第一章 数列（高效培优复习讲义）数学湘教版2019选择性必修第一册

第一章 数列 复习讲义 教学目标 1.理解数列、通项公式、前n项和公式的意义，掌握周期型数列的处理方法； 2.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，能够熟练进行等差数列、等比数列的基本量运算； 3.理解掌握等差数列、等比数列的常用性质，特别是中项、下标和、片段和性质，理解掌握等差数列的二次函数性质； 4.掌握公式法、分组(并项)求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序求和法等常用的数列求和方法； 5.掌握由递推关系求通项公式的常用方法； 6.理解数学归纳法，掌握数学归纳法的步骤； 7.掌握数列奇偶项问题的方法； 教学重难点 1、重点：等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式及它们的常用性质、递推关系、数列求和方法； 2、难点：递推关系、错位相减法、奇偶项问题； 知识点01 数列的概念 (一)数列的概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 3.数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法． 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线． (二)数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 (三)数列的通项公式 1.通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 2.递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值，直接代入求出 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的，也可通过变形转化，直接求出 【即学即练1-1】(2025高二·全国·专题练习)符合递推关系式的数列是(  )． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【即学即练1-2】(24-25高二下·四川绵阳·期末)已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的(  ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即学即练1-3】(24-25高二下·四川眉山·期末)数列的一个通项公式为(   ) A． B． C． D． 知识点02 等差数列 (一)等差数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示， 定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． 2.等差中项:若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有． (二)等差数列的有关公式 1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式：Sn＝na1＋. (三)等差数列的常用性质:已知{an}为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 特别地，若，则． 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取为等差数列，公差为． (2)等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为． (3)算术平均值，即为等差数列，公差为． (4)若，是等差数列，则也是等差数列． 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是；则。 4.若项数为偶数，则；；． 5.若项数为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an；；． 7.在等差数列{an}中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 8.若则有最大值(所有正项或非负项之和)；可由不等式组来确定n； 若，则有最小值(所有负项或非正项之和)；可由不等式组来确定n. 若公差为常数列． (四)等差数列的四种判断方法 1.定义法(或者)(是常数)是等差数列． 2.等差中项法： ()是等差数列． 3.通项公式：(为常数)是等差数列． 4.前项和公式：(为常数)是等差数列． 【即学即练2-1】(24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末)已知等差数列中，，，则其公差(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2-2】(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列的公差为1，，则(    ) A． B． C． D． 知识点03 等比数列 (一)等比数列的有关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列． 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为(n∈N*，q为非零常数)(或)． 2.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. (二)等比数列的基本公式 1.通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 2.等比数列{an}的公比为，其前项和为 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． (2)已知(项数)，则利用求解；已知，则利用求解． (3)，为指数型函数，且系数与常数互为相反数． (三)等比数列的性质 1.对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． 2.衍生等比数列 (1)设{an}为等比数列，则(为非零常数)，，仍为等比数列． (2)设与为等比数列，则也为等比数列． (3)为等比数列，等间距抽取为等比数列，公比为． (4)为等比数列，等长度截取:Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等比数列，公比为(若时，则m是奇数)． (5)为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 3.等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定)． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 【即学即练3-1】(25-26高三上·湖北荆州·开学考试)已知等比数列中，，，则(   ) A．16 B．16或 C．32 D．32或 【即学即练3-2】(24-25高二下·重庆渝中·期中)若数列是等比数列，，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 知识点04 递推关系、数列求通项 (一).已知求(项与和的互化)：an＝ 注意：绝大部分题目是把用an替换，得到形如：的式子；有时需逆向思维，把题目中的an用替换,得到形如：的式子。 (二).累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)， 则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加， 即 (n≥2)．代入a1得an． (1)若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； (2)若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； (3)若是关于n的二次函数，累加后可分组求和； (4)若是关于n的分式函数，累加后可裂项求和． (三).累乘法：已知a1且(n≥2)， 则，，…，，，所有等式左右两边分别相乘， 即(n≥2)．代入a1得an． (四).构造法 1.形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{}为等差数列； (2)若B=0时，数列{}为等比数列； (3)若A≠1且B≠0时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：化为an＋1＋＝A的形式，利用是以A为公比的等比数列求解 法二：由an＋1＝Aan＋B得两式相减并整理得即构成以为首项，以A为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.形如型的递推式： (1)当为一次函数类型(即等差数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得： ，令得：进而可求出 (2)当为指数函数类型(即等比数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项， 以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，， 后一式子两边同时乘以得——②，由①②两式相减得， 即，进而可求出 (3)当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以 可得到，令，则，在求出之后得． 3.形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 4.形如(其中p，q均为常数)或(其中p，q， r均为常数)时，两边同时除以，得：，引入辅助数列，得：进而可求． 5.形如：两边取对数得，令得：，即化归为型，求出之后得(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 6.形如：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解． 方法为：设，比较系数得，可解得， 于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 7.形如，两边同除以，变形为的形式，从而构造等差数列， 先求出的通项，便可求得的通项公式 (五).倒数法：用“倒数变换法”构造等差数列 1.形如(为常数，)的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如(p,q为常数，，两边取“倒”，变形为：，可换元：，化简为：(此类型即前面类型，可用“待定系数法”构造出新的等比数列) 【即学即练4-1】(24-25高二下·河南南阳·阶段练习)某数列前12项依次是，则数列中的值应为(   ) A．56 B．60 C．62 D．64 【即学即练4-2】(2025高三下·全国·专题练习)在数列中，，，则(   ) A． B． C．0 D． 知识点05 数列求和 1.公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ (3)特殊公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝； ； ； 12＋22＋…＋n2＝； 。 2.分组转化法 通项为cn＝an＋bn的数列求和，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 【常用的裂项公式】 裂项模型1：等差型：若{an}是等差数列，则＝，＝； (1)；； (2)； (3)； (4)；； (5) (－1)n＝(－1)n． 裂项模型2：根式型 (1)；； (2)； (3)； (4)； 裂项模型3：指数型 (1)＝－， (2)＝； (3) (4) (5)＝－； (6)； (7) (8) (9) 裂项模型4：对数型 (1) (2)loga＝loga(n＋1)－logan； 裂项模型5：三角型 (1) (2) (3) 4.错位相减法 如果通项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，前n项和一般用错位相减法求解. 错位相减法的万能公式：若， 则数列的前n项和为：，其中：； 5.倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 6.并项求和法：通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. 【即学即练5-1】(24-25高二上·广西南宁·阶段练习)数列{}的通项为，则数列{}的前n项和为(    ) A． B． C． D． 【即学即练5-2】(24-25高二下·新疆吐鲁番·期中)已知数列的前项和为，若，则(   ) A． B． C． D． 【即学即练5-3】(24-25高二下·全国·课后作业)数列的前项和等于(    ) A． B． C． D． 题型01 观察法判断数列的项或通项 【典例1-1】(24-25高二下·陕西·期中)已知数列，则该数列的第36项为(   ) A． B．36 C． D．6 【典例1-2】(24-25高二下·湖北孝感·期中)数列的一个通项公式为(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(24-25高二下·江西赣州·期末)数列为，则不能作为通项公式的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-1】(2025高二·全国·专题练习)数列的第8项是(  )． A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中)已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为(  ) A． B． C． D． 【变式1-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(   ) A． B． C． D． 【变式1-4】(多选)(24-25高二上·河北保定·阶段练习)下列有关数列的说法正确的是(   ) A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【变式1-5】(2025高二·全国·专题练习)如图，观察其中数的规律，第6行左起第4个数是 ． 1 2     4 3     5     7 6     8    10    12 9    11    13    15    17 … 题型02 由递推关系写出数列的项 【典例2-1】(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知数列满足，若，则(   ) A． B． C．1 D．2 【典例2-2】(24-25高二下·陕西渭南·阶段练习)数列满足，，，，则的值为(   ). A．13 B．14 C．15 D．16 【典例2-3】(24-25高二下·河南周口·期末)数列的通项公式为，若，则(  ) A．9 B．10 C．11 D．12 【变式3-1】(24-25高二下·北京·期中)若数列满足，则(   ) A．16 B．20 C．24 D．28 【变式2-2】(23-24高二下·四川绵阳·阶段练习)已知数列满足，，则(  ) A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知数列满足，且，则(   ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式2-4】(多选)(24-25高三上·辽宁·阶段练习)已知，下列选项能正确表示数列的公式有(   ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(2025·海南海口·模拟预测)数列满足：，已知，则(  ) A．14 B．15 C．17 D．18 【变式2-6】(2025高二·全国·专题练习)已知数列：，则该数列的第17项 ． 题型03 通项公式或前n项和公式的函数性质 【典例3-1】(24-25高二下·广东广州·期中)已知数列的通项公式是，则122是该数列的(   ) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【典例3-2】(24-25高二下·江西景德镇·期末)数列通项公式，则数列的最大值是(  ) A．3 B．2 C． D． 【典例3-3】(24-25高二下·浙江杭州·期末)已知数列的前n项和为，则最小时，(  ) A．47 B．48 C．49 D．50 【典例3-4】(多选)(24-25高二上·河北保定·期末)下列数列中，一定是单调递增数列的是(   ) A． B． C． D． 【典例3-5】(2025高二·全国·专题练习)数列的通项公式为，则的最大项为第 项． 【变式3-1】(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中)已知数列满足，则是它的(   ) A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【变式3-2】(多选)(24-25高二下·陕西铜川·阶段练习)已知递增数列的通项公式为，则的值可能为(   ) A． B． C．2 D．6 【变式3-3】(多选)(24-25高二下·广西南宁·开学考试)下列数列中，一定是单调递增数列的是(  ) A． B． C． D． 【变式3-4】(多选)(24-25高三下·福建福州·开学考试)若数列为递增数列且数列也为递增数列，则称为“重增数列”.下列数列中，是重增数列的有(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【变式3-6】(24-25高二下·上海·期末)已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 题型04 等差数列的基本量运算 【典例4-1】(24-25高二下·广东深圳·期中)已知数列满足，若，则(   ) A．28 B．13 C．18 D．2 【典例4-2】(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知等差数列的公差为，则(  ) A． B． C． D． 【典例4-3】(2025高三·全国·专题练习)记为等差数列的前n项积，，，则数列的最小项与最大项的和为(   ) A．-28 B．-16 C．-7 D．0 【典例4-4】(24-25高二下·河南南阳·期末)通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是(    ) A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-1】(24-25高二下·贵州黔西·期末)已知为公差不为0的等差数列，若，则(  ) A．9 B．8 C．7 D．6 【变式4-2】(24-25高二下·江西九江·期末)已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为(   ) A．5 B．4 C．3 D． 【变式4-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知四个正数成等差数列，则(   ) A． B． C． D．3 【变式4-4】(24-25高三上·天津·期中)在数列中，，，则等于(   ) A．630 B．648 C．660 D．675 【变式4-5】(24-25高二下·四川成都·阶段练习)已知等差数列中，，，则数列的前项和为( ) A． B． C． D． 【变式4-6】(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列满足，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式4-7】(多选)(2025·云南昆明·模拟预测)已知数列的前n项和为，为等差数列，则下列说法正确的是(    ) A．数列是等差数列 B． C．若，且，则 D．若，，则为等差数列 【变式4-8】(24-25高一下·上海青浦·期末)已知等差数列满足，，则 ． 题型05 等差数列的性质 【典例5-1】(24-25高二下·海南海口·期末)在等差数列中，已知，，则(   ) A．12 B．14 C．16 D．18 【典例5-2】(11-12高二上·广东揭阳·期末)已知数列是等差数列，，则(  ) A． B． C． D． 【典例5-3】(24-25高二下·河南焦作·期末)已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则(   ) A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【典例5-4】(24-25高三下·重庆·阶段练习)已知为等差数列，若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【典例5-5】(24-25高二下·四川成都·期中)已知数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，，则取得最小正值时，的值为(    ) A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【典例5-6】(23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习)两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于(    ) A． B． C． D． 【典例5-7】(24-25高二下·重庆·阶段练习)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 【变式5-1】(2025·广东·模拟预测)已知等差数列的前项和为，若，则(   ) A． B． C． D． 【变式5-2】(24-25高二下·云南曲靖·期末)等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为(   ) A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【变式5-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知等差数列的前项和为，若，则的值为(   ) A．40 B．50 C．60 D．100 【变式5-4】(24-25高二下·辽宁锦州·期中)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为( ) ①数列是递减数列；②；③当取得最大值时，；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-5】(2025高二下·全国·专题练习)将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则(    ) A．77 B．83 C．87 D．95 【变式5-6】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)设等差数列的前项和分别是，若，则(    ) A． B． C． D． 【变式5-7】(2025·湖北·模拟预测)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 题型06 等比数列的基本量运算 【典例6-1】(2025·江苏南京·一模)已知等比数列的前3项和为168，，则( ) A． B．