13.3.2 三角形的外角-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 云南专版）

冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①三角形的一边与另一边的 组成的角，叫作三角形的外角。 ②三角形的外角等于 的两个内角的和. 例题引路 【例1】如图，下列四个判断中，正确的 是 A.∠ACE是△ABC的外角 B.∠ECD是△ABC的外角 C.∠DCF是△ABC的外角 D.∠ACD是△ABC的外角 【学生解答】 【例2】如图，在△ABC 中，∠B=40°，∠ACB= 60°，CE是△ABC的外 R4 角∠ACD的平分线，且 D CE交BA的延长线于点E.求∠BAC 和∠E的度数. 【名师点拨】本题考查三角形中求角度 问题，涉及三角形角平分线的定义、三 角形内角和定理、三角形外角性质，熟 练掌握相关知识点，数形结合，找准各 个角之间和差倍分关系是解决问题的 关键. 【学生解答】 P 13.3.2三角形的外角 ②基础过关©逐点击破 知识点1 三角形外角的定义 1.下列各图中，∠1是△ABC的外角的是 2.如图， 是△ABC的一个外角， 70 1209 D D B C (第2题图) (第3题图) (变式题图) 知识点2 三角形外角的性质 3.如图，∠A=40°，∠C=110°，则∠CDB的度数是( A.70° B.130° C.150° D.160° 【变式】(2024·昆明嵩明县期末)根据图中的数据，可得 ∠B的度数为 A.409 B.50° C.60° D.70° 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB, 则∠ADC的度数为 ( A.80° B.90° C.1009 D.1109 0) 45 30 D A D A /(x+70)9 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 5.(2024·昆明西山区期末)将一副三角尺按照如图方式摆 放，则∠FBA的度数为 6.(教材P6习题T1变式)在如图所示的三角形中，x的值是 7.(教材P,习题T6变式)如图，AE∥BD,∠1=95°，∠2=28°， 求∠C的度数. 。能力提升。整合运用 8.情境题起重机如图，这是一台起重机的工作 简图，前后两次吊杆位置OP1,OP2与吊绳 的夹角分别是30°和70°，则吊杆前后两次的 夹角∠POP2的度数为 A.60° B.50° C.40° D.30° 70 起重机 B (第8题图) (第9题图) 9.如图，点D,E分别在线段BC,AC上，连接 AD,BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°， 则∠1的度数为 10.（教材P1s例4变式)如图，∠BAE,∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角.若∠ACD 125°，则∠BAE+∠CBF的度数为 (第10题图) （第11题图) 11.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D,AE是 ∠CAB的平分线，交BD于点E,∠AEB= 120°，∠CBA=40°，求∠C的度数.请补全 下列解答过程和依据. 解：.BDLAC, .∠ADB=90°( :∠AEB=120°，∠AEB=∠ADB+ ∠DAE( ∴.∠DAE= .AE是∠CAB的平分线， ∴.∠CAB=2∠ .∠C+∠CAB+∠CBA=180°( ),∠CBA=40°， .∠C= 思维拓展。学科素养 12.【探索归纳】 B 图① 图② 图③ (1)如图①，已知△ABC为直角三角形， ∠A=90°.若沿图中虚线剪去∠A,则 ∠1+∠2的度数为 () A.90 B.135° C.2709 D.315° (2)如图②，已知在△ABC中，剪去∠A后 得到四边形BCEF,试探究∠1+∠2与 ∠A的关系，并说明理由； (3)如图③，若没有剪掉，而是把它折成如 图③的形状，试探究∠1+∠2与∠A的 关系，并说明理由 9参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.A7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥基础过关 帐 1.C2.3(答案不唯-)3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A 能力提升 6.D7,解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm,∴.x十3x十3x=35,解得x=5,.3x =15,.三边长分别为5cm,15cm,15cm:(2)①当1cm的边为腰时，底边长为35-1 -1=33(cm).1+1<33,∴.不能构成三角形：②当1cm的边为底边时，腰长为(35 1)÷2=17(cm).:1十17>17，∴.符合三角形三边关系，∴.能围成底边为1cm的等腰 她 三角形.综上所述，能围成有一边的长为1cm的等腰三角形.8.解：(1)：三角形的 周长是小于22的偶数，.6十8十c<22,解得c<8.:a,b,c是△ABC的三边长，a=6,b =8,.8-6<c<6十8，即2<c<14,2<c<8.易得c是偶数，∴c=4或c=6:(2)|a十 b-c|+|c-a-b|=a+b-c-(c-a-b)=2a+2b-2c. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 报 新知梳理 ①三三角形的重心②角平分线③三角形的高内部两条直角边外部 延长线上 例题引路 【例】(1)35 (2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△DS△ABc63.31°4.解：DE∥AC.理由如下：CD是 线△ABC的角平分线，∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，DE∥AC.5.C 6.AD1 BC ADC90°2BC·AD 能力提升 7.C8.号9.解：1)ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，Sax=号BC·AD =号BCX6=24,BC=8,:AE是边BC上的中线，∴CE=BE=号BC=4,(2)?点 F为AB的中点，∴.AF=BF,.C△AEF-CAEF=(AE十AF+EF)-(BE+BF十EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 10.解：(1)当点D为BC的中点时，DE=DF.证明如下：连接AD.点D为BC的中 点，.SAABD=SAD,即AB·DE=2AC·DF.AB=AC,.DE=DF:(2)CG= 第1页（共60页）》 DE+DF.理由如下，连接AD.:SABc=SAm十Sac,.号ABCG=号AB·DE+ 合AC,DF.:AB=AC,CG=DE+DR,【延伸设问】7【规律总结】O等于 ②等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴.∠BAC=2∠BAD.:∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，∴.∠B=3∠BAD=54°. 基础过关 1.C2.80°3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.D8.280°9.解：在△ABC中，：∠ABC=40°，∠C=60°，.∠BAC=180°- ∠ABC-∠C=180°-40°-60°=80°.，AE是△ABC的角平分线，∠EAC= 合∠BAC=号×80=40.：AD是△ABC的商，∠ADC=90,在△ADC中， ∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴.∠DAE=∠EAC-∠DAC= 40-30=10.:BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40,∠FBC=∠ABC=号× 40°=20°.又∠C=60°，∠CAE=40°，.∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-60° 40°=80°，.∠AEB=180°-∠AEC=180°-80°=100°，.∴.∠BOE=180°-∠FBC ∠AEB=180°-20°-100°=60°. 思维拓展 10.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， .90°+（∠ABP+∠ACP)十∠A=180°，.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,.∴.∠ACP- ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.C2.60°3.C4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB,∠ADE= 90°，.∠1+∠A=90°，又：∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∴∠C=90°，∴.△ABC是直 角三角形. 能力提升 5.A6.解：：AB∥CD,.∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线，∠PEF=号∠BEF,∠PFE=号∠DFE,∠PEF+∠PFE= ∠BEF+∠DFE)=90°，∴∠P=90,·.△EPF为直角三角形.7.解：(1)∠1= ∠2.理由如下：.CE⊥AB,AD⊥BC,.∠CEB=∠ADB=90°，∴.∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, .∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 第2页（共60页） 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①延长线②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°. CE是∠ACD的平分线，∠DCE=号∠ACD.:∠ACD=180°-∠ACB=120, .∠DCE=60°，∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.D2.∠ACD3.C【变式】B4.C5.15°6.607.解：AE∥BD,.∠ADB= ∠1=95°.又：∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 8.C9.70°10.235°11.垂线的定义三角形外角的性质30°DAE60°三角 形内角和定理80° 思维拓展 12.C解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A十180°，理由如下：，∠1=∠A十∠AEF,∠2= ∠A+∠AFE,∴.∠1十∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+ ∠AFE=180°，∠1+∠2=∠A十180°：(3)∠1+∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是 由△EFA折叠得到的，.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE, ∠2=180°-2∠AEF,·∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF =180°-∠A,.∠1十∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠CBG= ∠ABC,∠BCG=合∠ACB,∠BGC=-180-(∠CBG+∠CG)=180°- 合（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BcC=180-(180 ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=7∠ABC.CP 平分∠ACD,∴∠PCD=2∠ACD.'∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-号∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= ∠A4解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A,∠EBC+∠FCB =∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分 线.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=∠FCB.∴∠PBC+∠PCB=(∠EBC+ ∠CB)=2180+∠A)=90+7∠A,∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180- (90+2∠A)=90°-2∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)110°(2)：∠BDC=∠BEC=90°，∠ABE=90°-∠A,∴.∠BOC=∠ABE +∠BDC=90°-∠A十90°=180°-∠A,∴.∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)：∠B= 38,∠C=62,∠BAC=80.:AD是∠BAC的平分线，∠CAD=合∠BAC= 1 X80°=40°.·AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°.·∠C=62,∴.∠CAE=90°-62°= 28°.·∠DAE=∠CAD-∠CAE=40°-28°=12°；(2)：∠CAE和∠BCF的平分线交 于点G,.∠CAE=2∠CAG,∠FCB=2∠FCG.'∠CAE=∠FCB-∠AEC,∠CAG =∠FCG-∠G,∴.2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG-2∠G,即∠AEC 第3页（共60页）