2.3.1两条直线的交点坐标、2.3.2两点间的距离公式同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 【基础巩固】 1．已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为，因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得.因此，直线的方程为. 故选：B. 2．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过，所以，所以所在直线方程为，由解得，即顶点的坐标为.故选：A. 3．已知，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，, ， ∴，所以三角形为直角三角形， ∴. 故选：A. 4．无论为何值，直线过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得：， 由得∴直线恒过定点.故选：A. 5．（多选）已知点，点在直线上，且直线与直线垂直，则（ ） A．直线的斜率是2 B．直线的方程是 C．点的坐标是 D． 【答案】ABC 【解析】与直线垂直的直线的斜率，故选项A正确； 又直线过点，所以直线方程为，即，故选项B正确； 联立，解得，所以点的坐标是，故选项C正确； 根据两点距离公式得，故选项D错误. 故选：ABC. 6．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为_________. 【答案】 【解析】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 7．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程_________. 【答案】 【解析】(1)由于，且的直线方程为，所以，故， 又的顶点，所以所在的直线方程为， 由于边上的中线所在的直线方程为，联立方程，解得，故点； 设点，则的中点，由于点在直线上， 所以，整理得，同时点在直线上， 所以，故，解得，即点， 所以,故直线方程为. 8．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【答案】见解析 【解析】(1)由可得：， 令，解得，经检验，满足， 所以直线过定点． (2)由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小，此时，，， 所以的周长为.所以当面积最小时，的周长为. 【能力拓展】 9．若点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为.故选：C. 10．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为， 联立，解得，所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，，所以直线的斜率，所以， 所以，所以，故，所以直线的方程为. 故选：C. 11．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为_________，的最小值为_________. 【答案】；4 【解析】设，则， 当时，；当时，；当时，， 因此对任意，，所以当，即点时，取得最小值； 设，则，令，于是， 显然，当时，；当时，； 当时，，因此对任意，， 所以当，即时，如点，取得最小值4.故答案为：；4. 【素养提升】 12．已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 【答案】见解析 【解析】(1)因为直线过点，且斜率为，可得直线的方程为， 因为直线与分别交于点，所以， 联立方程组，解得，即， 联立方程组，解得，即, 又因为的纵坐标均为整数，可得，即， 因为，所以，当时，可得，，， 因为点为的中点，可得，解得，所以，，， 则的面积. (2)假设存在满足题意的实数，使得的值与无关， 由(1)知，，，且， 可得，所以， 因为，所以当时，（定值）， 所以存在实数时，使得的值与无关. 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 【基础巩固】 1．已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（ ） A． B． C． D． 2．已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 4．无论为何值，直线过定点（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知点，点在直线上，且直线与直线垂直，则（ ） A．直线的斜率是2 B．直线的方程是 C．点的坐标是 D． 6．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为_________. 7．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求直线的方程_________. 8．已知直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长． 【能力拓展】 9．若点在直线上运动，则的最小值为（ ） A． B． C．13 D． 10．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为_________，的最小值为_________. 【素养提升】 12．已知直线，的方程分别是，点的坐标为，过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，（，的纵坐标均为正数） (1)当时，线段恰好被点平分，求斜率的值及的面积； (2)问是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，请说明理由. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $