5.5 用二次函数解决问题（题型专练）数学苏科版九年级下册

5.5 用二次函数解决问题 题型一 简单的情景化问题 1．（2025·广陵区·校级二模）我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　） A． B．y＝﹣x+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3 【详解】解：由题意可得： 从A到路灯的正下方前他与路灯的距离逐渐减少，经过路灯后他与路灯的距离逐渐增加， A、y随x的增加而减少，不合题意，故A错误； B、y随x的增加而减少，不合题意，故B错误； C、当x＜3时，y随x的增加而减少；当x＞3时，y随x的增加而增加，符合题意，故C正确； D、当x＜3时，y随x的增加而增大；当x＞3时，y随x的增加而减少，不合题意，故D错误． 故选：C． 2．（2022·通州区·校级月考）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（　　）度． A．36 B．45 C．50 D．42 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向上， 从18和72两个点可以看出对称轴x＜， 从18和54两个点可以看出对称轴x＞， ∴最终对称轴的范围是36＜x＜45，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间， ∴此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°． 故选：D． 3．（2025·无锡·一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【详解】解：h＝﹣5t2+20t ＝﹣5（t2﹣4t） ＝﹣5（t2﹣4t+4﹣4） ＝﹣5（t﹣2）2+20， ∵a＝﹣5＜0， ∴当t＝2时，h最大＝20， ∴物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米； 当h＝0时，﹣5t2+20t＝0，解得：t1＝0，t2＝4， ∴在4秒时返回地面． 故选：B． 4．（2025·东台市·月考）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为　　． 【详解】解：根据题意得：y关于x的函数表达式为y＝16（1﹣x）2． 故答案为：y＝16（1﹣x）2． 5．（2024·连云港·期末）心理学家研究发现，某年龄段的学生30min内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），则第　　min时学生接受概念的能力最强． 【详解】解：∵a＝﹣0.1， ∴该二次函数的图象开口向下， 当x13时，y有最大值， ∴第13min时学生接受概念的能力最强． 故答案为：13． 6．（2025·南通·三模）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了　　m． 【详解】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45， ∴汽车刹车后到停下来前进了45m， 故答案为：45． 题型二 简单的抛物线形问题 1．（2025·射阳县·月考）运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离最接近的是（　　） A．2.6m B．3m C．3.5m D．4.8m 【详解】解：由题意可得：将（0，1.8），（3，3.0），（6，2.7）代入y＝ax2+bx+c中得： ，解得：， ∴yx2x+1.8， ∴3.9， ∴该铅球飞行到最高点时，水平距离是3.9m． 故选：C． 2．（2024·大丰·区期末）东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降4.8cm时，碗中汤面的水平宽度为　　cm（碗的厚度不计）． 【详解】解：设抛物线解析式为y＝ax2， 由碗口宽度和深度碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，可得：C（14，9.8）， ∴9.8＝a×142，解得：a， ∴yx2， 当汤面下降4.8cm时，汤面高9.8﹣4.8＝5（cm）， 将y＝5代入抛物线解析式yx2，解得：x＝±10， ∴汤面宽度为20cm． 故答案为：20． 3．（2025·如东县·校级模拟）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为　　米． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+5， 将点（0，1）代入得：1＝a（0﹣5）2+5，解得：a， ∴抛物线解析式为y（x﹣5）2+5， 令y＝4得：4（x﹣5）2+5，解得：x1，x2， ∴盏景观灯之间的水平距离是5（m）． 故答案为：5． 4．（2024·宝应县·期末）如图，投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行水平距离5m时，到达最高点高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　m． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系： ∵抛物线的顶点坐标为（5，4）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣5）2+4， 将P（0，）代入y＝a（x﹣5）2+4中得：25a+4，解得：a， ∴y（x﹣5）2+4， 当y＝0时，0（x﹣5）2+4，解得：x1，x2（舍去）， ∴OMm． 故答案为：． 题型三 几何图形的面积问题 1．（2025·泗阳县·校级一模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为　　m2． 【详解】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为21+3﹣3x＝24﹣3x（米）， 由题意可得：总面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∴饲养室的最大面积为48平方米． 故答案为：48． 2．（2024·睢宁县·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽AB为x米，则AD＝　　米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 【详解】解：（1）设菜地的宽AB为x米，则AD＝（39+1）﹣2x＝（40﹣2x）米， 故答案为：（40﹣2x）； （2）由题意可得：（40﹣2x）•x＝192，解得：x1＝12，x2＝8， 当x＝12时，40﹣2×12＝16＜20，符合题意； 当x＝8时，40﹣2×8＝24＞20，不合题意， ∴x＝12， 答：当x为12米时，围成的菜地面积为192平方米； （3）设围成的菜地面积为y平方米， 由题意可得：y＝（40﹣2x）•x＝﹣2x2+40x＝﹣2（x2﹣20x+100﹣100）＝﹣2（x﹣10）2+200， 答：当x为10米时，围成的菜地面积最大． 3．（2024·清江浦区·校级月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃AB边为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当AB边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 【详解】解：（1）由题意可得：BC＝24﹣3AB＝（24﹣3x）米， ∴y＝AB•BC＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x， ∵墙的最大可用长度为10米， ∴， ∴x＜8； 故答案为：y＝﹣3x2+24x，x＜8； （2）∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0，x＜8， ∴当x＞4时，y随着x的增大而减小， ∴当x时有最大值，最大值为46， ∴当AB的长为米，围成的花圃面积最大，最大面积是46平方米． 4．（2025·南京·校级期末）如图，在一块空地上有一段长为a米的旧墙MN，现在利用旧墙一部分AD（不超过MN）和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD． （1）若a＝30，求矩形菜园ABCD面积的最大值； （2）若木栏增加2a米，矩形菜园ABCD面积的最大值为2800米2，则a的值为　　． 【详解】解：（1）设AD＝x米，0＜x≤30， 由题意可得：矩形菜园ABCD面积， ∵，图象开口向下， ∴当0＜x≤30时，y随x的增大而增大， 当x＝30时，S有最大值，最大值为1050平方米． 答：最大值为1050平方米； （2）当木栏增加2a米时，木栏总长为（100+2a）米， 设AD＝m米，0＜m≤a， 矩形菜园ABCD面积， ∵，图象开口向下， ∴当0＜m≤a时，y随m的增大而增大， ∴当m＝a时，S有最大值，最大值为， ∴，解得：a＝40（负值已舍去）， 故答案为：40． 题型四 利润问题 1．（2025·工业园区·校级模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元， 由题意可得：50，解得：x＝2， 经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意， ∴2x＝2×2＝4， 答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元； （2）设售价定为t元，利润为y元， 由题意可得：y＝（t﹣4）[200]＝﹣20（t﹣10）2+720， ∵﹣20＜0， ∴当t＝10时，y的最大值是720， 答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元． 2．（2025·泗洪县·一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表， 售价x元/件 50≤x≤60 60＜x≤80 销售量（件） 100 400﹣5x 求当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 【详解】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元， 由题意可得：，解得：x＝20， 经检验：x＝20是原方程的解， 当x＝20时：x+30＝20+30＝50， ∴A纪念品每件的进价是50元，B纪念品每件的进价是20元； （2）设利润为w元，由表格可得： ①当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000， ∵k＝100＞0， ∴w随着x的增大而增大， ∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元； ②当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125， ∵a＝﹣5＜0， ∴当x＝65时，利润最大为：1125元； 综上，当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元． 3．（2022·江都区·月考）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示． （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 【详解】解：（1）由题意可得：5k＝3，解得：k＝0.6， ∴y1＝0.6x； 由题意可得：，解得：， ∴y2＝﹣0.2x2+2.2x； （2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2， 当t＝4时，W有最大值9.2， 答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元； ②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2， ∴t1＝2，t2＝6， ∵a＝﹣2＜0， ∴当2≤t≤6时，W≥8.4， 答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适． 4．（2025·玄武区·二模）某商场销售某种产品，销售量y（单位：kg）与售价x（单位：元/kg）（20≤x≤36）之间的函数关系如图所示． （1）当20≤x≤32时，求y与x的函数关系式； （2）若产品的进价为12元/kg，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】解：（1）当20≤x≤32时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（20，100），（32，40）代入解析式得：，解得：， ∴当20≤x≤32时，设y与x的函数关系式为y＝﹣5x+200； （2）设获得利润w元， ①当20≤x≤32时，w＝（x﹣12）y＝（x﹣12）（﹣5x+200）＝﹣5x2+260x﹣2400＝﹣5（x﹣26）2+980， ∵﹣5＜0，20≤x≤32， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为980； ②当32≤x≤36时，y＝40， w＝（x﹣12）y＝（x﹣12）×40＝40x﹣480， ∵40＞0， ∴当x＝36时，w最大，最大值为960； ∵980＞960， ∴当售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元． 题型一 复杂的情景化问题 1．（2025·徐州·中考）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作y m；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1 m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2 m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝　　m，d2＝　　m； （2）设骑行速度为x km/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 【详解】解：（1）∵d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比，设骑行速度为x km/h， ∴d1＝k1x，d2＝k2x2， ∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m， ∴13k1＝2.6，解得：k1＝0.2，d1＝0.2x， 当x＝26时，d1＝0.2×26＝5.2（m）， ∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为1m， ∴1＝132×k2，解得：，， 当x＝26时，； （2）设骑行速度为x km/h，则d1＝0.2x，， ∴y关于x的函数表达式为； （3）∵当刹车距离为2m时， ∴，解得：（负值已舍去）， ∴y， ∴停车距离约为5.7m． 题型二 复杂的抛物线形问题 1．（2025·盐城·一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a不等于0）， ∵A（0，0），B（20，0）在抛物线上，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． ∴C横坐标为2010＝5，纵坐标为3，即C（5，3）， 将A、B、C代入解析式得：，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x； （2）由题意可得：AB水位距离拱桥最高点为：y10210＝4（米）， 船行驶到桥下的时间为：35÷5＝7（小时）， 水位上升的高度为：0.3×7＝2.1（米）， ∵4﹣2.1＝1.9＜2， ∴如果该船的速度不变，那么它不能安全通过此桥． 2．（2024·句容市·期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为　　； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为　　． 【详解】解：（1）由题意可得：A（2，1.6）是上边缘抛物线的顶点， 设y＝a（x﹣2）2+1.6， ∵抛物线过点（0，1.2）， ∴1.2＝4a+1.6，解得：a， ∴上边缘抛物线的函数解析式为y（x﹣2）2+1.6， 当y＝0时，0（x﹣2）2+1.6，解得：x1＝6，x2＝﹣2（舍去）， ∴喷出水的最大射程OC为6m； （2）∵对称轴为直线x＝2， ∴点（0，1.4）的对称点为（4，1.4）， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （3）∵OB＝2，OC＝6，DE＝3， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2≤d≤3， 故答案为：2≤d≤3． 3．（2024·玄武区·期末）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔AO，BC，三条缆索L1，L2，L3，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索L1，L2，L3的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔AO＝BC＝200m，桥面OC＝1200m，锚碇D到索塔OA的距离OD＝400m，缆索L1的最低点P到桥面OC的距离为20m． （1）求缆索L1所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索L2所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔OA左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为150m．要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离． 【详解】解：（1）由题意可知：缆索L1所在抛物线的顶点坐标为（600，20）， ∴设缆索L1所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣600）2+20， 将A（0，200）代入解析式得：360000a+20＝200，解得：a， ∴缆索L1所在抛物线的表达式为y（x﹣600）2+20； （2）①∵缆索L2所在抛物线经过点A（0，200）和D（﹣400，0）， ∴，解得：； ②设两根吊杆的长度之和为w，在索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离为n m， 则在索塔OA右侧需安装的吊杆与OA之间的距离为（150﹣n）， 由题意可得：w（﹣n）2（﹣n）+200（150﹣n﹣600）2+20n2n， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线n， ∴当n时，w最小． 答：索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离为m． 4．（2025·盐城·中考）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　　m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【详解】解：（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴， 建立如图所示的坐标系， 则A（0，2.4），D（1.6，1.6）， 设直线AD的解析式为y＝kx+n， ∴，解得：， ∴扣杀球击球路线的函数表达式为yx+2.4； 设网前吊球击球路线的函数表达式为y＝ax2+2.4， ∴1.6＝a×1.62+2.4，解得：a， ∴网前吊球击球路线的函数表达式为yx2+2.4； （2）令y＝0，则x2+2.4＝0， ∵x＞0， ∴x， ∴E（，0）， ∴OE（m）， ∴CE＝OE﹣OC＝（1.6）m， 故答案为：（1.6）； （3）对于yx+2.4，令y＝0，则x+2.4＝0， ∴x＝4.8， ∴F（4.8，0）， ∴OF＝4.8， ∴AF5.52（m）， ∵扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s， ∴0.15（秒）， ∵0.15＜0.5， ∴乙不能接到扣杀球的击球． ∵从A点击球，击球点是抛物线的最高点， ∴2.4＝5t2， ∵t＞0， ∴t＝0.68， ∵0.68＞0.5， ∴乙能接到网前吊球的击球． 