6 C．3 D．2 【典例6-2】(2025·陕西西安·一模)已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则(    ) A．8 B．2 C．1 D． 【典例6-3】(25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试)已知为等比数列，且，，则公比等于(    )． A． B． C．2 D．4 【变式6-1】(24-25高二下·河南开封·期末)已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是(   ) A． B． C． D． 【变式6-2】(25-26高三上·贵州·开学考试)定义：.若等比数列满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式6-3】(24-25高二下·江西抚州·期末)在等比数列中，是方程的两根，则的值为(   ) A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 【变式6-4】(多选)(24-25高二下·贵州遵义·期末)已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是(   ) A． B． C． D．数列是等差数列 【变式6-5】(24-25高二下·北京延庆·期末)已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为 . 【变式6-6】(24-25高二下·海南·期中)已知等差数列的公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，若，，则数列的前6项之和为 ． 题型07 等比数列的性质 【典例7-1】(24-25高二上·安徽合肥·期末)已知等比数列的前n项和为，则(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【典例7-2】(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)正项等比数列前项和为，，则(    ) A．144 B． C．162 D．240 【典例7-3】(23-24高二上·重庆·期中)已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-1】(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则(    ) A．8 B．9 C．16 D．18 【变式7-2】(25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习)已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为(   ) A．81 B．145 C．256 D．273 【变式7-3】(2025·四川巴中·模拟预测)已知数列是等比数列，数列是等差数列，若.则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式7-4】(24-25高二下·广西·期中)已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则(    ) A．0 B．54 C．49 D．42 【变式7-5】(25-26高三上·广西·开学考试)记为等比数列的前项和，若，，则(    ) A．512 B．-512 C．1024 D． 【变式7-6】(多选)(24-25高二下·广东佛山·期中)已知数列中，，，下列说法正确的是(   ) A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 【变式7-7】(多选)(2025·四川成都·模拟预测)关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是(    ) A．若数列的前项和为且，则是等差数列 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【变式7-8】(2025高三·全国·专题练习)设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于198，其中正确的结论是 . 题型08 由递推关系求数列通项 【典例8-1】(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)数列满足：，，则(    ) A． B． C． D． 【典例8-2】(2025高三·全国·专题练习)设为数列的前n项积，且，，，则(    ) A． B． C． D． 【典例8-3】(24-25高二下·广东·阶段练习)记为首项为1的数列的前项和，且，则(    ) A． B． C． D． 【典例8-4】(23-24高二上·河南信阳·期末)已知数列满足．且，若，则 ． 【变式8-1】(24-25高二上·黑龙江绥化·期末)已知数列满足，则(   ) A．2 B． C． D． 【变式8-2】(24-25高二下·湖北·阶段练习)已知数列满足，，则的最小值为(   ) A． B． C．7 D． 【变式8-3】(多选)(24-25高二下·江西·期末)数列的前项和为，且，则(  ) A． B． C． D． 【变式8-4】(多选)(24-25高二上·山东聊城·阶段练习)下列给出的命题中正确的有(   ) A．数列和数列是相同数列 B．数列的一个通项公式是 C．数列的前项和，则 D．数列满足，，则 【变式8-5】(多选)(2025·甘肃白银·模拟预测)已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的有(   ) A． B．当为偶数时， C．当为奇数时， D． 【变式8-6】(2025高三·全国·专题练习)已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 题型09 周期型数列 【典例9-1】(24-25高二下·辽宁锦州·期末)已知数列中，，则(  ) A． B． C． D．5 【典例9-2】(24-25高二下·河南驻马店·期末)在数列中，已知，，，则(   ) A．3 B． C．6 D． 【典例9-3】(24-25高二上·宁夏银川·期末)已知数列满足，，则数列的前9项和为(  ) A．6 B． C．3 D． 【变式9-1】(24-25高二下·江苏盐城·期末)数列满足，，则(   ) A． B． C． D．3 【变式9-2】(24-25高二下·江西吉安·期末)已知数列满足，且，则(   ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 【变式9-3】(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列满足，则(  ) A． B． C． D．2 【变式9-4】(多选)(24-25高二下·四川资阳·期末)数列满足，，则(  ) A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 【变式9-5】(24-25高二下·湖北武汉·期末)记数列的前项和为，且，则 . 【变式9-6】(2025高二·全国·专题练习)已知数列，，，且任意连续三项的和都是15，则 ． 题型10 数列的奇偶项问题 【典例10-1】(24-25高三下·海南海口·阶段练习)数列，则(    ) A．44 B．143 C．165 D．502 【典例10-2】(2025高三·全国·专题练习)已知数列满足：(为正整数)，，若，则所有可能的取值为 ． 【典例10-3】(2025高二·全国·专题练习)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具，它的九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为 ． 【变式10-1】(24-25高三上·辽宁锦州·期末)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为(   ) A．162 B．180 C．200 D．220 【变式10-2】(多选)(24-25高三上·黑龙江鸡西·期中)已知为等差数列，，记分别为数列的前项和(    ) A．是等差数列 B． C． D．若是单调递增数列，则最小值为 【变式10-3】(多选)(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是(   ) A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 【变式10-4】(多选)(2025·河北秦皇岛·一模)已知数列满足，，则(   ) A． B．当是偶数时， C．数列是常数列 D． 【变式10-5】(2026高三·全国·专题练习)数列定义如下：，且当时，，已知，则正整数的值为 . 【变式10-6】(24-25高二下·山东淄博·期末)已知数列满足，且，其中，，则 . 题型11 数列求和 【典例11-1】(2025·陕西咸阳·模拟预测)若是等比数列，且，则数列的前8项和为(    ) A．689 B．716 C．729 D．1597 【典例11-2】(24-25高三上·云南大理·开学考试)在数列中，，且，则数列的前2025项和为(    ) A． B． C． D． 【典例11-3】(多选)(25-26高三上·四川成都·开学考试)已知数列满足，则下列结论正确的是(    ) A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 【典例11-4】(24-25高二上·湖南株洲·期末)已知数列的通项公式为，则数列的前项和(    ) A． B． C． D． 【典例11-5】(24-25高二下·北京西城·阶段练习)数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则(    ) A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【变式11-1】(24-25高二下·辽宁丹东·期中)已知数列的通项公式为为其前项和，则(    ) A． B． C．493 D．495 【变式11-2】(24-25高二下·河南·阶段练习)已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于(    ) A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【变式11-3】(24-25高二上·江苏无锡·期末)南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为(　　) A． B． C． D． 【变式11-4】(24-25高二上·全国·课后作业)在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和(    ) A． B． C． D． 【变式11-5】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为(   ) A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【变式11-6】(24-25高二下·湖北·阶段练习)已知数列、满足，，这两个数列的项组成一个集合，集合中的数按从小到大的顺序排列组成数列，的前项和为，则(   ) A． B． C． D． 【变式11-7】(多选)(24-25高二下·安徽宿州·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有(   ) A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前项和 题型12 数学归纳法 【典例12-1】(24-25高二下·四川绵阳·阶段练习)用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(    ) A． B． C． D． 【典例12-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知命题及其证明： (1)当时，左边，右边，所以等式成立． (2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述(    ) A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【典例12-3】(23-24高二上·江苏连云港·阶段练习)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为(    ) A．1348 B．675 C．1349 D．1350 【变式12-1】(24-25高二上·全国·课堂例题)用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是(    ) A．1 B． C． D． 【变式12-2】(24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习)下列命题错误的个数是(   ) ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： (1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当(且)时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立.综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式12-3】(24-25高二下·全国·课后作业)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是(    ) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【变式12-4】(多选)(24-25高二·上海·随堂练习)已知数列满足，且(n为正整数)，利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： (1)当时，满足，命题成立； (2)假设(k为正整数)时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由(1)(2)知． 判断以下评述：(    ) A．猜想正确，推理(1)正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理(1)(2)都正确 D．猜想正确，推理(2)不正确 【变式12-5】(多选)(2023高二上·江苏·专题练习)以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当(是题中给定的n的初始值)时命题成立”的是( ) A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【变式12-6】(24-25高一下·上海杨浦·开学考试)数学的浪漫难以言表，今年是2025年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为 年之约. 一、单选题 1.(25-26高三上·湖南常德·开学考试)已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则(   ) A．14 B．30 C．42 D．60 2.(24-25高二下·辽宁大连·期中)已知数列满足，，则(   ) A．0 B． C． D． 3.(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)记正数满足为和的等差中项，设甲：为整数；乙：为整数，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4.(23-24高二上·福建泉州·期末)已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数(    ) A．12 B．13 C．24 D．25 5.(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6.(24-25高二下·河南南阳·期末)已知数列的前项和为，若，为等比数列，则(    ) A． B． C． D． 7.(2024·江苏淮安·模拟预测)已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8.(24-25高三上·湖北武汉·阶段练习)已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和(   ) A．9 B．12 C．18 D．27 二、多选题 9.(24-25高二上·河北衡水·阶段练习)下列四个选项中，正确的是(   ) A．数列的项可以相等 B．数列可表示为 C．数列的一个通项公式是 D．数列是递减数列 10.(24-25高二下·江西·期末)已知等比数列的公比为，若，且，则(    ) A．当时， B．当时，的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11.(23-24高二下·湖北武汉·期末)冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则(    ) A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 三、填空题 12.(25-26高三上·上海·开学考试)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ． 13.(24-25高二下·上海·阶段练习)已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 14.(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为 . 四、解答题 15.(24-25高二下·全国·课堂例题)已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列.(2)求数列的通项公式 16.(24-25高二上·江苏·期中)已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式；(2)设，求． 17.(24-25高二下·广东江门·期末)已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前n项和. 18.(24-25高二上·山东枣庄·期末)已知数列，若为等比数列，则称具有性质． (1)若数列具有性质，求； (2)若，求证：数列具有性质； (3)数列具有性质，求． 19.(24-25高二下·云南·开学考试)在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“和数列”. (1)若，判断是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由. (2)在正项数列中，，且. 证明：①可能是等比数列；②若为等比数列，则不是“和数列”. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数列 复习讲义 教学目标 1.理解数列、通项公式、前n项和公式的意义，掌握周期型数列的处理方法； 2.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，能够熟练进行等差数列、等比数列的基本量运算； 3.理解掌握等差数列、等比数列的常用性质，特别是中项、下标和、片段和性质，理解掌握等差数列的二次函数性质； 4.掌握公式法、分组(并项)求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序求和法等常用的数列求和方法； 5.掌握由递推关系求通项公式的常用方法； 6.理解数学归纳法，掌握数学归纳法的步骤； 7.掌握数列奇偶项问题的方法； 教学重难点 1、重点：等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式及它们的常用性质、递推关系、数列求和方法； 2、难点：递推关系、错位相减法、奇偶项问题； 知识点01 数列的概念 (一)数列的概念 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 3.数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法． 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线． (二)数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中 递减数列 常数列 (三)数列的通项公式 1.通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． 2.递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号的值，直接代入求出 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的，也可通过变形转化，直接求出 【即学即练1-1】(2025高二·全国·专题练习)符合递推关系式的数列是(  )． A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】将各个选项的数代入递推关系即可判断. 【详解】对于A，，不满足题意； 对于C，，不满足题意； 对于D，，不满足题意； 对于B，，，，满足.故选：B． 【即学即练1-2】(24-25高二下·四川绵阳·期末)已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的(  ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断数列的增减性 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【详解】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则，所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件，故选：B 【即学即练1-3】(24-25高二下·四川眉山·期末)数列的一个通项公式为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为.故选：D. 知识点02 等差数列 (一)等差数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示， 定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)． 2.等差中项:若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有． (二)等差数列的有关公式 1.通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式：Sn＝na1＋. (三)等差数列的常用性质:已知{an}为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. 特别地，若，则． 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取为等差数列，公差为． (2)等长度截取Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列，公差为． (3)算术平均值，即为等差数列，公差为． (4)若，是等差数列，则也是等差数列． 3.两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是；则。 4.若项数为偶数，则；；． 5.若项数为奇数，则S2n－1＝(2n－1)an；；． 7.在等差数列{an}中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 8.若则有最大值(所有正项或非负项之和)；可由不等式组来确定n； 若，则有最小值(所有负项或非正项之和)；可由不等式组来确定n. 若公差为常数列． (四)等差数列的四种判断方法 1.定义法(或者)(是常数)是等差数列． 2.等差中项法： ()是等差数列． 3.通项公式：(为常数)是等差数列． 4.前项和公式：(为常数)是等差数列． 【即学即练2-1】(24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末)已知等差数列中，，，则其公差(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【难度】0.94【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【详解】因为在等差数列中，，，所以公差．故选：B. 【即学即练2-2】(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列的公差为1，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式. 【详解】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以.故选：C 知识点03 等比数列 (一)等比数列的有关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列． 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为(n∈N*，q为非零常数)(或)． 2.等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. (二)等比数列的基本公式 1.通项公式：设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 2.等比数列{an}的公比为，其前项和为 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． (2)已知(项数)，则利用求解；已知，则利用求解． (3)，为指数型函数，且系数与常数互为相反数． (三)等比数列的性质 1.对任意的正整数m，n，p，t，若m＋n＝p＋t，则am·an＝ap·at. 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a． 2.衍生等比数列 (1)设{an}为等比数列，则(为非零常数)，，仍为等比数列． (2)设与为等比数列，则也为等比数列． (3)为等比数列，等间距抽取为等比数列，公比为． (4)为等比数列，等长度截取:Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等比数列，公比为(若时，则m是奇数)． (5)为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列 3.等比数列的单调性(等比数列的单调性由首项与公比决定)． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 【即学即练3-1】(25-26高三上·湖北荆州·开学考试)已知等比数列中，，，则(   ) A．16 B．16或 C．32 D．32或 【答案】B【难度】0.94【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】求出公比后可求的值. 【详解】设等比数列的公比为，则，故，故，故选：B. 【即学即练3-2】(24-25高二下·重庆渝中·期中)若数列是等比数列，，则(    ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【难度】0.94【知识点】对数的运算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据等比数列的通项公式将表示出来，然后将的表达式列出来，最后计算对数的值. 【详解】因为数列是等比数列， 则，而.则.故选：B. 知识点04 递推关系、数列求通项 (一).已知求(项与和的互化)：an＝ 注意：绝大部分题目是把用an替换，得到形如：的式子；有时需逆向思维，把题目中的an用替换,得到形如：的式子。 (二).累加法：已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)， 则an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2－a1＝f(2)．所有等式左右两边分别相加， 即 (n≥2)．代入a1得an． (1)若是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； (2)若是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； (3)若是关于n的二次函数，累加后可分组求和； (4)若是关于n的分式函数，累加后可裂项求和． (三).累乘法：已知a1且(n≥2)， 则，，…，，，所有等式左右两边分别相乘， 即(n≥2)．代入a1得an． (四).构造法 1.形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{}为等差数列； (2)若B=0时，数列{}为等比数列； (3)若A≠1且B≠0时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 法一：化为an＋1＋＝A的形式，利用是以A为公比的等比数列求解 法二：由an＋1＝Aan＋B得两式相减并整理得即构成以为首项，以A为公比的等比数列．求出的通项再转化为累加法便可求出 2.形如型的递推式： (1)当为一次函数类型(即等差数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得： ，令得：进而可求出 (2)当为指数函数类型(即等比数列)时： 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项， 以为公比的等比数列，再求出的通项整理可得 法二：当的公比为时，由递推式得：——①，， 后一式子两边同时乘以得——②，由①②两式相减得， 即，进而可求出 (3)当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以 可得到，令，则，在求出之后得． 3.形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 4.形如(其中p，q均为常数)或(其中p，q， r均为常数)时，两边同时除以，得：，引入辅助数列，得：进而可求． 5.形如：两边取对数得，令得：，即化归为型，求出之后得(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择)． 6.形如：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解． 方法为：设，比较系数得，可解得， 于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 7.形如，两边同除以，变形为的形式，从而构造等差数列， 先求出的通项，便可求得的通项公式 (五).倒数法：用“倒数变换法”构造等差数列 1.形如(为常数，)的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 2.形如(p,q为常数，，两边取“倒”，变形为：，可换元：，化简为：(此类型即前面类型，可用“待定系数法”构造出新的等比数列) 【即学即练4-1】(24-25高二下·河南南阳·阶段练习)某数列前12项依次是，则数列中的值应为(   ) A．56 B．60 C．62 D．64 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】观察数列，找到规律，即可求解. 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同.奇数项为 则，，，，易知， 所以.故选：B. 【即学即练4-2】(2025高三下·全国·专题练习)在数列中，，，则(   ) A． B． C．0 D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据规律填写数列中的某项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式求得数列的前几项，可得数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】因为，，所以，，， 所以数列是以3为周期的周期数列，由，则．故选：D. 知识点05 数列求和 1.公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式：Sn＝. (2)等比数列的前n项和公式：Sn＝ (3)特殊公式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝； ； ； 12＋22＋…＋n2＝； 。 2.分组转化法 通项为cn＝an＋bn的数列求和，其中{an}与{bn}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 【常用的裂项公式】 裂项模型1：等差型：若{an}是等差数列，则＝，＝； (1)；； (2)； (3)； (4)；； (5) (－1)n＝(－1)n． 裂项模型2：根式型 (1)；； (2)； (3)； (4)； 裂项模型3：指数型 (1)＝－， (2)＝； (3) (4) (5)＝－； (6)； (7) (8) (9) 裂项模型4：对数型 (1) (2)loga＝loga(n＋1)－logan； 裂项模型5：三角型 (1) (2) (3) 4.错位相减法 如果通项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，前n项和一般用错位相减法求解. 错位相减法的万能公式：若， 则数列的前n项和为：，其中：； 5.倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. 6.并项求和法：通项公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a为常数，n∈N*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论. 【即学即练5-1】(24-25高二上·广西南宁·阶段练习)数列{}的通项为，则数列{}的前n项和为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组(并项)法求和 【分析】根据分组求和法计算即可求解. 【详解】因为， 所以.故选：B. 【即学即练5-2】(24-25高二下·新疆吐鲁番·期中)已知数列的前项和为，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】裂项相消法求和【分析】根据裂项相消求和法求解. 【详解】已知， 则.故选：B. 【即学即练5-3】(24-25高二下·全国·课后作业)数列的前项和等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】错位相减法求和 【分析】根据错位相减法求解即可得答案. 【详解】设的前项和为，则，① 所以，② ①②，得， 所以．故选：B. 题型01 观察法判断数列的项或通项 【典例1-1】(24-25高二下·陕西·期中)已知数列，则该数列的第36项为(   ) A． B．36 C． D．6 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为，所以.故选：C 【典例1-2】(24-25高二下·湖北孝感·期中)数列的一个通项公式为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项、观察法求数列通项 【分析】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【详解】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；故选：B. 【典例1-3】(24-25高二下·江西赣州·期末)数列为，则不能作为通项公式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】观察法求数列通项【分析】根据题意逐项验证即可求解. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：C. 【变式1-1】(2025高二·全国·专题练习)数列的第8项是(  )． A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】观察法求数列通项【分析】运用观察法分别写出分子和分母的通项公式． 【详解】重写数列的前5项，，，，， 通过观察得该数列的通项公式为，，所以第8项为．故选：B． 【变式1-2】(24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中)已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为(  ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.84【知识点】观察法求数列通项【分析】利用排除法得到数列的通项公式即可. 【详解】对于A，，与题意不符，故A错误， 对于B，，，，，，故B正确， 对于C，，与题意不符，故C错误， 对于D，，与题意不符，故D错误.故选：B 【变式1-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】根据四个选项的通项公式写出前六项，与题干比较，得到答案. 【详解】对于A，，取前六项得2，0，2，0，2，0，不满足条件，故A错误； 对于B，，取前六项得，不满足条件，故B错误； 对于C，，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件，故C正确； 对于D，，取前六项得0，2，2，8，12，22，不满足，故D错误．故选：C. 【变式1-4】(多选)(24-25高二上·河北保定·阶段练习)下列有关数列的说法正确的是(   ) A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项、数列的概念及辨析、观察法求数列通项 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或(舍去)，故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是，故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确.故选：BCD. 【变式1-5】(2025高二·全国·专题练习)如图，观察其中数的规律，第6行左起第4个数是 ． 1 2     4 3     5     7 6     8    10    12 9    11    13    15    17 … 【答案】20【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项【分析】根据数字规律求解即可. 【详解】由数阵的规律可以发现，它的行是按照奇数和偶数间隔排列的， 则第6行应该由偶数组成，且第6行的第1个数为14，则第4个数为20．故答案为：20. 【变式1-6】(24-25高二下·浙江温州·期末)2，4，6，8，10，，第项为 . 【答案】【难度】0.85【知识点】观察法求数列通项 【分析】由数列的前五项归纳通项，并计算出第项. 【详解】由数列2，4，6，8，10，，得，所以.故答案为：. 题型02 由递推关系写出数列的项 【典例2-1】(24-25高二下·江西萍乡·期中)已知数列满足，若，则(   ) A． B． C．1 D．2 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项【分析】根据递推关系计算即可. 【详解】令可得，；令可得，．故选：C． 【典例2-2】(24-25高二下·陕西渭南·阶段练习)数列满足，，，，则的值为(   ). A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据数列递推关系式，依次写出即可. 【详解】由题意，.故选：C. 【典例2-3】(24-25高二下·河南周口·期末)数列的通项公式为，若，则(  ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B【难度】0.85【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据通项公式结合及对应的范围求参数即可. 【详解】若，则，显然， 若，则，满足.故选：B 【变式3-1】(24-25高二下·北京·期中)若数列满足，则(   ) A．16 B．20 C．24 D．28 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据递推公式写出数列的项【分析】直接代入一一计算即可得到答案. 【详解】，，，.故选：C. 【变式2-2】(23-24高二下·四川绵阳·阶段练习)已知数列满足，，则(  ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用数列的递推公式，对依次赋值计算即得. 【详解】因，由可得，.故选：A. 【变式2-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知数列满足，且，则(   ) A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B【难度】0.65【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推关系，分别令，，，求得答案. 【详解】，令，可得； 令，可得；令，可得．故选：B. 【变式2-4】(多选)(24-25高三上·辽宁·阶段练习)已知，下列选项能正确表示数列的公式有(   ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、判断或写出数列中的项、观察法求数列通项【分析】ACD项根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项；B项根据递推关系可推得，再由可得. 【详解】对A，当为奇数时，，不符合数列，故A错误； 对B，由，可得，由可得，故， 由，可知当为奇数时，；由，可知当为偶数时，. 故该递推公式符合数列，故B正确； 对C，当时，，不符合数列，故C错误； 对D，当为奇数时，，当为偶数时，， 符合数列的通项公式，故D正确.故选：BD. 【变式2-5】(多选)(2025·海南海口·模拟预测)数列满足：，已知，则(  ) A．14 B．15 C．17 D．18 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】本题考查数列的递推关系，由数列的递推式求出数列的前4项，再求和即可． 【详解】解：由题意可知，当为偶数时，；当为奇数时，， 因为，所以，则或， 若，则或，所以或； 当时，则，所以， 综上所述，的所有可能取值为14，15，18．故选：ABD． 【变式2-6】(2025高二·全国·专题练习)已知数列：，则该数列的第17项 ． 【答案】/【难度】0.85【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】可以将数列分组，确定第17项应该是第6组的第2个，即可得解. 【详解】可以将数列分组如下：，，，，， 由项数，知第17项应该是第6组的第2个， 而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项．故答案为： 题型03 通项公式或前n项和公式的函数性质 【典例3-1】(24-25高二下·广东广州·期中)已知数列的通项公式是，则122是该数列的(   ) A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断或写出数列中的项【分析】解方程，即可得出答案. 【详解】令，解得(舍去负值)， 所以，，即122是该数列的第11项.故选：B. 【典例3-2】(24-25高二下·江西景德镇·期末)数列通项公式，则数列的最大值是(  ) A．3 B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】确定数列中的最大(小)项 【分析】由数列的通项对应的函数为二次函数，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为，其对应的函数为二次函数， 开口向下，对称轴为，又，所以或2时，取得最大值， 故数列的最大值是.故选：C. 【典例3-3】(24-25高二下·浙江杭州·期末)已知数列的前n项和为，则最小时，(  ) A．47 B．48 C．49 D．50 【答案】D【难度】0.94【知识点】求等差数列前n项和的最值【分析】由二次函数性质即可求解. 【详解】因为，所以当时，最小.故选：D. 【典例3-4】(多选)(24-25高二上·河北保定·期末)下列数列中，一定是单调递增数列的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.85【知识点】判断数列的增减性 【分析】举反例判断AD，利用与0的关系验证BC. 【详解】因为 对于A：，则数列一定不单调递增，不合题意； 对于B：，所以数列为单调递增数列； 选项C：，所以数列是单调递增数列； 选项D：当时，，此时数列不是单调递增数列，不合题意.故选：BC 【典例3-5】(2025高二·全国·专题练习)数列的通项公式为，则的最大项为第 项． 【答案】7【难度】0.4【知识点】确定数列中的最大(小)项 【分析】通过先作商再作差进行数列的单调性判断，进而找出其最大项． 【详解】由已知得，则． 当，即时，有；当时，有． 故，所以数列的最大项为第7项．故答案为：7． 【变式3-1】(24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中)已知数列满足，则是它的(   ) A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】B【难度】0.94【知识点】判断或写出数列中的项【分析】根据项与项数的关系代入计算即可. 【详解】因为，解得，所以是它的第7项.故选：B. 【变式3-2】(多选)(24-25高二下·陕西铜川·阶段练习)已知递增数列的通项公式为，则的值可能为(   ) A． B． C．2 D．6 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由分离参数，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】由是递增数列，得对恒成立.易得， 则， 即对恒成立. 因为函数在上单调递减，所以.故选：BCD 【变式3-3】(多选)(24-25高二下·广西南宁·开学考试)下列数列中，一定是单调递增数列的是(  ) A． B． C． D． 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】判断数列的增减性 【分析】根据数列的通项公式及递推关系，结合相关函数的区间单调性依次判断各项的正误. 【详解】A：函数在上单调递减，在上单调递增， 由，且，而，易知在上单调递增，符合； B：函数在在上单调递减，在上单调递增， 由，且，又，故在上单调递增，符合； C：由，故在上单调递增，符合； D：对于，当时在上单调递减，不符合.故选：ABC 【变式3-4】(多选)(24-25高三下·福建福州·开学考试)若数列为递增数列且数列也为递增数列，则称为“重增数列”.下列数列中，是重增数列的有(   ) A． B． C． D． 【答案】AB【难度】0.65【知识点】对数的运算、数列新定义、判断数列的增减性、已知角或角的范围确定三角函数式的符号【分析】根据新定义结合对数运算及三角函数值的正负计算判断各个选项即可. 【详解】对于A：因为，为递增数列且，所以数列也为递增数列，A选项正确； 对于B：因为，为递增数列且，所以数列也为递增数列，B选项正确； 对于C：因为，所以不是重增数列，C选项错误； 对于D：因为，所以不是重增数列，D选项错误；故选：AB. 【变式3-5】(24-25高二上·安徽黄山·期末)已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】确定数列中的最大(小)项 【分析】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【详解】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为.故答案为： 【变式3-6】(24-25高二下·上海·期末)已知数列的通项公式是，数列最大项是 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】确定数列中的最大(小)项 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】，，， 若取最大值，有，即，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且.故答案为：. 题型04 等差数列的基本量运算 【典例4-1】(24-25高二下·广东深圳·期中)已知数列满足，若，则(   ) A．28 B．13 C．18 D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由，即数列是公差为1的等差数列，利用等差数列即可求解. 【详解】由，所以数列是公差为1的等差数列， 所以， 所以，所以，故选：C. 【典例4-2】(24-25高二下·湖北武汉·期末)已知等差数列的公差为，则(  ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】等差数列通项公式的基本量计算【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以.故选：C. 【典例4-3】(2025高三·全国·专题练习)记为等差数列的前n项积，，，则数列的最小项与最大项的和为(   ) A．-28 B．-16 C．-7 D．0 【答案】D【难度】0.85【知识点】等差数列通项公式的基本量计算【分析】根据题意求出公差，得出，分析得到时，，所以为最大项，为最小项，根据定义求解即可. 【详解】设公差为d，则，，则， 又，即时，， 又时，且，所以为最大项，为最小项， 则数列的最小项和最大项的和为0．故选：D. 【典例4-4】(24-25高二下·河南南阳·期末)通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是(    ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C【难度】0.94【知识点】等差数列的应用 【分析】求出温度差，利用海拔每升高米气温就降低，即可求解. 【详解】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米，故选：C. 【变式4-1】(24-25高二下·贵州黔西·期末)已知为公差不为0的等差数列，若，则(  ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B【难度】0.94【知识点】等差数列基本量计算【分析】利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为为公差不为0的等差数列，设公差为， 所以， 因为，所以，故选：B. 【变式4-2】(24-25高二下·江西九江·期末)已知各项为正的等差数列的前n项和为，且，则为(   ) A．5 B．4 C．3 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以.故选：A. 【变式4-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知四个正数成等差数列，则(   ) A． B． C． D．3 【答案】C【难度】0.85【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列性质列方程组即可求解. 【详解】因为四个正数成等差数列，所以，解得．故选：C. 【变式4-4】(24-25高三上·天津·期中)在数列中，，，则等于(   ) A．630 B．648 C．660 D．675 【答案】C【难度】0.65【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、分组(并项)法求和【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列， 则，当时，，当时，， 所以 .故选：C 【变式4-5】(24-25高二下·四川成都·阶段练习)已知等差数列中，，，则数列的前项和为( ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】分组(并项)法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出，即可求出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和. 【详解】设等差数列的公差为，由可得， 所以，故， 对任意的，，所以数列的前项和为：.故选：D. 【变式4-6】(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列满足，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由已知可推得，根据方程有解得，即可得范围. 【详解】若数列公差为，， 即，所以， 由题，关于的一元二次方程有解，则，解得或， 故的取值范围为.故选：C 【变式4-7】(多选)(2025·云南昆明·模拟预测)已知数列的前n项和为，为等差数列，则下列说法正确的是(    ) A．数列是等差数列 B． C．若，且，则 D．若，，则为等差数列 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列的性质计算【分析】根据题意，由等差数列的通项公式，设，变形可得，由此分析求出的通项公式，结合等差数列的性质分析选项，逐一判断即可． 【详解】根据题意，若为等差数列，不妨设，变形可得， 当时，， 当时，， 时，，满足上式，故， 对于A，当时，，易得数列是等差数列，故A正确； 对于B，由A知，，，，则，故B错误； 对于C，数列是等差数列，设其公差为d， 若，，则，故，故C正确； 对于D，数列是等差数列，设其公差为d，若，，则，故， 则，故，所以，数列为等差数列，故D正确． 故选：ACD. 【变式4-8】(24-25高一下·上海青浦·期末)已知等差数列满足，，则 ． 【答案】4【难度】0.85【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，又，进而求解. 【详解】由题意有，又，， 所以.故答案为：4. 题型05 等差数列的性质 【典例5-1】(24-25高二下·海南海口·期末)在等差数列中，已知，，则(   ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】D【难度】0.94【知识点】利用等差数列的性质计算【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以.故选：D. 【典例5-2】(11-12高二上·广东揭阳·期末)已知数列是等差数列，，则(  ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得，所以，故选：A 【典例5-3】(24-25高二下·河南焦作·期末)已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则(   ) A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C【难度】0.65【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的应用 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列， 故.故选：C. 【典例5-4】(24-25高三下·重庆·阶段练习)已知为等差数列，若，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】特殊角的三角函数值、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列下表和的性质及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】因为为等差数列，且，由等差数列的性质得， 所以，所以，故.故选：C 【典例5-5】(24-25高二下·四川成都·期中)已知数列为等差数列，且数列的前项和有最大值，若，，则取得最小正值时，的值为(    ) A．1013 B．1014 C．2024 D．2025 【答案】D【难度】0.65【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用等差数列的性质计算 【分析】由题可知数列是递减的等差数列，再由前n项和公式和下角标和的性质即可求解. 【详解】因为数列的前n项和有最大值，所以数列是递减的等差数列， 又，，所以， 即数列的前1013项为正数，从第1014项开始为负数，由等差数列求和公式和性质可知， ，， 所以当取最小正值时，．故选：D. 【典例5-6】(23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习)两个等差数列和，其前项和分别为，且，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算【分析】根据等差数列的性质和前n项求和公式可得，结合题意计算即可求解. 【详解】.故选：D. 【典例5-7】(24-25高二下·重庆·阶段练习)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则.故选：C 【变式5-1】(2025·广东·模拟预测)已知等差数列的前项和为，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设等差数列的公差为，由得，解出，进而求解. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意有，所以，故选：B. 【变式5-2】(24-25高二下·云南曲靖·期末)等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为(   ) A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大．故选：A． 【变式5-3】(25-26高二上·全国·单元测试)已知等差数列的前项和为，若，则的值为(   ) A．40 B．50 C．60 D．100 【答案】B【难度】0.85【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】只需根据已知求得，再结合等差数列性质以及求和公式即可求解. 【详解】等差数列中，由，得，解得， 所以．故选：B. 【变式5-4】(24-25高二下·辽宁锦州·期中)已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的个数为( ) ①数列是递减数列；②；③当取得最大值时，；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C【难度】0.65【知识点】求等差数列前n项和的最值、判断数列的增减性、利用等差数列的性质计算【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案. 【详解】，所以，， 所以，所以且，故②错误，④正确； 所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故①③正确．故选：C． 【变式5-5】(2025高二下·全国·专题练习)将数列和的公共项从小到大排列得到数列，则(    ) A．77 B．83 C．87 D．95 【答案】B【难度】0.65【知识点】等差数列通项公式的基本量计算【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，利用等差数列通项公式基本量运算求解即可. 【详解】首先两个数列的第一个公共项，而数列和的公差分别为3和4， 所以其公共项构成的数列公差为3和4的最小公倍数． 所以为首项11，公差12的等差数列，所以．故选：B 【变式5-6】(24-25高二下·云南昆明·阶段练习)设等差数列的前项和分别是，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的前项和公式可得答案. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以.故选：A. 【变式5-7】(2025·湖北·模拟预测)已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用an与sn关系求通项或项、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，，所以.故选：D. 题型06 等比数列的基本量运算 【典例6-1】(2025·江苏南京·一模)已知等比数列的前3项和为168，，则( ) A． B．6 C．3 D．2 【答案】C【难度】0.94【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列通项公式的性质，设出首项和公比，根据条件列出方程组，求出结果. 【详解】设数列的首项为，公比为， 则，， ∴，即，则，∴，∴，故选：C. 【典例6-2】(2025·陕西西安·一模)已知数列为等比数列，为数列的前项积，且，，则(    ) A．8 B．2 C．1 D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】，故，所以， ，故选：A 【典例6-3】(25-26高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试)已知为等比数列，且，，则公比等于(    )． A． B． C．2 D．4 【答案】C【难度】0.85【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列的通项公式可得结果. 【详解】由于为等比数列，所以，所以.故选：C. 【变式6-1】(24-25高二下·河南开封·期末)已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】求出公比q,利用等比数列的通项公式，可求出答案. 【详解】由题可知，公比，所以，故选：A 【变式6-2】(25-26高三上·贵州·开学考试)定义：.若等比数列满足，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据给出的运算求等比数列的公比，得到数列的通项公式，再求数列的第10项即可. 【详解】因为. 因为为等比数列，所以，所以. 又，所以.所以.故选：D 【变式6-3】(24-25高二下·江西抚州·期末)在等比数列中，是方程的两根，则的值为(   ) A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算【分析】设公比为，由韦达定理得，，并判断同为负数，根据等比数列的性质得到，从而得到答案. 【详解】为等比数列，设公比为，由韦达定理得，， 又，故符号相同，同为负数，， 因为为等比数列，所以，，故.故选：C 【变式6-4】(多选)(24-25高二下·贵州遵义·期末)已知等比数列的前n项和为，，，则下列正确的是(   ) A． B． C． D．数列是等差数列 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】写出等比数列的通项公式、判断等差数列、等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据给定条件，求出数列的公比，再逐项求解判断. 【详解】由已知得数列的公比，通项， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，数列不是等差数列，D错误. 故选：ABC 【变式6-5】(24-25高二下·北京延庆·期末)已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为 . 【答案】，(或)(两组任写一组即可)【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列和等比数列定义，联立方程组计算即可得出结果. 【详解】依题意可知，即； 若顺序调整为，即， 联立，解得，此时公比为1，不合题意，舍去； 若顺序调整为或，即，联立，解得或(舍去)； 若顺序调整为或，即，联立，解得或(舍去)； 综上可得，m，n的值依次可以为或.故答案为：(或)(两组任写一组即可) 【变式6-6】(24-25高二下·海南·期中)已知等差数列的公差，由中的部分项组成的数列为等比数列，若，，则数列的前6项之和为 ． 【答案】120【难度】0.4【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先由题设条件，推出，求得，由数列为等比数列，求出数列的公比，利用公比依次通过求出，，得到，即可求解. 【详解】依题意，为等比数列，故，即， 化简得：，因，则，则， 设等比数列的公比为，则， 于是，故；，故；，故， 则数列的前6项之和为.故答案为：120. 题型07 等比数列的性质 【典例7-1】(24-25高二上·安徽合肥·期末)已知等比数列的前n项和为，则(    ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D【难度】0.94【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列的片段和的性质可求的值. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因为，所以，即故选：D. 【典例7-2】(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)正项等比数列前项和为，，则(    ) A．144 B． C．162 D．240 【答案】D【难度】0.65【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】由等比数列前项和的性质，构建新的等比数列，由等比数列的定义建立方程，可得答案. 【详解】由题意可知成等比数列，设其公比为， 则，即，整理可得， 分解因式可得，解得或(舍去)， 由，则，解得.故选：D. 【典例7-3】(23-24高二上·重庆·期中)已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B【难度】0.65【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得.故选：B 【变式7-1】(2025·重庆沙坪坝·模拟预测)已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则(    ) A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B【难度】0.94【知识点】等比数列下标和性质及应用、对数的运算性质的应用 【分析】由等比数列的性质可得：，结合对数运算知识整理，代入计算得解． 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：，所以， 又 ；故选：B. 【变式7-2】(25-26高二上·湖南邵阳·阶段练习)已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为(   ) A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D【难度】0.85【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，，所以成等比数列， 因为，，所以，所以，所以.故选：D 【变式7-3】(2025·四川巴中·模拟预测)已知数列是等比数列，数列是等差数列，若.则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式、等比数列下标和性质及应用、利用等差数列的性质计算【分析】先利用等差、等比数列的性质，求得，得到的值，进而得到，结合两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】由数列是等比数列，数列是等差数列，且， 可得，解得， 又由等差数列与等比数列的性质，可得，所以 . 故选：D. 【变式7-4】(24-25高二下·广西·期中)已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则(    ) A．0 B．54 C．49 D．42 【答案】C【难度】0.65【知识点】求等差数列前n项和、等比数列下标和性质及应用、利用等差数列的性质计算【分析】先根据等比数列下标和的性质求出，然后结合等差数列下标和的性质，利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，则， 所以.故选：C. 【变式7-5】(25-26高三上·广西·开学考试)记为等比数列的前项和，若，，则(    ) A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列的通项公式及等比数列的前项和定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴.故选：C. 【变式7-6】(多选)(24-25高二下·广东佛山·期中)已知数列中，，，下列说法正确的是(   ) A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 【答案】BCD【难度】0.65【知识点】等差中项的应用、等比数列下标和性质及应用、等比中项的应用、利用等差数列的性质计算【分析】由等比数列、等差数列的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，可知，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，又等比数列偶数项同号，所以8，正确； 对于D：，所以，正确；故选：BCD 【变式7-7】(多选)(2025·四川成都·模拟预测)关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是(    ) A．若数列的前项和为且，则是等差数列 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【答案】ACD【难度】0.65【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、等比数列片段和性质及应用、等比数列下标和性质及应用 【分析】A选项利用，求得，即可判断；B选项利用等比数列的性质进行计算；C选项举出反例进行判断；D选项利用等差数列的通项公式及前项和公式进行计算判断. 【详解】对于A选项，若，当时，， 当时，， 且不满足上式，则，则不是等差数列，故A错误； 对于B选项，等比数列中，由，得， 则，故B正确； 对于C选项，当等比数列的公比，为偶数时，， 所以不成等比数列，故C错误； 对于D选项，因为等差数列的前项和有最大值，故可知， 因为，故可得，即，所以，可得， 又，故可得，所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时等于11，故D错误.故选：ACD. 【变式7-8】(2025高三·全国·专题练习)设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于198，其中正确的结论是 . 【答案】①③④【难度】0.65【知识点】等比数列的单调性、等比数列下标和性质及应用、确定数列中的最大(小)项【分析】根据已知条件，利用等比数列的性质、通项公式以及各项之间的关系，对每个结论逐一进行分析判断. 【详解】，，因为，， 假设，那么，， 与题干不符，假设不成立，，故①正确. 由等比数列的性质可得，，由上可知，， ，，，，，故②错误. 等比数列的前项之积为，，又，， 又，，，，故③正确. ，又，， ， ， ，，故④正确.故答案为：①③④. 题型08 由递推关系求数列通项 【典例8-1】(24-25高二上·湖北孝感·阶段练习)数列满足：，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项、对数的运算 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得，利用累加法可得, 化简得，则.故选：C. 【典例8-2】(2025高三·全国·专题练习)设为数列的前n项积，且，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】根据给定条件，结合前n项积的意义求出通项公式. 【详解】数列中，，当时，， 两式相除得，由，得， 则当时，，即，因此， 满足上式，所以.故选：B 【典例8-3】(24-25高二下·广东·阶段练习)记为首项为1的数列的前项和，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解. 【详解】易得，故， 化简得，即，由知，故， 累乘可得，即，故， 当时，也符合上式，故，故.故选：C. 【典例8-4】(23-24高二上·河南信阳·期末)已知数列满足．且，若，则 ． 【答案】2024【难度】0.4【知识点】由递推关系式求通项公式、分组(并项)法求和 【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以， 故，则，所以， 则的各项分别为， 所以. 故答案为：2024 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而求得，由此得解. 【变式8-1】(24-25高二上·黑龙江绥化·期末)已知数列满足，则(   ) A．2 B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】利用时，得到，代入，求出答案. 【详解】由题意可得 ①， 所以时， ②， ①-②得，所以，所以.故选：C. 【变式8-2】(24-25高二下·湖北·阶段练习)已知数列满足，，则的最小值为(   ) A． B． C．7 D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由题中等式变形得出，由累加法求出数列的通项公式，利用对勾函数的单调性可求出的最小值. 【详解】因为数列满足，，即， 当时，则有，所以，，，， 上述等式全部相加得， 所以， 也满足，故对任意的，，所以， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，因为，，故， 所以的最小值为.故选：B. 【变式8-3】(多选)(24-25高二下·江西·期末)数列的前项和为，且，则(  ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.85【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意分和两种情况求数列的通项公式，进而可得. 【详解】因为， 若，则； 若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确.故选：BD. 【变式8-4】(多选)(24-25高二上·山东聊城·阶段练习)下列给出的命题中正确的有(   ) A．数列和数列是相同数列 B．数列的一个通项公式是 C．数列的前项和，则 D．数列满足，，则 【答案】BCD【难度】0.85【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列递推公式写出数列的项、数列的概念及辨析、观察法求数列通项 【分析】由数列的定义可判断A选项错误；由数列的通项公式可判断B选项正确；由数列的递推式：时，，计算可判断C选项正确；由数列的递推式，计算可判断D选项正确. 【详解】对于A选项，根据数列的定义，数列具有顺序性，所以A选项错误； 对于B选项，将代入通项公式，得到的数列是，所以B选项正确； 对于C选项，根据前项和公式，可以得到，所以C选项正确； 对于D选项，由，可得，所以D选项正确.故选：BCD. 【变式8-5】(多选)(2025·甘肃白银·模拟预测)已知为数列的前项和，且满足，则下列结论正确的有(   ) A． B．当为偶数时， C．当为奇数时， D． 【答案】BC【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】令，求出，判断A；当时，求得，分为偶数和为奇数讨论求，判断B和C；由代入求值，判断D. 【详解】由， 当时，，解得，故A错误； 当时，， 当为偶数时，，，，为正奇数，故C正确； 当为奇数时，，即，，为正偶数，故B正确； ，故D错误．故选：BC 【变式8-6】(2025高三·全国·专题练习)已知数列中，，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式【分析】先对式子两边同时除以，得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求得结果. 【详解】将两边同时除以，得， ∴，又，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴，∴．故答案为： 题型09 周期型数列 【典例9-1】(24-25高二下·辽宁锦州·期末)已知数列中，，则(  ) A． B． C． D．5 【答案】A【难度】0.85【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】依次求出数列前几项得出数列周期即可求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 所以，...，所以数列是周期为3的数列，所以.故选：A 【典例9-2】(24-25高二下·河南驻马店·期末)在数列中，已知，，，则(   ) A．3 B． C．6 D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，，，得，， 所以，所以， 因此数列是周期数列，周期为6，所以.故选：B 【典例9-3】(24-25高二上·宁夏银川·期末)已知数列满足，，则数列的前9项和为(  ) A．6 B． C．3 D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】数列周期性的应用 【分析】由数列递推式依次求出前几项得出数列具有周期性，再由周期性计算求解即可得解. 【详解】因为，，所以，所以， 所以，所以. 所以数列是周期为3的数列，故数列的前9项和为.故选：B 【变式9-1】(24-25高二下·江苏盐城·期末)数列满足，，则(   ) A． B． C． D．3 【答案】B【难度】0.94【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据给定的递推关系，依次计算确定周期即可得解. 【详解】数列中，，由，得，， ，因此数列是周期数列，周期为3，所以.故选：B 【变式9-2】(24-25高二下·江西吉安·期末)已知数列满足，且，则(   ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】数列周期性的应用 【分析】由题意计算可得，故数列是以周期为6的周期数列，借助周期性计算即可得. 【详解】因为， 所以， 故数列是以周期为6的周期数列， 而2025除以6余3，故.故选：B. 【变式9-3】(24-25高二下·安徽亳州·期末)已知数列满足，则(  ) A． B． C． D．2 【答案】C【难度】0.65【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据已知得出数列的周期即可求解． 【详解】由已知得，，，， ，即，所以，故选：C． 【变式9-4】(多选)(24-25高二下·四川资阳·期末)数列满足，，则(  ) A． B．为递增数列 C．为周期数列 D． 【答案】AC【难度】0.85【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性、数列周期性的应用 【分析】利用列举法，直接可以判断. 【详解】由题可知：，，，， 所以可知：AC正确，B错误，数列的最小正周期为3，所以，故D错误.故选：AC 【变式9-5】(24-25高二下·湖北武汉·期末)记数列的前项和为，且，则 . 【答案】/【难度】0.65【知识点】特殊角的三角函数值、数列周期性的应用 【分析】根据数列的周期为8，计算得解. 【详解】时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，， 所以数列是周期为8的周期数列，且， 所以，.故答案为：. 【变式9-6】(2025高二·全国·专题练习)已知数列，，，且任意连续三项的和都是15，则 ． 【答案】5【难度】0.65【知识点】数列周期性的应用【分析】由，，得到数列的周期性，从而得到，再根据和求得和，从而得到. 【详解】时，由，，两式相减可得， 因此数列是以3为周期的周期数列，可得，． 由，可知，所以．故答案为：. 题型10 数列的奇偶项问题 【典例10-1】(24-25高三下·海南海口·阶段练习)数列，则(    ) A．44 B．143 C．165 D．502 【答案】C【难度】0.85【知识点】求等差数列前n项和、分组(并项)法求和 【分析】利用分组求和及等差数列求和公式计算即可. 【详解】易知.故选：C 【典例10-2】(2025高三·全国·专题练习)已知数列满足：(为正整数)，，若，则所有可能的取值为 ． 【答案】，，【难度】0.65【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质【分析】根据递推数列，由反推出即得. 【详解】由题可知， 所以，或5或32．故答案为：. 【典例10-3】(2025高二·全国·专题练习)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智玩具，它的九个圆环相连成串，以解开为胜．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下5个圆环所需的最少移动次数为 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】即求，利用递推公式，代入数值即可求得答案. 【详解】由可得，，，． 故所求最少移动次数为16．故答案为：. 【变式10-1】(24-25高三上·辽宁锦州·期末)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为(   ) A．162 B．180 C．200 D．220 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可求解. 【详解】由数列前10项的规律可知：当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以，故选：C 【变式10-2】(多选)(24-25高三上·黑龙江鸡西·期中)已知为等差数列，，记分别为数列的前项和(    ) A．是等差数列 B． C． D．若是单调递增数列，则最小值为 【答案】ABC【难度】0.85【知识点】判断等差数列、利用等差数列的性质计算 【分析】A选项由等差数列的定义即可做出判断；B选项由数列定义得出等式，由等差中项化简求得；C选项由B选项中的结论结合等差中项和求得，由定义得出代数式，再化简得到结论；D选项列出一个满足条件得数列，得到最小值不是即可否定. 【详解】设数列的公差为. A选项：由题意可知，当时，，则，则， ∴是等差数列，A选正确； B选项：，即， 在等差数列中，∴，∴，B选项正确； C选项：由B可知当时，，又∵，∴， ∴，C选项正确； D选项：当时，是单调递增的等差数列，∵，∴最小值为，D选错误. 故选：ABC. 【变式10-3】(多选)(24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习)数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是(   ) A． B． C．是等差数列 D．为周期数列 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组(并项)法求和、求等差数列前n项和、数列周期性的应用 【分析】求出前4项，当n为奇数时有，当n为偶数时有，推出数列是以4为周期的周期数列，可判断A；由可求值判断B；利用数列的周期性可求出的通项公式，判断C；因为与除以4所得余数相等，所以为周期数列，判断D. 【详解】由题意，数列满足，， 当时，，，当时，， 当时，；若为奇数，则，为偶数，，为奇数， 则，，，； 若为偶数，则，为奇数，，为偶数， 则，，，， 所以数列是以4为周期的周期数列.，A正确； ，B错误； ，是公差为的等差数列，C正确； 由上述讨论可知，是周期为4的周期数列， 因为与除以4所得余数相等，所以D正确.故选：ACD. 【变式10-4】(多选)(2025·河北秦皇岛·一模)已知数列满足，，则(   ) A． B．当是偶数时， C．数列是常数列 D． 【答案】ACD【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、分组(并项)法求和 【分析】对于同一ABC直接验证即可；对于D，发现周期性和规律即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，所以数列是常数列，故C正确； 对于D，，，，从而把数列写出来就是 观察发现，，且后面两项都是，其中是数列的前项和， 从而，故D正确.故选：ACD. 【变式10-5】(2026高三·全国·专题练习)数列定义如下：，且当时，，已知，则正整数的值为 . 【答案】520【难度】0.65【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由题意可列出分别为偶数和奇数时与1的大小关系，再根据递推公式即可得出的值. 【详解】由题设知，当n为偶数时，；当为奇数时，. 因为，所以n为偶数.从而，，则是偶数， 则，则是偶数；则，则是奇数， 则，则是偶数， 依次可得：，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，则是偶数； 则，所以，即.故答案为：520. 【变式10-6】(24-25高二下·山东淄博·期末)已知数列满足，且，其中，，则 . 【答案】【难度】0.4【知识点】由递推关系式求通项公式、根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质【分析】求出，观察规律即可求解. 【详解】， 对于奇数项，，所以， 对于偶数项，，所以， 所以.故答案为：. 题型11 数列求和 【典例11-1】(2025·陕西咸阳·模拟预测)若是等比数列，且，则数列的前8项和为(    ) A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C【难度】0.85【知识点】分组(并项)法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先求出的公比，再求出的通项，故可求的前8项和. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，则， 故数列的前8项和为.故选：C. 【典例11-2】(24-25高三上·云南大理·开学考试)在数列中，，且，则数列的前2025项和为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和 【分析】先把变形成，利用累加法求数列的通项公式，再用裂项求和法求数列的前项和，把代入即可. 【详解】由，可得，所以， ，…. 以上各式相加得：，所以， 而也符合该式，故.则. 设的前项和为，则，从而.故选：B 【典例11-3】(多选)(25-26高三上·四川成都·开学考试)已知数列满足，则下列结论正确的是(    ) A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 【答案】ACD【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、由递推关系式求通项公式、裂项相消法求和、分组(并项)法求和 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得，求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由，得， 所以D正确；故选：ACD. 【典例11-4】(24-25高二上·湖南株洲·期末)已知数列的通项公式为，则数列的前项和(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】应用错位相减法及等比数列前n项和求. 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以.故选：B 【典例11-5】(24-25高二下·北京西城·阶段练习)数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则(    ) A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D【难度】0.85【知识点】求函数值、倒序相加法求和 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令，则， 两式相加得， 即：；所以：.故选：D. 【变式11-1】(24-25高二下·辽宁丹东·期中)已知数列的通项公式为为其前项和，则(    ) A． B． C．493 D．495 【答案】A【难度】0.85【知识点】分组(并项)法求和 【分析】根据给定的通项公式，利用并项求和法求解. 【详解】数列中，由，得， 所以.故选：A 【变式11-2】(24-25高二下·河南·阶段练习)已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于(    ) A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】B【难度】0.85【知识点】求函数值、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质得到，又，从而利用倒序相加法求和，得到答案. 【详解】由等比数列的性质，得. 又因为函数，所以，所以， 所以，，，…. 令，则， 所以， 所以.故选：B. 【变式11-3】(24-25高二上·江苏无锡·期末)南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个小球，第三层有6个小球，第四层有10个小球……设第n层有an个小球，则+++…+的值为(　　)    A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】求等差数列前n项和、观察法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】由已知条件分析得到数列的通项公式,并利用等差数列前n项和公式化简，进而求得数列的通项公式,再利用裂项相消求和法求得结果. 【详解】由题意可得，,…… 所以，.所以， 所以，+++…+ ；故选：D 【变式11-4】(24-25高二上·全国·课后作业)在公差不为零的等差数列中，成等比数列，则数列的前项和(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】求等比数列前n项和、等比中项的应用、等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和【分析】先根据等比中项结合等差数列的基本量运算得出通项公式，再应用错位相减法得出前n项和即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由题可得，即，则，所以， 又，所以，解得，则，所以， ①， ①得，②， ①-②得, 则． 故选：B. 【变式11-5】(2025·湖北武汉·模拟预测)已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为(   ) A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C【难度】0.65【知识点】分组(并项)法求和、等差数列通项公式的基本量计算【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为，则， ，从到共项，两两一组，可分为组， .故选：. 【变式11-6】(24-25高二下·湖北·阶段练习)已知数列、满足，，这两个数列的项组成一个集合，集合中的数按从小到大的顺序排列组成数列，的前项和为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.4【知识点】分组(并项)法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出数列、的公共项构成的数列的通项公式，计算得出，分析可知数列的前项包含数列的前项，数列的前项，且、、这三项出现两次，各记为一次，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】数列的各项为：、、、、、、、、、、、， 数列的各项为：、、、、、、、、、、、， 所以，数列、的公共项为：、、、， 则数列、公共项构成以首项为，公差为的等差数列， 所以，，则，且， 所以，数列的前项包含数列的前项，数列的前项， 且、、这三项出现两次，各记为一次， 所以，.故选：C. 【点睛】解本题的关键点在于确定数列的前项的构成，进而利用等差数列求和公式求解. 