第四讲：三角形的内角（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第四讲：三角形的内角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的内角和 三角形内角和 是180°. 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 知识点02：直角三角形的性质及判定 直角三角形的两个锐角互余． · 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 知识点03：三角形内角和的应用 考点1：三角形内角和定律证明 【典型例题】 如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式训练1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C．D． 考点2：平行线与三角形内角和问题 【典型例题】 如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3：三角形内角和与角平分线综合问题 【典型例题】 如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点4：直角三角形内角和问题 【典型例题】 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则等于（   ）． A． B． C． D． 4．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知于点B，，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，，点O在直线上，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图摆放的一副直角三角尺，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 10．如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了，则为 度． 11．在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 12．在中，若，，则 ， ． 13．在中，，则 ． 14．若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 15．如图，将沿方向平移后得到，若，，则的度数为 ；若，则 16．如图，在中，平分．若，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，在中，点D，E分别在，上，，，．求的度数． 18．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    19．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 20．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结．    (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第四讲：三角形的内角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：三角形的内角和 三角形内角和 是180°. 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 知识点02：直角三角形的性质及判定 直角三角形的两个锐角互余． · 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 知识点03：三角形内角和的应用 考点1：三角形内角和定律证明 【典型例题】 如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（    ）    A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴（两直线平行，内错角相等） ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式训练1】 “三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 考点2：平行线与三角形内角和问题 【典型例题】 如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【变式训练1】 如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 【变式训练2】 如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】过C点作，根据平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理以及三角板的特点即可作答． 【详解】解：过C点作，如图，      结合图形，根据含角的直角三角板的特点可知：，，， 根据题意有：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， 若 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确的有：②③④，即正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键． 考点3：三角形内角和与角平分线综合问题 【典型例题】 如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 【变式训练1】 如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 【变式训练2】 如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 考点4：直角三角形内角和问题 【典型例题】 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 【变式训练1】 如图，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关的性质是解题的关键．先根据平行线性质求出，再在直角三角形中利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式训练2】 将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 一、单选题 1．若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用， 先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 解得， ∴． 故选：C． 2．如图，，于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 故选：C． 3．如图，在中，，，，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，由三角形内角和定理可得，然后通过平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 4．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，结合，即可求出的度数，再根据即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键． 根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 6．如图，已知于点B，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义得出，根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，同位角相等”可得． 本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】， ． 又， ， ， ． 故选A． 7．如图，，点O在直线上，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，平行线的性质．首先根据对顶角的性质及三角形内角和定理，可得，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 8．如图摆放的一副直角三角尺，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理．过点作，则有，，又因为和都是特殊直角三角形，，，可以得到，，进而可求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 9．如图，在中，与的平分线相交于点O，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的内角和定理的应用，先求解，再结合角平分线可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点O， ∴， ∴， 故答案为： 10．如图，小亮同学将直尺放置在等腰直角三角板上，并量出了，则为 度． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，标注角与顶点，平行线，证明，，结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，标注角与顶点，平行线， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为： 11．在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【答案】20或60 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，分两种情况：当点E在点D左边时；当点E在点D右边时；分别画出图形求解即可． 【详解】解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 分以下两种情况： 如图，当点E在点D左边时， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∴； 如图，当点E在点D右边时， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∴． 故答案为：20或60． 12．在中，若，，则 ， ． 【答案】 50 100 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定义，以及角的数量关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：50，100 13．在中，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为． 14．若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．如图，将沿方向平移后得到，若，，则的度数为 ；若，则 【答案】 /30度 3 【分析】本题考查三角形内角和定理，平移变换等知识，利用三角形内角和求得，再平移的性质求出和．解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【详解】解：在中， 由平移的性质可知， ， 故答案为：；3． 16．如图，在中，平分．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握定义和定理是解题的关键． 先利用角平分线的定义求得，在利用直角三角形的两锐角互余求得，最后在中利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 三、解答题 17．如图，在中，点D，E分别在，上，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：， ． ，， ． 18．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 19．如图，在中，，垂足为D，平分． (1)已知，，求的度数； (2)已知，猜想与，之间的关系，并证明． 【答案】(1)； (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义． （1）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵平分． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 20．如图，在中，为边上的高，点为边上的一点，连结．    (1)当为上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时． ①若，，求的度数； ②若，则______． 【答案】(1) (2)①；②10 【分析】本题考查三角形的角平分线与三角形内角和定理，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题． （1）利用三角形的面积公式求出的长，再根据中线的性质即可解决问题； （2）①根据三角形内角和求出和的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，从而求解；②根据三角形内角和可求出，然后根据角平分线的定义求得，从而求解． 【详解】（1）解：因为为边上的高，，的面积为24， 所以， 所以． 因为是边上的中线， 所以． （2）解：①因为，， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②因为， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$