专题02 圆与方程（期中复习讲义）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题02 圆与方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 会根据相关条件写出圆的标准方程或圆的一般方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 定点到圆上点的最值 能在几何图形中转化距离最值问题 重点考点，常出现在选择题，填空题 圆上的点到定值线的距离最值问题 能在几何图形中转化距离最值问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 直线与圆的位置 能利用几何法代数法判断直线与圆的位置关系，或根据相应的位置关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 切线问题 能区分过圆外一点引切线或圆上的点引切线 基础考点，常出现在选择题，填空题 圆与圆的位置关系 能利用几何法判断直线与圆的位置关系，或根据相应的位置关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 圆的弦长 能根据弦长公式求弦长及其相应的应用如面积问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 公共弦问题 能求公共弦长，公共弦方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点03 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 知识点04 圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项； 知识点05直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点06 线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点07 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点08 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点09圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点10 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型一 求圆的方程 解｜题｜技｜巧 待定系数法，设出圆的方程:①圆的标准方程②圆的一般方程,再根据题意求方程 【典例1】已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 【变式1】已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得点关于直线对称，可得，可得直线方程； （2）由（1）设外接圆方程一般式为：，代入A，B，C三点坐标可得答案. 【详解】（1）∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. （2）由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 【变式2】在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设圆的一般方程，利用待定系数法直接求解即可. 【详解】设圆的方程为， 则有， 解得，即圆的方程为． 题型二 判断二元二次方程是否表示圆 解｜题｜技｜巧 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项； 【典例1】已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式1】已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“”表示圆时m的取值范围，再根据必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出t的取值范围. 【详解】因为表示圆， 所以根据圆的一般方程，， 又因为是表示圆的必要不充分条件， 所以能推出，而推不出， 即是的真子集， 所以， 故选: B. 【变式2】已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由点和圆的位置关系，圆的一般方程可表示圆的条件，列出两个不等式进行求解即可. 【详解】由表示圆， 标准方程是, 所以，解得， 由点在圆外， 即， 所以或， 综上. 故答案为：. 题型三 定点到圆上点的最值 解｜题｜技｜巧 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【典例1】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 【变式1】设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出的值，即可得出的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 【变式2】已知实数满足关系：，则的最小值 . 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，进而求解即可. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心坐标为，圆的半径， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离， 而圆心到原点的距离为， 则圆上的点到原点的距离的最小值为. 故答案为：. 题型四 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 与圆有关的最值问题的常见题型 1. 斜率型 形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． 2. 截距型 形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 4. 圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5. 直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 【典例1】已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值， 所以△PAB面积的最小值为. 故选：A. 【变式1】若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 【变式2】圆上的点到直线的最大距离是（    ） A．36 B． C． D．18 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，则圆心到直线的距离加上半径即为最大距离. 【详解】圆，即， 其圆心为，半径为， 则圆上的点到直线的最大距离是 . 故选：C. 题型五 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ；。圆心到直线的距离：。 ①圆与直线相交。 ②圆与直线相切。 ③圆与直线相离。 【典例1】已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 【变式1】直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断. 【详解】由， 可知：圆心，半径为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆的位置关系为相离， 故选：C 【变式2】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 题型六 圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 ①几何法：利用点到直线的距离等于半径 ②代数法：联立直线与圆，令 【典例1】过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 【变式1】已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到点到圆心的距离为，从而得到，由正切二倍角公式进行求解即可. 【详解】变形为， 故圆心为，半径为2，所以点到圆心的距离为， 则切线长为，所以，则. 故选：D． 【变式2】过点作圆的切线，求此切线方程． 【答案】 【分析】将A点代入圆的方程中，发现点A在圆上，则圆心到A点的斜率为0，则切线斜率不存在，是垂直于x轴的直线即可求出切线方程. 【详解】因为， 所以点在圆上，从而A是切点， 又过圆心与点A的直线斜率为，且切线与之垂直， 故所求切线的方程为． 题型七 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 1.直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 圆与圆相交的弦长问题 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而转化为直线与圆相交的弦长问题． 3.过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 【典例1】已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 【变式1】过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程． 【答案】或． 【分析】用点斜式设出直线方程，利用点到直线的距离公式，列出等式，即可解出斜率和直线方程. 【详解】由例题知，圆心为，半径长为， 又弦长为，所以圆心到直线的距离 ． 又直线过点，可知直线斜率一定存在， 可设直线斜率为k，则直线方程为， 所以，解得或， 所以直线方程为或， 即或． 【变式2】已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 题型八 圆与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 几何法 【典例1】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可. 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 【变式1】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】A 【分析】根据圆的方程确定圆心及半径，由两圆圆心距离与半径的关系判断位置关系. 