【变式11-7】(多选)(24-25高二下·安徽宿州·期中)已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有(   ) A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C． D．若，则数列的前项和 【答案】BCD【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、分组(并项)法求和 【分析】A构造即可；B构造即可；C利用AB选项求出的递推关系可得，即可计算；D利用裂项相消求和. 【详解】对于A选项，由条件可得，，且， 所以，则数列是首项和公比均为2的等比数列，故，故A错误； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以，则数列是首项和公比均为1的等比数列，则，故B正确； 对于C选项，由，可得， 所以，故C正确； 对于D选项，若， 则数列的前项和为，故D正确.故选：BCD 题型12 数学归纳法 【典例12-1】(24-25高二下·四川绵阳·阶段练习)用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】数学归纳法【分析】由数学归纳法的定义可得结论. 【详解】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为.故选C. 【典例12-2】(24-25高二上·全国·课后作业)已知命题及其证明： (1)当时，左边，右边，所以等式成立． (2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立． 由(1)(2)知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述(    ) A．命题、证明都正确 B．命题正确、证明不正确 C．命题不正确、证明正确 D．命题、证明都不正确 【答案】B【难度】0.94【知识点】求等比数列前n项和、数学归纳法 【分析】由数学归纳法、等比数列求和公式即可求解. 【详解】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论． 由等比数列求和公式知,命题正确.故选：B． 【典例12-3】(23-24高二上·江苏连云港·阶段练习)意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为(    ) A．1348 B．675 C．1349 D．1350 【答案】C【难度】0.4【知识点】数学归纳法证明数列问题、由递推数列研究数列的有关性质、分组(并项)法求和、数列周期性的应用 【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案. 【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 显然，猜想：， 当时，成立； 假设当时，成立， 则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想，因此，， 所以数列的前2023项的和为.故选：C 【点睛】本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和： (1)项的序号较小时，逐步递推求出即可； (2)项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 【变式12-1】(24-25高二上·全国·课堂例题)用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】数学归纳法【分析】根据题意结合数学归纳法分析判断. 【详解】当时，，所以左边为.故选：C. 【变式12-2】(24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习)下列命题错误的个数是(   ) ①用数学归纳法证明时，正整数的第一个取值是1. ②用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是. ③设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，若成立，则当时，均有成立. ④对于不等式，用数学归纳法的证明过程如下： (1)当时，左边，右边，不等式成立. (2)假设当(且)时，不等式成立，即， 那么当时，， 所以当时，不等式成立.综上. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.65【知识点】数学归纳法 【分析】根据数学归纳法证明的要求和步骤判断各选项即可. 【详解】对于①，时，成立,而时,,不满足题意， 根据数学归纳法证明的要求可知，正整数的第一个取值不是1，故①错误； 对于②，当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： ，故②错误； 对于③，由题意，无法推出时，均有成立，故③错误； 对于④，在时，没有用到的假设结论，故④错误.故选：D. 【变式12-3】(24-25高二下·全国·课后作业)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题总成立的是(    ) A．若成立，则当时，均有成立 B．若成立，则当时，均有成立 C．若成立，则当时，均有成立 D．若成立，则当时，均有成立 【答案】D【难度】0.85【知识点】数学归纳法 【分析】根据“当成立时，总可推出成立”判断. 【详解】若成立，由题意：当时，有成立，但不能保证的情况，故A错误； 若成立，则当时，均有成立，但不能保证的情况，故B错误； 由题意知：若成立，则当时，均有成立”．故C错误； ，则当时，均有成立，故D正确；故选：D 【变式12-4】(多选)(24-25高二·上海·随堂练习)已知数列满足，且(n为正整数)，利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： (1)当时，满足，命题成立； (2)假设(k为正整数)时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由(1)(2)知． 判断以下评述：(    ) A．猜想正确，推理(1)正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理(1)(2)都正确 D．猜想正确，推理(2)不正确 【答案】AD【难度】0.65【知识点】数学归纳法证明数列问题 【分析】根据数学归纳法的步骤判断即可. 【详解】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即，所以D正确．故选：AD 【变式12-5】(多选)(2023高二上·江苏·专题练习)以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当(是题中给定的n的初始值)时命题成立”的是( ) A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB【难度】0.65【知识点】数学归纳法 【分析】首先根据数学归纳法逐一验证，并注意检验初始值是否成立即可求解. 【详解】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有， 故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB.故选：AB. 【变式12-6】(24-25高一下·上海杨浦·开学考试)数学的浪漫难以言表，今年是2025年，，，我们将可以表示成某个整数的平方且可以表示为连续正整数的立方和的年份成为“完美平方年”，小张同学想给下一个完美平方年的人写一封信，则标题可起为 年之约. 【答案】千或1000【难度】0.4【知识点】数学归纳法证明数列问题 【分析】利用数学归纳法证明，根据得到下一个完美平方年为，即可得答案. 【详解】由题设， 猜想，显然时， 若时，成立， 当时， ， 所以时，也成立， 由，故下一个完美平方年为年， 所以，故标题可为千年之约.故答案为：千或1000 一、单选题 1.(25-26高三上·湖南常德·开学考试)已知等差数列的首项为1，公差为2，前项和为，则(   ) A．14 B．30 C．42 D．60 【答案】B【难度】0.94【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式计算即得 【详解】因为等差数列的首项，公差为， 所以故选：B. 2.(24-25高二下·辽宁大连·期中)已知数列满足，，则(   ) A．0 B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】由递推公式可得周期，据此可得答案. 【详解】由递推公式可得：，，，则周期为3，因，则.故选：C 3.(25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)记正数满足为和的等差中项，设甲：为整数；乙：为整数，则(    ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A【难度】0.85【知识点】等差中项的应用、判断命题的充分不必要条件 【分析】由等差中项知，则可得到甲能推乙，当为整数时，易得符合条件，但不是整数，故乙不能推甲，继而可解. 【详解】由正数满足为和的等差中项，所以， 若为整数，则为整数，故甲能推乙； 若为整数，例符合为和的等差中项，但不是整数，故乙不能推甲， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A. 4.(23-24高二上·福建泉州·期末)已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数(    ) A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】C【难度】0.65【知识点】根据等差数列前n项和的最值求参数、求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24，故选：C． 5.(2025高三·全国·专题练习)已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有(    ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C【难度】0.65【知识点】求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算【分析】利用等差数列性质得，由即可求解. 【详解】由，得，又，所以， 整理得，所以，故符合条件的可取1，2，故选：C． 6.(24-25高二下·河南南阳·期末)已知数列的前项和为，若，为等比数列，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】利用an与sn关系求通项或项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】对条件变形，计算出的公比为，从而求得，利用计算，即可. 【详解】设等比数列的公比为，由得：， 则，所以，，则， ，因此.故选：D. 7.(2024·江苏淮安·模拟预测)已知p：数列满足：存在正整数，对任意的，，都有，：数列是等差数列.则是的(    )条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B【难度】0.4【知识点】判断命题的必要不充分条件、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，结合等差数列的通项公式可得答案. 【详解】当成立时，即存在正整数，对任意的，，都有，则， 若，则，对任意的，都成立，即， 对于数列，满足上述条件，但不是等差数列，故由不能得到. 当成立时，即数列是等差数列，设等差数列的公差为， 则，，， ∴，即恒成立，∴由能得到. 综上得，是的必要不充分条件.故选：B. 8.(24-25高三上·湖北武汉·阶段练习)已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和(   ) A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】C【难度】0.4【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、对数的运算性质的应用、等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据条件求出等比数列的公比，由此计算数列的通项公式，化简即可计算数列的前12项和. 【详解】设等比数列的公比为，则，，， ∵，，∴，解得或， ∵等比数列是递减数列，∴. ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴， ∴.故选：C. 二、多选题 9.(24-25高二上·河北衡水·阶段练习)下列四个选项中，正确的是(   ) A．数列的项可以相等 B．数列可表示为 C．数列的一个通项公式是 D．数列是递减数列 【答案】AD【难度】0.85【知识点】数列的概念及辨析、判断数列的增减性、观察法求数列通项 【分析】根据数列的定义判断A、B；观察法写出通项公式判断C；由数列的通项公式判断单调性判断D. 【详解】A：对于常数列，所有项都相等，对； B：数列数字有序，但集合中的元素无序，错； C：数列的一个通项公式是，错； D：显然数列通项公式为，其随的增大而变小，为递减数列，对.故选：AD 10.(24-25高二下·江西·期末)已知等比数列的公比为，若，且，则(    ) A．当时， B．当时，的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BD【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、利用不等式求值或取值范围、等比数列通项公式的基本量计算【分析】根据等比数列中各项之间的关系，和等比中项的定义，结合基本不等式，分别判断构造函数的单调性，判断各选项的正误，求出正确结果. 【详解】对于A，当时，由，得，即， 因，则，解得，故A错误； 对于B，因，而函数在上单调递增， 由可得，所以，故B正确； 对于C，由，当且仅当时等号成立， 故得的取值范围是，故C错误； 对于D，因为，所以． 设，则， 因为，可得，所以，故D正确．故选：BD． 11.(23-24高二下·湖北武汉·期末)冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则(    ) A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.15【知识点】数列新定义【分析】根据题意，不妨设序列的n个元素为，由题意可判断A中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C；利用累加法求出通项公式即可判断D. 【详解】对A，序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误； 对B，不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为， 将元素n冒泡到最右侧，需交换次次， 将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次，， 故共需要， 即最大交换次数，故B正确； 对C，只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确； 对D，当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列， 使得新序列(共n+1个元素)交换次数也是2， 则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n+1在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2(这样的序列有个)， 若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1(这样的序列有个)， 若元素n+1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0(这样的序列有1个)， 因此，，所以，显然， 所以，故D正确.故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键. 三、填空题 12.(25-26高三上·上海·开学考试)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则 ． 【答案】2【难度】0.85【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，利用等比数列基本量的运算求得，由得，即可求解． 方法二：利用等比数列性质得及，然后利用等差中项性质求解即可. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得，则，即，可得，可得． 方法二：因为为等比数列，则，且，所以； 又因为，则；故.故答案为：2 13.(24-25高二下·上海·阶段练习)已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为 . 【答案】【难度】0.65【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】利用数列单调性定义列式求解得到答案. 【详解】由数列为严格增数列，得，， 因此，，而数列为严格减数列，所以，则， 所以实数的取值范围为.故答案为：. 14.(24-25高二下·辽宁鞍山·期中)数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为 . 【答案】【难度】0.15【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】由得恒成立，进而有随的增大无限接近于，根据二次函数性质及数列单调性有，得，利用即可得. 【详解】记①，将n换为代入得②， 对时，由②－①得③， 因为数列是单调递增数列，所以， 由③得，即.综合得. 根据单调性有，即，显然， 所以，且，则， 所以随的增大无限接近于，则，可得， 由，则，所以.故答案为： 四、解答题 15.(24-25高二下·全国·课堂例题)已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列.(2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析(2)【难度】0.94 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系式求通项公式 【分析】(1)将两边取倒数，即可得到，从而得证； (2)根据等差数列，先求出的通项公式，进而根据得出的通项公式. 【详解】(1)因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； (2)由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 16.(24-25高二上·江苏·期中)已知等差数列的前项和为，满足，． (1)求数列的通项公式；(2)设，求． 【答案】(1)(2)20【难度】0.94 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组(并项)法求和 【分析】(1)根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； (2)由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】(1)设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. (2)由(1)可得， 所以. 17.(24-25高二下·广东江门·期末)已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， (1)求数列，的通项公式；(2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2)【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)计算出公比、公差即可求解；(2)由裂项相消法即可求解. 【详解】(1)设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； (2)因为， 所以数列的前n项和. 18.(24-25高二上·山东枣庄·期末)已知数列，若为等比数列，则称具有性质． (1)若数列具有性质，求； (2)若，求证：数列具有性质； (3)数列具有性质，求． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、数列新定义、构造法求数列通项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】(1)根据题意，成等比数列，列式运算得解；(2)根据数列的新定义运算证明； (3)根据题意可得，即，得数列是等比数列，运算得解. 【详解】(1)由题意可知成等比数列． 则即，，解得. (2)； ， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列，故数列具有性质． (3)由数列具有性质，则为等比数列， 因为；所以， 故数列为以2为首项以2为公比的等比数列． 则，于是， 即，由． 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，得． 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是利用数列性质求出数列的通项，构造证明数列是等比数列，得解. 19.(24-25高二下·云南·开学考试)在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“和数列”. (1)若，判断是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由. (2)在正项数列中，，且. 证明：①可能是等比数列；②若为等比数列，则不是“和数列”. 【答案】(1)是“3和数列”，不是“4和数列”，理由见解析；(2)①证明过程见解析；②证明过程见解析【难度】0.15【知识点】写出等比数列的通项公式、数列新定义、等比数列的定义、等比数列通项公式的基本量计算【分析】(1)举出实例得到是“3和数列”中每一项均为奇数，故中的任意4项之和肯定为偶数，故不是“4和数列”；(2)①若为等比数列，求出公比，验证满足； ②由①可知，假设是“和数列”，则存在，使得，不妨令，分和两种情况，推出矛盾，证明出不是“和数列”. 【详解】(1)是“3和数列”，不是“4和数列”， 理由如下：因为，所以， 又，所以是“3和数列”， 由通项公式可知，中每一项均为奇数，故中的任意4项之和肯定为偶数， 与中的任何一项均不相等，故不是“4和数列”； (2)证明：①，且，故， 若为等比数列，则的公比， 则，，， 故可能是以2为公比的等比数列； ②由①可知，假设是“和数列”， 则存在，使得， 不妨令， 若，则，且， 则， 因为，所以为正偶数， 则为大于1的正奇数， 所以，这与矛盾，从而假设不成立， 所以不是“和数列”， 若，则， 则， 由得， 显然，则， 则， 即， 由可得为正偶数， 则为正奇数，为正偶数， 则不可能成立，从而假设不成立， 则不是“和数列”. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： (1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一章数列复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01观察法判断数列的项或通项 题型02由递推关系写出数列的项 知识点01数列的概念 题型03通项公式或前项和公式的函数性质 题型04等差数列的基本量运算 知识点02等差数列 题型05等差数列的性质 第一章数列复习 题型06等比数列的基本量运算 题型07等比数列的性质 知识点03等比数列 题型08由递推关系求数列通项 题型09周期型数列 知识点04递推关系、数列求通项 题型10数列的奇偶项问题 题型11数列求和 题型12数学归纳法 知识点05数列求和 教学目标、教学重难点 1.理解数列、通项公式、前n项和公式的意义，掌握周期型数列的处理方法； 2.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式， 能够熟练进行等差数列、等比数列的基本量运算： 3.理解掌握等差数列、等比数列的常用性质，特别是中项、下标和、片段和性质，理解 掌握等差数列的二次函数性质； 教学目标 4掌握公式法、分组（并项）求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序求和法等常用的数列 求和方法： 5.掌握由递推关系求通项公式的常用方法； 6.理解数学归纳法，掌握数学归纳法的步骤： 7.掌握数列奇偶项问题的方法： 1、重点：等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式及它们的常用性质、递推关系、 教学重难点 数列求和方法： 2、难点：递推关系、错位相减法、奇偶项问题： 知识清单 知识点01数列的概念 (一)数列的概念 1数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数a。=f(n),当自变量 按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值， 3数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法， 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线. 第1页共30页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (二)数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 递增数列 a+>an 按项与项间的大小关系分类 递减数列 dn<dn 其中neN 常数列 an=an (三)数列的通项公式 1.通项公式：如果数列{an}的第n项a。与序号n之间的关系可以用一个式子a,=f(n)来表示，那么这个 公式叫做这个数列的通项公式.数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式： (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的 2递推公式：如果已知数列{a,}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a与它的前一项 4n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式， 不同点 相同点 通 可根据某项的序号n的值，直接代入求出4， 都可确定一个数列，也都可求出 递 可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数 数列的任意一项 推 列的项，直至求出所需的an,也可通过变形转化，直接求出4 【即学即练1-1】(2025高二·全国.专题练习)符合递推关系式4=√3a,的数列是(). A.1,2,3,4B.1,5,3,35C.5,3,5,3D.0,5,3,35 【即学即练1-2】(24-25高二下四川绵阳期末)已知{a}是一个无穷数列，“a>4"是“{a}为递增数列”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 1111 【即学即练1-3】(24-25高二下四川眉山期末)数列-1 234亏…的一个通项公式为） B. c.-)- D.1) n 知识点02等差数列 (一)等差数列的有关概念 1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示， 定义表达式为a,一a-1=d(常数)n≥2，n∈N)或a+1一4=d《常数)0n∈N). 第2页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2等差中项：若三个数，a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A= 2 (二)等差数列的有关公式 1.通项公式：a,=M十n-l)d.通项公式的推广：a=an十(n-m)dn,m∈N). 2.前n项和公式：Sn=a1十n-d=na1taml (三)等差数列的常用性质：己知{a}为等差数列，d为公差，S,为该数列的前n项和. 1.若{a}为等差数列，且k十l=m十n(k,1,,n∈N),则a十m=an十an. 特别地，若m+n=2t,则am+a=2a,(mn,t∈N). 2.衍生等差数列 (1)等间距抽取am,am+t,am+2,…am+m-1)t…为等差数列，公差为td. (2)等长度截取Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…为等差数列，公差为md. ③)算术平均值，号…三…，即得}为等差数列，公差为号 (④)若{a},{b}是等差数列，则{pa+qb}也是等差数列. 3两个等差数列a,小，的前n项和分别是A8：则哈-二 4,若项数为偶数2n,则S=a+a)=a+a):S一Sg=d:5=a S迕=an 5.若项数为奇数2-1，则S1=(21-1a:S一S0,:5 ,S脊=n 7.在等差数列a,中，若a>0.d<0,则满足m三0 8S0的项数m使得叉取得最大值8： 若4<0，d>0,则满足C00的项数m使得S取得录小值S B若投之8则8有限大值情有正项或负项之和：可由不等式收。火确： 侣。0，则父有最小值（所有负项或非正项之和：可由不等式组化00 {a+1≥0，来确定n 若公差d=0一{an}为常数列. (四)等差数列的四种判断方法 1.定义法a+1-an=d(或者an-a-1=d(n≥2)(d是常数)台{an}是等差数列， 2.等差中项法：2an=an-1+a(n≥2)(n∈W)台{an}是等差数列. 3.通项公式：an=pn+q(P,q为常数)台{an}是等差数列. 4.前n项和公式：Sn=An2+Bn(A,B为常数)台{an}是等差数列， 【即学即练2-1】(24-25高二下海南省直辖县级单位·期末)己知等差数列{a}中，4=5,4=9，则其公差 d=(） A.1 B.2 C.3 D.4 第3页共30页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【即学即练2-2】(2025高三·全国.专题练习)已知等差数列{a,}的公差为1,2a4+a=4,则a=() A.n-3 B.2n-3 C.n-6 D.2n-6 知识点03等比数列 (一)等比数列的有关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为=q0m∈N,q为非零常数)（或=q,n≥2）. an-1 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G子=ab. (二)等比数列的基本公式 1.通项公式：设等比数列{an}的首项为a1,公比为g(g≠0)，则它的通项公式an=a1q”-1=amq”-m (na, (q=1) 2.等比数列{a}的公比为q(g≠0)，其前m项和为Sn= a40-g2=a1-a9,(g≠1) 1-q 1-9 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由 q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解. ②)已知4，gg≠，n(项数)，则利用Sn=1求解：已知a,a,gg≠1)，则利用Sn=1求解. 1-9 1-g ③)Sm=号q+是=k~q”-k(k≠0，q1),8,为指数型函数，且系数与常数互为相反数. (三)等比数列的性质 1.对任意的正整数l,n,p,t,若l十n=p十t,则ama=4a. 特别地，若l十n=2p,则4man=c. 2.衍生等比数列 (1)设{a}为等比数列，则an为非零常数)，Ia},{am仍为等比数列. (2)设{a}与b}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. (3){an}为等比数列，等间距抽取am,am+t,am+2t,am+o-1)t…为等比数列，公比为q (4){a}为等比数列，等长度截取：Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…为等比数列，公比为qm(若g=-1时，则m是奇 数) 5a}为等比数列，若aa,=工，则7，纪，，成等比数列 3.等比数列{a}的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比q决定）. 当侣06g01时，a为避绍数列： 兰日g1.或时，a为递减数列 【即学即练3-1】(25-26高三上湖北荆州开学考试)已知等比数列{a}中，4=2,4=8，则a,=() A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 第4页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练3-2】(24-25高二下·重庆渝中.期中)若数列{a}是等比数列，a24=16，则l0g2(44)=() A.3 B.4 C.5 D.6 知识点04递推关系、数列求通项 -已知5求a顶与和的雪化：a=低-5-二2 n=1, 注意：绝大部分题目是把Sm-Sm-1(n≥2)用a,替换，得到形如：a,=f(an-1)的式子；有时需逆向思维， 把题目中的a.用Sn-Sn-1(n≥2)替换，得到形如：Sn=f(S-1)的式子。 (二).累加法：己知a4且a一4-1=m22), 则4，一a-1=0,a-1一-2=-1)，.，a3一=3)，a2一4=2).所有等式左右两边分别相加， 即a=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…(an-a-1)=f1)+f(2)+…+fn)(0n≥2).代入a得a. (1)若fn)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和： (2)若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和： (3)若fn)是关于n的二次函数，累加后可分组求和： (4)若fn)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. (三).累乘法：己知am且a%=fm)022), n-1 则21=fm,8二f-1),,器=f3),鲁=f(2②，所有等式左右两边分别相乘， 即an=fm)·f(n-1)…f(3)·f(2)·a10n≥2).代入4得a. (四)构造法 1.形如+1=Aa十B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{a}为等差数列： (2)若B=0时，数列{a}为等比数列； (3)若A≠1且B≠0时，数列{α为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下 两种： 法一：化为a1十是A(a+是)的形式，利用{a+局}提以A为公比的等比数列求解 法二：由a+1=Aa,十B得a,=Aa1-1+B两式相减并整理得-8=A即{a1-a,}构成以a4,-a为首项， an-an-1 以A为公比的等比数列.求出{a1-a}的通项再转化为累加法便可求出a: 2.形如a1=pa.+f()(D≠1)型的递推式： (1)当f()为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设a,+A1+B=p[a-1+A(n-)+B],通过待定系数法确定A、B的值，转化成以4+A+B为首项， 以A=心为公比的等比数列a,+An+B},再求出a+An+吲的通项整理可得a, (n-m)！ 法二：当f(m的公差为d时，由递推式得：a1=pa。+f(m,a。=pa-1+f(-1)两式相减得： a1-a.=p(a。-4-i)+d,令bn=a+1-4得：b=pb-1+d进而可求出a 第5页共30页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)当f()为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设a.+f(m)=p[a-1+f-1)]，通过待定系数法确定入的值，转化成以a+2fI)为首项， ,心、为公比的等比数列{a,+fm},再求出{a,+f}的通项整理可得a, 以A=(0n-m 法二：当f(m的公比为g时，由递推式得：a1=pa+f(m--①，a。=pa-1+f(n-1), 后一式子两边同时乘以g得a.q=pqa1+qf01-1)一-②，由①②两式相减得a+1-a.q=p(a,-q0-1), 即a+1-g=p,进而可求出a a,-q0n-1 (3)当f(四为任意数列时，可用通法：在a1=pa,+f)两边同时除以p+1 可得别合会9，令品=友，则6@， D" n,在求出b,之后得a,=pb. 3形如a+1=9a十p:q+1n∈N),可通过两边同除q+1,将它转化为常=学+p,从而构造数列 为等差数列，先求出}的通项，便可求得{a的通项公式。 4.形如a1=pa。+q(其中p,q均为常数)或a+1=pa,+rg(其中p,q,r均为常数)时，两边同时除以q1, 得：a-卫.0+1 G+1qq”q 引入精助数列6-骨，得：6，-+进而可求 5.形如an+1=ka(k>0,an>0):两边取对数得lgan+1=tlgan+lgk,令bn=lga,得：bn+1=tbn+lgk,即 化归为a+1=pa,+q型，求出b,之后得a.=10.(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择). 6.形如a2=pa1+q：用待定系数法，化为特殊数列{a。-a-1}的形式求解。 方法为：设a2-a1=a1-a),比较系数得h+k=p,-k=q,可解得h、k, 于是{a+1-ka}是公比为h的等比数列，这样就化归为a1=pa,+q型. 7形如a一a+1=kaa+1k≠0，两边同除以aa变形为一=-k的形式，从而构造等差数列侣 an+l an 先求出{}的通项，便可求得{a的通项公式 (五)倒数法：用“倒数变换法”构造等差数列 1形知是g（以a为常数，网0)的数列，通过两边取“倒”，变形为+片即：-号 pan+q 从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得a 2形如a1=点，g为常数：p*0,q≠0，k0,两边取“倒，变形为=是亡十层可换元：b。=去 ant1 k an 化简为：b+1=是·b+此类型即前面类型，可用“待定系数法”构造出新的等比数列） 【即学即练412425高二下河南南阳阶段练习)某数列前12项依次是0,24,8,12,18,24,32,40,50，x,72,, 则数列中的x值应为() A.56 B.60 Cc.62 D.64 第6页共30页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 5+a,则aos=(） 【即学即练42】(2025高三下-全国专腿练习在数列a}中，4=0，a30 A.2W3 B.5 C.0 D.-5 知识点05数列求和 1.公式法求和 ()等差数列的前n项和公式：S="aa=na1+卫 2 2 (na1,q=1, (2)等比数列的前n项和公式：Sn= -92=1-an9,q≠1， 1-9 1-9 (3)特殊公式：1+2+3十4+…十n=n+四： 2 2+4+6+…+2n=n(n+1): 1+3+5+…+(2-1)=n2: 12+22+.+n2=2n(m+1)(2n+1): 6 13+2+3+…+3=。 2.分组转化法 通项为cn=a十bn的数列求和，其中{a}与{b}是等差（比）数列或一些可以直接求和的数列. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 【常用的裂项公式】 袋碳型1：等整型：老仙足等被处则d,一长d:六> (1),1=11 甘中购-为 1 1 11 1 -1[1 1 (3h+a+2=2+a+)a+2 4品吉报动 1 1 n+1 am-10+)(小（片+）. 5)(-1) 裂项模型2：根式型 aa+T-m:=n+及-网： 1 (22n+1-v2n-1): 1 1+2+()2=1+片 (4) 1 11 (n+D)Vtn 第7页共30页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 裂项模型3；指数型 2n 11 (1 (2+1)(2+1+1)2+12+1+1 (2) 2nk (2+121+1)2(2427)上 =1(1 2 (21-1)-(2-1)-11 3)2m-2-D2-2-)2-12可 。D 3 ) n+2 =1 1 02+m2+1n2n+1)2+1 k2k+1 (6)k+1)k+习 k+1 2积却2-（食岁女a小2 8)4-1)3=9 n(n+2)2(n+2)n (9)(2n+1)·(1y_（-1)(←1) n(n+1) n n+1 裂项模型4：对数型 alogag=log.a+1-logan 2)log.(1+)=1og.0+1)-1og: 裂项模型5：三角型 (1)1 1 -(tan a-tan B) 'cosacos B sin(a-B) (2)- 1 cosncos(n+sin 1o [tam(+1)-tan] (3)tan atan B= tan(a-p (tan a-tam B)-1 1 4.错位相减法 如果通项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，前项和一般用错位相减法求解。 错位相减法的万能公式：若bn=(kn+t)·q-1(q≠1)， 则数列的前a项和为：7=(n+)g十(，其中：A=点B-兰C=-B, 5.倒序相加法 如果一个数列{a}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的 前n项和即可用倒序相加法求解 6.并项求和法：通项公式形如a=(一l)yn或a,=a(一1)（其中a为常数，n∈N等正负项交叉的数列求和 一般用并项法.并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论. 第8页共30页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练5-1】(24-25高二上广西南宁阶段练习)数列{4}的通项为4，=2”+2n-1,则数列{a的前n项 和S.为) A.2”+n2-2B.2m++n2-2C.2"+n2-1D.2++n2-1 【即学即练5212425角二下新报各香明肿日加致列物多的前”项和为文，若6，测工。=（门 2024 2025 1 1 A. B. C. D. 2025 2026 2025 2024 【即学即练5-3】(24-25高二下.全国课后作业)数列{·2”}的前n项和等于() A.(n-1)2”-2"+2B.(n-1)-21+2 c.(n-1)2” D.(-1)-2 题型精讲 题型01观察法判断数列的项或通项 【典例1-1】(24-25高二下陕西期中)已知数列1，-√2，√5，-2，√5，，则该数列的第36项为) A.-36 B.36 C.-6 D.6 【典例1-2】(24-25高二下湖北孝感期中)数列1，-1,1，-1，(EN)的一个通项公式为() A.←1)+2B.c0s(n-)元 c.-() D.sin (2n+1) 2 【典例1-3】（24-25高二下江西赣州期末)数列{a}为1,2,4…，则不能作为{a}通项公式的是() [-1 n-n+2 4,(n=2k-1,keN) A.a= B.a=2-1C.a,=-t+4n-2 D. 2 2,（n=2k,keN) 【变式11】(2025高二·全国专题练习)数列号品品号…的第8项是( 14 16 18 20 A. B. C. 195 255 323 D. 399 1 1725 【变式12】(24-25高二下海南省直辖县级单位：期中)已知无穷数列a,}的前5项分别为3,3,3，亏， 11,则此数列的通项公式可能为) A.a=7n-6 10m-9 3 8.a,=81-7 C.g=91-8 D.d= 3 3 3 第9页共30页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式1-3】(25-26高二上·全国单元测试)已知数列0,2,0,2,0,2，，则前六项适合的通项公式为() A.a,=1-1yB.a=2c0s2 匹 C.a,=2sima+四 D.a=1-cos(n-1)π+(n-1)n-2) 2 【变式1-4】（多选）24-25高二上河北保定阶段练习)下列有关数列的说法正确的是() A.数列-2024,0,4与数列4,0，-2024是同一个数列 B.数列{a}的通项公式为4。=n(1-1),则110是该数列的第11项 C.在数列1，√2，√3,2，V5,…第8个数是2√2 D.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为4=2”+1 【变式1-5】(2025高二·全国专题练习)如图，观察其中数的规律，第6行左起第4个数是 24 357 681012 911131517 … 题型02由递推关系写出数列的项 【典例21】24-25高=下江西萍乡期中已知数列a,}满足4=4=1，若a1-。11,则a,=() a+a B.2 C.1 D.2 【典例2-2】(24-25高二下·陕西渭南阶段练习)数列{an}满足，4=1，a+1=(2n+1)·a,(n∈N+),则4的 值为) A.13 B.14 C.15 D.16 「n-2,1≤2≤9 【典例2-3】(24-25高二下-河南周口·期末)数列a,}的通项公式为a,={2如+1m≥10，若a。=21,则m=() A.9 B.10 C.11 D.12 【变式31】(24-25高二下北京·期中)若数列{a}满足an=a-1+n+2(n≥2)，a=2,则a,=() A.16 B.20 C.24 D.28 1 【变式221(2324高二下-四川绵阳阶段练习)已知数列a}满足4=24，a1-20,则a,=() 第10页共30页丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一章数列复习讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01观察法判断数列的项或通项 题型02由递推关系写出数列的项 知识点01数列的概念 题型03通项公式或前项和公式的函数性质 题型04等差数列的基本量运算 知识点02等差数列 题型05等差数列的性质 第一章数列复习 题型06等比数列的基本量运算 题型07等比数列的性质 知识点03等比数列 题型08由递推关系求数列通项 题型09周期型数列 知识点04递推关系、数列求通项 题型10数列的奇偶项问题 题型11数列求和 题型12数学归纳法 知识点05数列求和 教学目标、教学重难点 1.理解数列、通项公式、前n项和公式的意义，掌握周期型数列的处理方法； 2.