.答：小许原计划的平均速度是10.5km/h. 第37页（共60页） 综合评价答案 第十三章综合评价 1.A2.D3.C4.B5.A6.C7.A8.B9.A10.D11.A12.D13.D 14.B15.C16.77.5°17.32°18.1619.82°20.解：：∠B=∠A+10°，∠C= ∠B十10°，.∠C=∠A十10°十10°=∠A十20°.由三角形内角和定理，得∠A十∠B十 ∠C=180°，∴∠A+∠A+10°+∠A+20°=180°，∠A=50°..∠B=50°+10°=60°， ∠C=50°+20°=70°.21.解：(1)如图，AD和AE即为所求； (2) D AD⊥BC,.∠ADB=90°，.∠BAD=90°-∠B=90°-40=50°.∠ACB=∠CAD+ ∠ADB,∠CAD=120°-90°=30°.22.解：由题意，得∠BAE=45°，∠EAC=30°， ∠DBC=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+30°=75°.'AE∥BD,∴∠DBA= ∠BAE=45°.：∠DBC=60°，∴.∠ABC=∠DBC-∠DBA=60°-45°=15°，∴.∠C= 180°-∠ABC-∠BAC=180°-15°-75°=90.23.1808073060ABC ABM2024.解：：(b-2)2+c-3|=0,(b-2)≥0，c-3|≥0，∴.(b-2)2=0, c-3|=0,∴.b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3,a为方程x-4|=2的解，∴.a-4= 士2，解得a=6或2.a,b,c为△ABC的三边长，b十c<6,a=6不符合题意，舍去， ∴.a=2,△ABC的周长为a十b十c=2十2十3=7.：a=b=2,∴△ABC是等腰三角形. 25.解：(1)在△ABC中，BD是AC边上的高，∴∠ADB=∠BDC=90°.又，∠A= 70°，∴.∠ABD=180°-∠ADB-∠A=20°：(2)：∠BEC=∠BDC+∠DCE,∠BEC= 118°，∠BDC=90°，.∠DCE=28°.又CE平分∠ACB,∠DCB=2∠DCE=56°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠DCB=54°.26.解：(1)三角形的外角等于与它不相邻的 两个内角的和两直线平行，同位角相等∠a十∠C(2),'∠CFV是△ACF的一个 外角（三角形外角的定义），∴·∠CFN=∠3+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两 个内角的和).PQ∥MN(已知)，∠CFN=∠α（两直线平行，同位角相等），∴∠a= ∠B+∠C.:∠C=45°（已知），∴.∠α=∠B+45°.27.解：(1)∠A∠B平角的定义 (2)MN∥HQ,∠OMN=∠OHQ=48°，又∠OQH=100°，根据三角形内角和为 180∠A0B=180-100-4g=32:3)8器的值不变，为分由三角形外角的 性质，得∠OEF=∠A'OB+∠ONE,∠ONE=∠NQM+∠NMQ.:'MQ平分∠OQH, ∴∠OQM=∠MQH.又：MN∥HQ,∴.∠NMQ=∠MQH,∴.∠NQM=∠NMQ, ∴.∠ONE=2∠OQM.∴.∠OEF=∠A'OB+2∠OQM,又：DE平分∠OEF,∴∠OEF =2∠DEO..2∠DEO=∠A'OB+2∠OQM,..∠A'OB=2(∠DEO-∠OQM). ∠DE0∠0QM=是∠AOB.设DQ与OA'交于点K,∠DKE=∠OKQ.由三角 形内角和为180°，得∠EDQ+∠DEO=∠A'OB+∠OQM,即∠EDQ+Z∠A'OB= ∠AoB,器=宁 第十四章综合评价 1.B2.D3.B4.C5.A6.D7.B8.D9.C10.C11.B12.B13.D 14.B15.A16.70°17.AB=DE(答案不唯一)18.319.95°20.两直线平行， AE=AF, 内错角相等对顶角相等ASA21.证明：在△AED和△AFD中，：DE=DF, AD=AD, 第38页（共60页） △AED≌△AFD(SSS).∴∠DAE=∠DAF,∴.AD平分∠BAC.:伞柄AP始终平分 同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,∴点D必定在AP上，22.解：(1)：BE平分 AB=DB, ∠ABC,∴∠ABE=∠DBE.在△ABE和△DBE中，J ∠ABE=∠DBE,△ABE≌ BE=BE, △DBE(SAS);(2):∠A=100°，∠C=50°，.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100 -50=30.:BE平分∠ABC,·∠DBE=合∠ABC=号×30=15，∠AEB= ∠DBE+∠C=15°+50°=65°.23.解：：∠C=100°，∠ADC=65°，.∠CAD=15°， ∠A=∠E, ∴·∠CAD=∠BEC.在△ACD和△ECB中，∠C=∠C,∴.△ACD≌△ECB(AAS). CD=CB, .AC=CE.又CB=CD,∴.AB=DE=30m.24.解：(1)：∠EAD=∠EDA=45°， ∠BAC=90°，∴∠BAE=∠CDE=135°.点D是AC的中点，.AC=2CD.又AC= AB=DC, 2AB,∴.CD=AB.在△ABE和△DCE中，∠BAE=∠CDE,∴.△ABE≌△DCE AE=DE, (SAS):(2)BE=EC,BE⊥EC,理由如下：由(1)知，△ABE≌△DCE,∴.BE=EC, ∠AEB=∠DEC.:∠AED=90°，∴.∠AEB+∠BED=90°，.∠DEC+∠BED=90°， 即∠BEC=90°，∴.BE⊥EC.25.解：(1)②①③(2)①(3)过点D作DF⊥BC于点 E.:DELAB-于点E,BD平分∠ABC.DE=DR.:BC=12,Sam=DF·BC= 30DE-DF=5.AB=18,SaA=号AB·DE=号X18X5=45,26.解：1 △ACD≌△CBE.证明如下：，∠ACB=90°，∴.∠ACD+∠BCE=90°.又AD⊥I, .∠ADC=90°，∴.∠CAD+∠ACD=90°，∴.∠BCE=∠CAD.BE⊥l,.∠ADC= ∠CAD=∠BCE, ∠CEB=90°.在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB,.△ACD≌△CBE(AAS): AC=CB, (2)由(1)可知△ACD≌△CBE,.AD=CE,CD=BE=3,CE=CD十DE=3十5=8， AC=BC, ∴AD=8.27.解：(1)在△ACE和△BCD中，∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD EC=DC, (SAS)..∠EAC=∠EBF,AE=BD..'∠AEC=∠BEF,.180°-∠EAC-∠AEC= 180-∠EBF-∠BEF,即∠BFE=∠ACE=90°，.AE⊥BD;(2)(1)中结论仍然成 立.证明如下：设AC与BD相交于点O..∠ACB=∠ECD,.∠ACB十∠ACD= ∠ECD十∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD中， AC=BC, ∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS).∴.∠CAE=∠CBD,AE=BD.∠AOD EC=DC, =∠BOC,..180°-∠CAE-∠AOD=180°-∠CBD-∠BOC,即∠BFA=∠BCA= 90°..AE⊥BD;(3)∠AFG的大小确定，∠AFG=45°.过点C作CM⊥BD,CN⊥AE, 垂足分别为M,N.:△ACE2△BCD,=SAAE=BD,:SaE=AE· CN,SaEn=2BD·CM,.CM=CN.CM⊥BD,CN⊥AE,CF平分∠BFE.“AE ⊥BD,∴.∠BFE=90°，∴.∠EFC=45°，∴.∠AFG=45. 第39页（共60页）