题型三 利润问题（升级版） 1．（2025·锡山区·校级二模）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝（售价﹣成本）×销售量】 （3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 【详解】解：（1）由题意，设y＝kx+n（k≠0）， 由表格可得：，解得：， ∴y＝﹣20x+800， ∴b＝﹣20×17+800＝460， ∵每个成本为：15﹣2500÷500＝10（元）， ∴a＝480×（16﹣10）＝2880，c＝460×（17﹣10）＝3220， 故答案为：2880，460，3220； （2）w＝（x﹣10）（﹣20x+800）＝﹣20（x﹣25）2+4500， ∴当x＝25时，w有最大值4500元， 答：当周销售量最大时，面包的售价为25元； （3）设周销售利润为w元， 由题意可得：w＝（x﹣10﹣m）（﹣20x+800）＝﹣20x2+（1000+20m）x﹣800（10+m）， ∴对称轴， ∵x≤20， ∴当x＝20时，w有最大值400（10﹣m）＝3200， ∴m＝2． 2．（2025·梁溪区·校级月考）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为　　． 【详解】解：（1）由题意，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， ∵图象过（40，1100）（70，800）， ∴，解得：， ∴y＝﹣10x+1500； （2）由题意，设这周该电子产品获得的利润为w元， ∵销售量不少于800件， ∴﹣10x+1500≥800，解得：x≤70， ∴w＝y（x﹣30）＝（﹣10x+1500）（x﹣30）＝﹣10（x﹣90）2+36000， ∵a＜0，在对称轴直线x＝90的左侧，函数值w随自变量x的增大而增大， ∵x≤70， ∴x＝70时，w有最大值，最大值为﹣10（70﹣90）2+36000＝32000， ∴这周该电子产品获得的最大利润为32000元； （3）若产品的进价每件提高m元（m＞0）时，则进价为（30+m）元， 由题意可得：w＝y（x﹣30﹣m）＝（﹣10x+1500）（x﹣30﹣m）＝﹣10x2+（1800+10m）﹣1500（30+m）， ∵a＜0，抛物线对称轴为直线x90m， ∴当x≤90m时，该产品的利润才随售价的增大而增大， ∵这种产品的售价不超过进价的2倍， ∴90m≥2（30+m），解得：m≤20， 又m＞0， ∴0＜m≤20， 故答案为：0＜m≤20． 3．（2025·启东市·二模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60． （1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是　　． 【详解】解：（1）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x+b1， 由题意可得：，解得：， ∴y1与x之间的函数关系式为y1x+60（0＜x≤120）； （2）若m＝90，设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x+90， 由题意可得：50＝120k2+90，解得：k2， ∴这个函数的表达式为：y2x+90（0＜x≤120）， 设产量为x kg时，获得的利润为W元， 由题意可得：W＝x[（x+90）﹣（x+60）]x2+30x（x﹣90）2+1350， ∴当x＝90时，W取得最大值，最大值为1350， 答：若m＝90，该产品产量为90kg时，获得的利润最大，最大利润是1350元； （3）设y＝k2x+m， 由题意可得：120k2+m＝50，解得：k2， ∴这个函数的表达式为：yx+m， 由题意可得：W＝x[（x+m）﹣（x+60）]x2+（m﹣60）x， ∵60＜m≤70， ∴a0，b＝m﹣60＞0， ∴0，即该抛物线对称轴在y轴左侧， ∴当0＜x≤120时，w'随x的增大而增大， ∴当x＝120时，w'的值最大，w'max＝1200元． ∴60＜m＜70时，该产品产量为120kg时，获得的利润最大，最大利润为1200元， 故答案为：1200元． 1．（2025·沭阳县·校级三模）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为6，则a的值为　　． 【详解】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x2+2x+1）+1﹣a＝a（x+1）2+1﹣a， ∴m＝﹣1，k＝1﹣a， ∵抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为6， ∴y0﹣k＝6， ∴y0＝6+k＝6+1﹣a＝7﹣a， ∵2， ∴x0﹣m＝3， ∴x0＝m+3＝﹣1+3＝2， ∴P（2，7﹣a） ∴7﹣a＝a（2+1）2+1﹣a，解得：a． 故答案为：． 2．（2025．海州区．期末）我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为m2≥0（m是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由（a﹣b）2≥0可得： a2﹣2ab+b2≥0，可得：a2+b2≥2ab，所以，并且当a＝b时，a2+b2＝2ab． （1）请证明：； （2）将称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最大（小）值．例如，求函数y＝x（7﹣x）（0≤x≤7）的最大值，我们可以将x、7﹣x分别看作a、b，则，即，两边平方，得，则x（7﹣x）的最大值是． ①函数y＝（6+2x）（4﹣2x）（﹣3≤x≤2）的最大值为　　； ②用一根长80cm的金属丝围成一个矩形的框子，框子的一边长为x cm，用y表示矩形框子的面积，并求出面积的最大值； （3）探究函数的相关性质： ①小明同学对函数进行了如下的列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　　，还可得出它的另一条性质　　； x … 1 2 3 … y … 2 … ②请利用基本不等式求函数的最小值，验证你的操作发现； ③函数的最小值为　　． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设a＝6+2x，b＝4﹣2x， 则， ∴， ∴y≤25， ∴y的最大值为25， 故答案为：25； ②设矩形的一边长为x cm，则另一边长， ∴y＝x（40﹣x）， ∴，即x（40﹣x）≤400， ∴面积的最大值为400cm2； （3）解：①连线如图： 观察图象可得：它的最小值为2， 当x＞1时，y随x的增大而增大或0＜x≤1时，y随x的增大而减小（写一条即可）， 故答案为：2，当x＞1时，y随x的增大而增大或0＜x≤1时，y随x的增大而减小（写一条即可）； ②由条件可知：， ∴最小值是2； ③∵， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.5 用二次函数解决问题 题型一 简单的情景化问题 1．（2025·广陵区·校级二模）我们常用“y随x的增大而增大（或减小）”来表示两个变量之间的变化关系．有这样一个情境：如图，小王从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他与路灯C的距离y随他与点A之间的距离x的变化而变化．下列函数中y与x之间的变化关系，最有可能与上述情境类似的是（　　） A． B．y＝﹣x+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝﹣（x﹣3）2+3 2．（2022·通州区·校级月考）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（　　）度． A．36 B．45 C．50 D．42 3．（2025·无锡·一模）一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度h（米）与时间t（秒）之间的关系由二次函数h＝﹣5t2+20t描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（　　） A．物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C．物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D．物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 4．（2025·东台市·月考）为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为y元，设平均每次降价的百分率是x，则y关于x的函数表达式为　　． 5．（2024·连云港·期末）心理学家研究发现，某年龄段的学生30min内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），则第　　min时学生接受概念的能力最强． 6．（2025·南通·三模）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了　　m． 题型二 简单的抛物线形问题 1．（2025·射阳县·月考）运动员推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，铅球在空中飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似地满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了铅球飞行中的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该铅球飞行到最高点时，水平距离最接近的是（　　） A．2.6m B．3m C．3.5m D．4.8m 2．（2024·大丰·区期末）东台鱼汤面是“中华名小吃”．如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽28cm，碗深OA＝9.8cm，则当满碗汤面的竖直高度下降4.8cm时，碗中汤面的水平宽度为　　cm（碗的厚度不计）． 3．（2025·如东县·校级模拟）如图一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯．两盏景观灯之间的水平距离为　　米． 4．（2024·宝应县·期末）如图，投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是，出手后实心球沿一段抛物线运行水平距离5m时，到达最高点高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝　　m． 题型三 几何图形的面积问题 1．（2025·泗阳县·校级一模）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为　　m2． 2．（2024·睢宁县·期中）某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） （1）设菜地的宽AB为x米，则AD＝　　米（用含x的代数式表示）； （2）当x为何值时，围成的菜地面积为192平方米？ （3）当x为何值时，围成的菜地面积最大？ 3．（2024·清江浦区·校级月考）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃AB边为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当AB边为多少时，花圃面积最大，最大面积是多少平方米？ 4．（2025·南京·校级期末）如图，在一块空地上有一段长为a米的旧墙MN，现在利用旧墙一部分AD（不超过MN）和100米长的木栏围成一个矩形菜园ABCD． （1）若a＝30，求矩形菜园ABCD面积的最大值； （2）若木栏增加2a米，矩形菜园ABCD面积的最大值为2800米2，则a的值为　　． 题型四 利润问题 1．（2025·工业园区·校级模拟）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个． （1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？ （2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？ 2．（2025·泗洪县·一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表， 售价x元/件 50≤x≤60 60＜x≤80 销售量（件） 100 400﹣5x 求当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ 3．（2022·江都区·月考）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示． （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式； （2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨． ①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？ ②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？ 4．（2025·玄武区·二模）某商场销售某种产品，销售量y（单位：kg）与售价x（单位：元/kg）（20≤x≤36）之间的函数关系如图所示． （1）当20≤x≤32时，求y与x的函数关系式； （2）若产品的进价为12元/kg，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 题型一 复杂的情景化问题 1．（2025·徐州·中考）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作y m；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1 m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2 m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝　　m，d2＝　　m； （2）设骑行速度为x km/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 题型二 复杂的抛物线形问题 1．（2025·盐城·一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB＝20m，当水位上升3m时，水面宽CD＝10m． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.3m，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点2m时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 2．（2024·句容市·期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度OH为1.2m，草坪水平宽度DE＝3m，竖直高度忽略不计．上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离OD为d（单位：m）． （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC的长； （2）下边缘抛物线落地点B的坐标为　　； （3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为　　． 3．（2024·玄武区·期末）如图，南京长江四桥是中国首座三跨吊悬索桥，该索桥的主体部分由两座高度相同的索塔AO，BC，三条缆索L1，L2，L3，以及连接缆索与桥面的吊杆组成．缆索L1，L2，L3的形状均近似是抛物线，索塔、吊杆均与桥面垂直．以O为原点，桥面OC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．测得索塔AO＝BC＝200m，桥面OC＝1200m，锚碇D到索塔OA的距离OD＝400m，缆索L1的最低点P到桥面OC的距离为20m． （1）求缆索L1所在抛物线的表达式； （2）同一直角坐标系中，缆索L2所在抛物线的表达式为． ①求b，c的值； ②为了加固桥梁，计划在索塔OA左、右两侧各安装一根吊杆，且两根吊杆之间的距离为150m．要使两根吊杆的长度之和最小，如何确定两根吊杆的安装位置？请直接写出在索塔OA左侧需安装的吊杆与OA之间的距离． 4．（2025·盐城·中考）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　　m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 题型三 利润问题（升级版） 1．（2025·锡山区·校级二模）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝（售价﹣成本）×销售量】 （3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 2．（2025·梁溪区·校级月考）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 （1）求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； （2）若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； （3）规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（m＞0）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为　　． 3．（2025·启东市·二模）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段AB表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系；线段CD表示该产品销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系，已知0＜x≤120，m＞60． （1）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式； （2）若m＝90，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）若60＜m≤70，该产品获得的利润最大利润是　　． 1．（2025·沭阳县·校级三模）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为6，则a的值为　　． 2．（2025．海州区．期末）我们知道：一个实数的平方是非负数，可以表示为m2≥0（m是实数）．根据这个性质，我们可以有很多的发现：如由（a﹣b）2≥0可得： a2﹣2ab+b2≥0，可得：a2+b2≥2ab，所以，并且当a＝b时，a2+b2＝2ab． （1）请证明：； （2）将称之为基本不等式，利用基本不等式我们可以求一些函数的最大（小）值．例如，求函数y＝x（7﹣x）（0≤x≤7）的最大值，我们可以将x、7﹣x分别看作a、b，则，即，两边平方，得，则x（7﹣x）的最大值是． ①函数y＝（6+2x）（4﹣2x）（﹣3≤x≤2）的最大值为　　； ②用一根长80cm的金属丝围成一个矩形的框子，框子的一边长为x cm，用y表示矩形框子的面积，并求出面积的最大值； （3）探究函数的相关性质： ①小明同学对函数进行了如下的列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　　，还可得出它的另一条性质　　； x … 1 2 3 … y … 2 … ②请利用基本不等式求函数的最小值，验证你的操作发现； ③函数的最小值为　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $