13.3.1 三角形的内角-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 云南专版）

参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.A7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥基础过关 帐 1.C2.3(答案不唯-)3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A 能力提升 6.D7,解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm,∴.x十3x十3x=35,解得x=5,.3x =15,.三边长分别为5cm,15cm,15cm:(2)①当1cm的边为腰时，底边长为35-1 -1=33(cm).1+1<33,∴.不能构成三角形：②当1cm的边为底边时，腰长为(35 1)÷2=17(cm).:1十17>17，∴.符合三角形三边关系，∴.能围成底边为1cm的等腰 她 三角形.综上所述，能围成有一边的长为1cm的等腰三角形.8.解：(1)：三角形的 周长是小于22的偶数，.6十8十c<22,解得c<8.:a,b,c是△ABC的三边长，a=6,b =8,.8-6<c<6十8，即2<c<14,2<c<8.易得c是偶数，∴c=4或c=6:(2)|a十 b-c|+|c-a-b|=a+b-c-(c-a-b)=2a+2b-2c. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 报 新知梳理 ①三三角形的重心②角平分线③三角形的高内部两条直角边外部 延长线上 例题引路 【例】(1)35 (2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△DS△ABc63.31°4.解：DE∥AC.理由如下：CD是 线△ABC的角平分线，∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，DE∥AC.5.C 6.AD1 BC ADC90°2BC·AD 能力提升 7.C8.号9.解：1)ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，Sax=号BC·AD =号BCX6=24,BC=8,:AE是边BC上的中线，∴CE=BE=号BC=4,(2)?点 F为AB的中点，∴.AF=BF,.C△AEF-CAEF=(AE十AF+EF)-(BE+BF十EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 10.解：(1)当点D为BC的中点时，DE=DF.证明如下：连接AD.点D为BC的中 点，.SAABD=SAD,即AB·DE=2AC·DF.AB=AC,.DE=DF:(2)CG= 第1页（共60页）》 DE+DF.理由如下，连接AD.:SABc=SAm十Sac,.号ABCG=号AB·DE+ 合AC,DF.:AB=AC,CG=DE+DR,【延伸设问】7【规律总结】O等于 ②等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴.∠BAC=2∠BAD.:∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，∴.∠B=3∠BAD=54°. 基础过关 1.C2.80°3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.D8.280°9.解：在△ABC中，：∠ABC=40°，∠C=60°，.∠BAC=180°- ∠ABC-∠C=180°-40°-60°=80°.，AE是△ABC的角平分线，∠EAC= 合∠BAC=号×80=40.：AD是△ABC的商，∠ADC=90,在△ADC中， ∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴.∠DAE=∠EAC-∠DAC= 40-30=10.:BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40,∠FBC=∠ABC=号× 40°=20°.又∠C=60°，∠CAE=40°，.∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-60° 40°=80°，.∠AEB=180°-∠AEC=180°-80°=100°，.∴.∠BOE=180°-∠FBC ∠AEB=180°-20°-100°=60°. 思维拓展 10.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， .90°+（∠ABP+∠ACP)十∠A=180°，.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,.∴.∠ACP- ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.C2.60°3.C4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB,∠ADE= 90°，.∠1+∠A=90°，又：∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∴∠C=90°，∴.△ABC是直 角三角形. 能力提升 5.A6.解：：AB∥CD,.∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线，∠PEF=号∠BEF,∠PFE=号∠DFE,∠PEF+∠PFE= ∠BEF+∠DFE)=90°，∴∠P=90,·.△EPF为直角三角形.7.解：(1)∠1= ∠2.理由如下：.CE⊥AB,AD⊥BC,.∠CEB=∠ADB=90°，∴.∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, .∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 第2页（共60页） 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①延长线②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°. CE是∠ACD的平分线，∠DCE=号∠ACD.:∠ACD=180°-∠ACB=120, .∠DCE=60°，∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.D2.∠ACD3.C【变式】B4.C5.15°6.607.解：AE∥BD,.∠ADB= ∠1=95°.又：∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 8.C9.70°10.235°11.垂线的定义三角形外角的性质30°DAE60°三角 形内角和定理80° 思维拓展 12.C解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A十180°，理由如下：，∠1=∠A十∠AEF,∠2= ∠A+∠AFE,∴.∠1十∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+ ∠AFE=180°，∠1+∠2=∠A十180°：(3)∠1+∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是 由△EFA折叠得到的，.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE, ∠2=180°-2∠AEF,·∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF =180°-∠A,.∠1十∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠CBG= ∠ABC,∠BCG=合∠ACB,∠BGC=-180-(∠CBG+∠CG)=180°- 合（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BcC=180-(180 ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=7∠ABC.CP 平分∠ACD,∴∠PCD=2∠ACD.'∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-号∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= ∠A4解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A,∠EBC+∠FCB =∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分 线.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=∠FCB.∴∠PBC+∠PCB=(∠EBC+ ∠CB)=2180+∠A)=90+7∠A,∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180- (90+2∠A)=90°-2∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)110°(2)：∠BDC=∠BEC=90°，∠ABE=90°-∠A,∴.∠BOC=∠ABE +∠BDC=90°-∠A十90°=180°-∠A,∴.∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)：∠B= 38,∠C=62,∠BAC=80.:AD是∠BAC的平分线，∠CAD=合∠BAC= 1 X80°=40°.·AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°.·∠C=62,∴.∠CAE=90°-62°= 28°.·∠DAE=∠CAD-∠CAE=40°-28°=12°；(2)：∠CAE和∠BCF的平分线交 于点G,.∠CAE=2∠CAG,∠FCB=2∠FCG.'∠CAE=∠FCB-∠AEC,∠CAG =∠FCG-∠G,∴.2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG-2∠G,即∠AEC 第3页（共60页）13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 冒名师导学。预习先知 ⑧基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1三角形内角和定理 三角形的内角和定理：三角形的内 1.在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，则△ABC是 ()） 角和等于 A.锐角三角形 B.直角三角形 例题引路 C.钝角三角形 D.等边三角形 【例1】在△ABC中，∠B=3∠A, 2.在△ABC中，∠A=65°，∠B=35°，则∠C的度数为 ∠C=5∠A,求∠A,∠B,∠C的度数. 【名师点拨】通过设未知数利用三角形 知识点2 三角形内角和定理与三角形的角平分线、平 内角和定理列方程解决！ 行线的综合 【学生解答】 3.(教材P12例1变式)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, ∠B=70°，∠BAD=30°，则∠C的度数为 () A.35 B.40° C.45 D.50° 【例2】如图，在△ABC中，∠C=90°， (第3题图) (第4题图) AD平分∠BAC,且∠B=3∠BAD,求 4.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC, ∠B的度数 交BC于D,DE∥AB,交AC于点E,则∠ADE的度 数为 知识点3三角形内角和定理的应用 5.(教材P2例2变式)如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上， 【名师点拨】由∠B=3∠BAD,∠BAC= 2∠BAD,可得2∠BAD十3∠BAD十 在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上， ∠C=180°，即可求解. 则从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数为 () 【学生解答】 A.80° B.95° C.1109 D.140° 北 B (第5题图) (第6题图) 6.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其 中∠B=40°，∠CAD=60°，则∠BCD的度数为 5 可能力提升。整合运用 公思维拓展。学科素养 7.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC 10.综合探究： 边上，DE∥BC.若∠B=65°，则∠1的度数 如图①，将三角尺（△MPN,∠MPN=90°） 为 ) 放置在△ABC上(，点P在△ABC内)，三角 A.125° B.135° C.145°D.155° 尺的两边PM,PN恰好经过点B和点C, 我们来探究∠ABP与∠ACP是否存在某 种数量关系 F (1)【特例探究】若∠A=50°，则∠PBC+十 (第7题图) (第8题图) ∠PCB= ·∠ABP+∠ACP= 8.数学思想转化思想（教材P3练习T2变式）如 图，∠FAE=100°，线段GD分别交AF,AE于 (2)【类比探究】探究∠ABP+∠ACP与 点C,B,连接GF,ED,则∠D十∠G+∠F+ ∠A之间的数量关系； ∠E的度数为 (3)【变式探究】如图②，改变三角尺的位 9.(2024·昆明五华区期中)如图，在△ABC 置，使点P在△ABC外，三角尺的两边 中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分 PM,PN仍恰好经过点B和点C,探究 线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于 ∠ABP,∠ACP,∠A之间的数量关系. 点O.若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE, ∠BOE的度数： 图① 图② 6 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 ②基础过关⊙逐点击破 6.(教材P1,习题T变式)如图，AB∥CD,直线 EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平 知识点1直角三角形的两个锐角互余 分线与∠DFE的平分线相交于点P,试说明 1.已知直角三角形ABC中，有一个锐角等于 △EPF为直角三角形 50°，则另一个锐角的度数是 A.50° B.45°C.40° D.30° 2.在△ABC中，∠A=90°，且∠B-∠C=30°， 那么∠B的度数为 知识点2有两个角互余的三角形是直 角三角形 3.已知∠A=42°，∠B=48°，则△ABC为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 4.(教材P14练习T2变式)如图，点E是△ABC 中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB,垂 7.(教材P4例3变式)【探究与证明】 足为D.若∠1=∠B,则△ABC是直角三角 如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D, 形吗？为什么？ CE⊥AB于点E. (1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由； (2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结 论是否还成立？并说明理由， 图① 图② 能力提升⊙整合运用 5.(2024·昆明五华区期末) 如图，在△ABC中， ∠BAC=90°，AC≠AB, AD是斜边BC上的高，DE⊥AC,DF⊥AB, 垂足分别为E,F,则图中与∠C(∠C除外)相等 的角的个数是 ( ) A.3个 B.4个C.5个 D.6个 7