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式， 能够熟练进行等差数列、等比数列的基本量运算： 3.理解掌握等差数列、等比数列的常用性质，特别是中项、下标和、片段和性质，理解 掌握等差数列的二次函数性质； 教学目标 4掌握公式法、分组（并项）求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序求和法等常用的数列 求和方法： 5.掌握由递推关系求通项公式的常用方法； 6.理解数学归纳法，掌握数学归纳法的步骤： 7.掌握数列奇偶项问题的方法： 1、重点：等差数列、等比数列的通项公式、前项和公式及它们的常用性质、递推关系、 教学重难点 数列求和方法： 2、难点：递推关系、错位相减法、奇偶项问题： 知识清单 知识点01数列的概念 (一)数列的概念 1数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集)为定义域的函数a。=f(n),当自变量 按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值， 3数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法， 数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线. 第1页共62页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (二)数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 递增数列 a+>an 按项与项间的大小关系分类 递减数列 dn<dn 其中neN 常数列 an=an (三)数列的通项公式 1.通项公式：如果数列{an}的第n项a。与序号n之间的关系可以用一个式子a,=f(n)来表示，那么这个 公式叫做这个数列的通项公式.数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式： (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的， 2递推公式：如果已知数列{a,}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 不同点 相同点 通 可根据某项的序号n的值，直接代入求出4， 都可确定一个数列，也都可求出 递 可根据第一项（或前几项）的值，通过一次（或多次）赋值，逐项求出数 数列的任意一项 推 列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出4。 【即学即练1-1】(2025高二全国专题练习)符合递推关系式a,=√3a,的数列是(). A.1,2,3,4B.1,5,3,35C.5,3,5,3 D.0,5,3,35 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】将各个选项的数代入递推关系即可判断 【详解】对于A,4,=3≠V3×a4,=2W3,不满足题意： 对于C,a,=V3≠√3xa,=3V3,不满足题意： 对于D,a,=V3≠√3×a=0,不满足题意： 对于B,a,=√3=√3xa=3,4=3=√3x4=3,a,=33=3xa,=35,满足a=√5a1.故选：B. 【即学即练1-2(24-25高二下·四川绵阳·期末)已知{a}是一个无穷数列，“a>a2"是“{a}为递增数列”的(） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断数列的增减性 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可， 【详解】因对于数列{a},取4=10,42=3,4=4，显然{a}不是递增数列， 所以“a>a"不是“{a}为递增数列的充分条件， 第2页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若{an}为递增数列，则a>a,所以“4>4"是“{a}为递增数列的必要条件， 所以“a>凸"是“{a}为递增数列"的必要而不充分条件，故选：B 【即学即练13】425商=下四川眉山所未赏列兮号好-片…的一-个蹈顶公式)】 4.1 c.-01 D.1) 【答案】D【难度】0.94【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第n项的数字是上，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为)故选：D 知识点02等差数列 (一)等差数列的有关概念 1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示， 定义表达式为一an-1=d(常数)(n≥2，n∈N或a+1一a=d(常数)(n∈N, 2等差中项：若三个数，a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=出也 2 (二)等差数列的有关公式 1.通项公式：a=4十(n-1)d.通项公式的推广：4.=an十(n一m)dn,∈N). 2前n项和公式：S.=a+2d=a (三)等差数列的常用性质：已知{a}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和. 1.若{a}为等差数列，且k十l=m十n(k,1,,n∈N),则a十m=an十an. 特别地，若m+n=2t,则anm+a,=2a,(h,h,t∈N). 2.衍生等差数列 (（1)等间距抽取am,am+t,am+2,am+6m-1)r…为等差数列，公差为td. (2)等长度截取Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…为等差数列，公差为d. 3)算术平均值，兰兰，…三，…即为等差数列，公差为号 (④若{a},{化}是等差数列，则{pa+qb}也是等差数列 3.两个等差数列{a},{b}的前n项和分别是An,Bn;则%=4三 bn B2n-1 4若项数为偶数21，则S,.=a+a)=a+a):S。一S=d:= S脊=an 顶数为奇数2n-1,则5-1=(21-)a;SS0:= 等差数列(a中，若a>0,d<0,则满足Cm二20的项数m使得S取得最天 第3页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若4<0，d>0,则满足&m90的项数m使得S取得最小值S。 8若没<S有最大有项或负项之和：可由不等式化0来确定 若合Q则S有装小位前有负项欧手正项之利，可由不等式合来确定n 若公差d=0一{a}为常数列. (四)等差数列的四种判断方法 1.定义法an+1-a.=d(或者a。-aa-1=d(n≥2)(d是常数)台{a}是等差数列. 2.等差中项法：2a.=an-1+a+(n≥2)(neN)台{a}是等差数列. 3.通项公式：an=pn+q(P,q为常数)台{an}是等差数列. 4.前n项和公式：Sn=An2+Bn(A,B为常数)台{an}是等差数列 【即学即练2-1】(24-25高二下海南省直辖县级单位期末)己知等差数列{a}中，4=5,4，=9，则其公差 d=() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【难度】0.94【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可 【详解1因为在等差数列中，4=5,4=9，所以公差d=:g=9,5=2.故选：B 5-3-2 【即学即练2-2】(2025高三·全国.专题练习)已知等差数列{a}的公差为1,2a4+a=4,则a.=() A.n-3 B.2n-3 C.2-6 D.2-6 【答案】C【难度】0.85【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据已知关系，应用等差数列的通项公式求基本量，再写出通项公式， 【详解】若数列公差为d,因为2a4+a,=a,所以2(4+3d)+(a+4d)=4, 又d=1,解得a=-5,所以a,=a+(n-1)d=-5+n-1=n-6.故选：c 知识点03等比数列 (一)等比数列的有关概念 1.定义：一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示， 定义的表达式为出=q0m∈N,q为非零常数)（或=g,n≥2）. a。 an-1 2.等比中项：如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=ab. (二)等比数列的基本公式 1.通项公式：设等比数列{an}的首项为a,公比为g(g≠0)，则它的通项公式an=a1q-1=amq”-m. na, (q=1) 2.等比数列{a}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn= g2-,g*0 1-q 第4页共62页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 (1)等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由 q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1与q≠1两种情况讨论求解 ②)已知a,gg≠D,n(项数)，则利用Sn=求解：己知a,a,gg+1),则利用S。=2求解。 1-g 1-q ③)S=号·q”+二。=k:q”-kk≠0，q≠1)，8，为指数型函数，且系数与常数互为相反数. (三)等比数列的性质 1.对任意的正整数，n,p,t,若l十n=p十t,则ama,=aa. 特别地，若m十n=2p,则anma=a2. 2.衍生等比数列 (1)设{a}为等比数列，则0an(2为非零常数)，{Ia},{a仍为等比数列. (2)设{a}与b}为等比数列，则{anbn}也为等比数列. (3){a}为等比数列，等间距抽取am,am+,am+2,am+m-1)r…为等比数列，公比为q. (4){a}为等比数列，等长度截取：Sm,S2m一Sm,Sm一S2m,…为等比数列，公比为qm(若g=-1时，则m是奇 数) 5a}为等比数列，若aaa=Z,则7，， ,成等比数列 Tn Tin 3.等比数列{a}的单调性（等比数列的单调性由首项a1与公比q决定）， 当日>0或8.01时.a为递媚数列： 兰60L.或时，a为递减数列 【即学即练3-1】(25-26高三上湖北荆州开学考试)已知等比数列{a}中，4=2,4=8，则a4=() A.16 B.16或-16 C.32 D.32或-32 【答案】B【难度】0.94【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】求出公比后可求a的值 【详解】设等比数列的公比为g,则q=马=4，故q=±2，故4，=4q=±16，故选：B. 【即学即练3-2】(24-25高二下·重庆渝中.期中)若数列{a}是等比数列，aa,=16,则l0g2(a,4)=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B【难度】0.94【知识点】对数的运算、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先根据等比数列的通项公式将α，a,=16表示出来，然后将4，a的表达式列出来，最后计算对数的值， 【详解】因为数列{an}是等比数列，42·4=16 则4，·a,=4q=16,而a,·a=aq.则1og2(a,4)=l0g216=4.故选：B. 知识点04递推关系、数列求通项 一已知5求a项与和的互化：a一8-5h22 n=1, 注意：绝大部分题目是把Sn-Sn-1(n≥2)用，替换，得到形如：an=f(a-1)的式子：有时需逆向思维， 第5页共62页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 把题目中的a用Sn-Sm-1(n≥2)替换，得到形如：Sn=f(Sn-1)的式子。 (二).累加法：己知a4且4-a-1=(≥2)， 则4，一a-1=fn,4n-1一4-2=f1一1)，.，a3一a2=3),2一a4=2).所有等式左右两边分别相加， 即an=a1+(a2-a1)+(ag-a2)+…(an-a-1)=f(1)+f(2)+…+fn)n≥2).代入得a. (1)若f)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； (2)若fn)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和： (3)若fn)是关于n的二次函数，累加后可分组求和： (4)若fn)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 三累乘法：已知a且。21=f0m02), 则。2二，=f0m,二=f01-1),,号=f3,号-=f2),所有等式左右两边分别相乘， a2 即a.=fn)·f(n-1)f(3)·f(2)·a1n≥2).代入得a. (四)构造法 1.形如a+1=Aa十B(A≠0且A≠1，B≠0)的递推式： (1)若A=1时，数列{4}为等差数列： (2)若B=0时，数列{4}为等比数列： (3)若A≠1且B≠0时，数列{a为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下 两种： 法一：化为a+十品=Aa+是)的形式，利用{a+号}是以A为公比的等比数列求解 法二：由a+1=4Aa,十B得a=Aa-1+B两式相减并整理得-2=A即{a1-a,}构成以a,-a为首项， an-an-1 以A为公比的等比数列.求出{a1-a}的通项再转化为累加法便可求出a: 2.形如a1=pa.+f()(D≠1)型的递推式。 (1)当f()为一次函数类型（即等差数列）时： 法一：设a,+A+B=p[a-1+A(n-1)+B],通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a+A+B为首项， 圆A心为公比的等比数列红++，再求出a+A+B卧的通项整理可得a 法二：当f)的公差为d时，由递推式得：a1=pa,+f0),a,=pa1+f0n-)两式相减得： a1-a.=p(a.-a-i)+d,令b.=a+1-a得：b。=pb-1+d进而可求出a (2)当f()为指数函数类型（即等比数列）时： 法一：设a.+f(m=p[a-1+元fn-1],通过待定系数法确定的值，转化成以4+f)为首项， 以4三m为公比的等比数列a+九m},再求出a,+∫}的通项整理可得a 法二：当f()的公比为g时，由递推式得：a1=pa.+f)一一①，an=p4-1+f(1-1), 后一式子两边同时乘以q得aq=pqa-1+qf(n-1)-一②，由①②两式相减得a1-a.q=p(a,-qa-1), 第6页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即1-g%=p,进而可求出a a-gan1 (3)当f(为任意数列时，可用通法：在a+1=pa.+fm两边同时除以p+ 可得到号会+9.令号-6则6成+9 D D,在求出b,之后得a=pb, 3形如a+1=ga+p~gt1(nEN),可通过两边同除g+1,将它转化为器==+p,从而构造数列 为等差数列，先求出{急}的通项，便可求得{a的通项公式。 4.形如a41=pa.+q(其中p,q均为常数)或a+1=pa,+q(其中p,q,r均为常数)时，两边同时除以q1, 得：==2.只+，引入辅助数列6=及，得：b=6,+进而可求。 5.形如an+1=ka克(k>0,an>0):两边取对数得gan+1=tlgan+lgk,令bn=lgan得：bn+1=tbn+lgk,即 化归为a1=pa,+q型，求出b,之后得a,=10.(注意：底数不一定要取10，可根据题意选择). 6.形如a+2=pa1+qa.：用待定系数法，化为特殊数列{a,-a-1}的形式求解 方法为：设a2-a1=(a1-a,),比较系数得h+k=p-k=9,可解得h、k, 于是{a1-ka}是公比为h的等比数列，这样就化归为a1=pa,+q型， 7形如a,一a+1=kana+1化k≠0)，两边同除以aan+1,变形为1一二=一k的形式，从而构造等差数列侣 antl an 先求出{的通项，便可求得{a的通项公式 (五)倒数法：用“倒数变换法”构造等差数列 1形如a1器g（9为常数，明*0)的数列，通过两边取“倒”，变形为六=十导即：1京=号 pan+g an+1 an qg' 从而构造出新的等差数列侣，先求出侣的通项，即可求得a。 2形如a1-a,g为常数，p≠0，q≠0，k≠0)，两边取“倒”，变形为：=是+是可换元：山，=品 pan+q anti k an 化简为：b+1一是b,+是（此类型即前面类型，可用“待定系数法”构造出新的等比数列） 【即学即练4124-25高二下河南南阳阶段练习)某数列前12项依次是0,2,4,812,18,24,32,40,50，x,72,, 则数列中的x值应为) A.56 B.60 C.62 D.64 【答案】B【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】观察数列，找到规律，即可求解 【详解】观察数列，易知奇数项和偶数项规律不同.奇数项为0,4,12,24,40，x, 则4-0=4,12-4=8,24-12=12,40-24=16，易知x-40=20, 所以x=60.故选：B. 【即学即练4-2】(2025高三下.全国.专题练习)在数列{a}中，4=0,41 3+a,则as=(） 1-V3a 第7页共62页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2V5 B.3 C.0 D.-√3 【答案】D【难度】0.85【知识点】根据规律填写数列中的某项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式求得数列的前几项，可得数列的周期，利用周期可得答案 【详解1因为4=0，a11-√3a 5+a,所以a=50-5,45x5 V5+5 5-5 1-0 13x(0 所以数列{a}是以3为周期的周期数列，由2025÷3=675，则42=4，=-V5.故选：D. 知识点05数列求和 1.公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式：S,=aa=na1+n-卫 2 2 (na1,9=1, (2)等比数列的前n项和公式：Sn= a1-g2=a1-am9,q≠1， 1-9 1-9 (3)特殊公式：1十2十3十4+…十n=n+。 2 2+4+6+…+2n=n(n+1): 1+3+5+…+(2n-1)=n2; 12+22+…+n2=2n(m+1)(2n+1): 6 1+23+3++8=. 2.分组转化法 通项为cn=a十bn的数列求和，其中{an}与{bn}是等差（比）数列或一些可以直接求和的数列. 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. 【常用的裂项公式】 影项模型1：等差型：若仙是等至数列，则，-d之 ()1 =11 1 上nn+1)n-n+1nntk-k卡nn+ks 1 1 1[1 1 (3h+i+2=2ha++1)a+2列 4 1 n+1 -0+12n26m+22 0a-1+)(小日+) 5)(-1) 裂项模型2：根式型 aiVn+7-Vm:m顶=n+k-V网： 2av2=2n+7-V2m-1: 1 第8页共62页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 )1+(2+(2=1+只 (4 1 11 a+1w+nvm=元n 裂项模型3：指数型 2 11 (1) (2n+1)(2+1+1)20+12+1+1 2n-k =111 (2+10(21+1）22+12+): 22 (3) -(21-1)-(2-1-11 (21-1(2”-1)(21-10(2”-1）2”-12-1 (4)3 11-1 (3-1)31-1）23-131-1 5) n+211 r2+02+1n20m+1)2+ k2k+12k+22k+1 (6)k+k+2=k+2-k+ (7)n+2=22+)-2=2-1.1=1 1 nn+1)-2"n(n+1)-2nn+12n-2-(0+1)-2 8)4-1)3=191] n(n+2)=20n+2)n (9)(2n+)(-1)y_（-1)←1 n(n+1) nn+1 裂项模型4：对数型 (ogg1og (2)loga(1+)=1og.(n+1)-log.n; 裂项模型5：三角型 (1)1 1 、(tan a--tanF) 'cosacosB sin(a-B) (2) 1 oco(sin 1tan(+1-tan (3)tan atan B=- 1 (tan a-tan B)-1 tan(a-B) 4.错位相减法 如果通项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，前项和一般用错位相减法求解， 错位相减法的万能公式：若bn=(kn+t)·q”-1(q≠1)， 则数列6，的前n项和为：T,=n+B)g+C,其中：A=点B=兰C=一B: 5.倒序相加法 如果一个数列{a}的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的 前项和即可用倒序相加法求解， 第9页共62页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 6.并项求和法：通项公式形如a.=(一1)n或4，=a(一1)（其中a为常数，n∈N)等正负项交叉的数列求和 般用并项法.并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论 【即学即练5-1】(24-25高二上广西南宁阶段练习)数列{4}的通项为a.=2”+21-1,则数列{4}的前n项 和Sn为() A.2”+2-2B.2++n2-2C.2”+n2-1D.2+1+n2-1 【答案】B【难度】0.94【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据分组求和法计算即可求解。 【详解】因为a,=2”+21-1, 所以8，=2+2++2+20+2++m)-m=20-2+2(+1)-n=21+n2-2.故选：B. 1-2 【即学即练5212425商=下新L鲁番期中已如数列秘}的前”现利为元，若6D则7() 2025 A. 2024 1 B. 2025 2026 C.2025 D. 1 2024 【答案】B【难度】0.85【知识点】裂项相消法求和【分析】根据裂项相消求和法求解 【详解】已知b,=1=11 (+1)nn+1 11 则7os=么+++bs=1k22x3+ s专61动6器器妆选：B 【即学即练5-3】(24-25高二下…全国课后作业)数列{n·2}的前n项和等于() A.(n-1)·2”-2"+2 B.(n-1)2m+1+2 c.(n-1)2 D.(n-1)21 【答案】B【难度】0.85【知识点】错位相减法求和 【分析】根据错位相减法求解即可得答案 【详解】设{n2”}的前n项和为Sn,则Sn=1×2+2×22+3×2+…+2”，,① 所以2Sn=1×22+2×23++(n-1)2+n.2m1,② ①-②，得-S.=2+22+2++2-21= 2(1-2”） 1-2 所以Sn=n.2m1-21+2=(n-1)·2+1+2.故选：B. 题型精讲 题型01观察法判断数列的项或通项 【典例1-1】(24-25高二下陕西期中)已知数列1，-√2，√3，-2，√5，，则该数列的第36项为) A.-36 B.36 C.-6 D.6 【答案】C【难度】0.94【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项 【分析】归纳可得该数列的通项公式为4=(-1)√n,再代入计算可得 第10页共62页