【详解】根据题意，化简得圆，圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 圆心距， 所以两圆内含． 故选：A 【变式2】已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 题型九两圆公共弦方程 解｜题｜技｜巧 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【典例1】两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 【变式1】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长. 【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为. 法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程， 圆的圆心到直线的距离， 故公共弦长为. 故答案为：. 【变式2】若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】因为两点是两圆公共的交点，即满足两圆方程，联立求解即可求得直线方程. 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由直线和圆相交时的弦长公式求解即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为， 所以， 化简得，解得. 故选：A. 2．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 3．圆上的点到直线的距离可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】先求出圆心到直线的距离，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心，半径为， 由题可知，圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的取值范围为. 故选：D. 4．圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】B 【分析】根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系. 【详解】对于圆，圆心为，半径； 对于圆，圆心为，半径. 两圆圆心距，又， 所以，所以两圆外切. 故选：B 5．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 6．若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 7．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 【答案】ACD 【分析】对于AC，由两圆圆心距与两圆半径关系可得两圆位置关系；对于B，两圆方程相减可得直线的方程；对于D，由B分析可得到直线的距离，据此可得线段长度. 【详解】对于AC，圆的圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为1， 圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得．故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确. 故选：ACD 8．（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D. 【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误， 由， 易知，半径， 则点到直线的距离， 故弦长；故C正确， 当，并在如图所示位置时， P到直线AB的距离最大，为； 故选：AD. 9．若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆的一般方程，可得，结合圆的一般方程中，代入数据即可求解 【详解】由方程表示一个圆，所以，则，根据圆的一般方程需满足，此处， 代入可得，解得且，所以. 故答案为： 10．已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 【答案】（从中任选一个即可） 【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离。由垂径定理得到弦长与圆心到之间距离的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离，然后即可解得的值. 【详解】圆心到直线的距离、 由于弦长，所以，解得或， 故或，解得或．因此，从中任选一个即可． 故答案为：（从中任选一个即可）. 11．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【分析】（1）将圆的方程化为圆的标准方程，即可求解； （2）首先求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理计算即可求解. 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 取弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 12．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题可得直线过圆心，求出圆心坐标代入运算得解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线距离d，分直线l斜率存在和不存在讨论利用点到直线的距离公式求解. 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（    ） A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2 【答案】B 【分析】根据题意设出圆的方程，然后将经过的两个点坐标代入圆的方程中组成方程组，求解即可. 【详解】设圆心，因为圆与轴相切， 则. 所以圆的方程为. 因为该圆经过点， 所以. 化简得，两式相减得. 然后将代入①式中得，解得或. 故选：B. 2．已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将题意转化为圆心到直线的距离不大于半径的倍，解不等式即可求解． 【详解】设两切点为，则，由题意，则是正方形， 故（为圆的半径）， 因此只要直线上存在点，使得即可满足题意． 又，直线即， 所以，解得，所以r的取值范围是． 故选：D 3．已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据题意先解出直线的方程，再设点，然后根据已知条件解出点的轨迹方程，即可得到结果. 【详解】由点得. 设，由已知且， 所以. 又点在上，得， 故点轨迹为以为圆心，半径的圆， 则点到直线距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：B. 4．（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】由直线过定点判断A，由定点在圆内判断B，由弦长的计算判断CD即可. 【详解】对于A，由直线，整理可得， 令解得则直线过定点，所以A错误； 对于B，圆的圆心为，半径，由定点到圆心的距离为，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以B正确； 对于C，由圆心为，得圆心到轴的距离为1，所以圆截轴所得弦长为，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为， 所以最短弦长为，所以D正确. 故选：BCD. 5．已知，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】把问题转化为两点之间线段最短，再求两点之间的距离即可. 【详解】因为， 所以. 所以表示圆上的点到与到的距离和. 如图：    所以（当为线段与圆的交点时取等号）. 故答案为： 6．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为 ，点在圆上，的最大值是 ． 【答案】 7 【分析】求线段的中垂线即为的“欧拉线”；设将问转化为直线与圆有交点求，利用直线与圆的位置关系即可. 【详解】，由题意可得的欧拉线为的中垂线， 由，可得的中点为，且， 线段的中垂线方程为，即； 设，则，即， 因点既在圆上，又在直线上，则直线与圆有交点， 所以，即，解得， 所以的最大值为. 故答案为：；7 7．过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 8．古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设点P的坐标为，根据列方程化简可得结论， （2）由条件可得，由此可得，展开利用基本不等式求其最小值. 【详解】（1）设点P的坐标为，因为，又，， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以点P的轨迹方程为． （2）因为点P的轨迹关于直线对称， 所以圆心在此直线上，即， 所以， 所以， 当且仅当，，即，时，等号成立． 故的最小值为． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于r的不等式即可求解． 【详解】将直线方程变形为，则可知直线恒过定点， 圆的圆心，则， 若，则直线可和圆O相切，如图所示，此时A、B重合，若直线与圆O交于不同的两点A，B， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即P在圆O内，直线与圆O一定交于两点A、B，此时对于任意给定的半径r， 根据圆的性质，当时，弦AB最短，最小，此时弦长， 在中，，当时，为等边三角形，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦AB满足， 即，解得， 综上所述，． 故选：C． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设反射前光线所在直线方程为，分四种情况讨论，即①当光线不发生反射时；②当光线只发生一次反射时，；③当光线发生两次反射时，④当光线发生三次反射时，利用几何法即圆心到直线的距离大于半径，通过分析进而求解； 【详解】由题意知半圆的圆心为，半径为1，设反射前光线所在直线方程为． ①如图：当光线不发生反射时，光线所在直线的斜率，若此时光线与半圆无交点，则半圆圆心到光线所在直线的距离，解得，即． ②当光线只发生一次反射时，反射光线不与轴非负半轴相交，由，得则反射光线所在直线方程为，即，所以，解得．令半圆圆心到反射光线所在直线的距离1，解得，又，所以此时要使光线与半圆没有交点，则． ③当光线发生两次反射时，讨论如下．当时，第一次反射后光线所在直线与轴非负半轴有交点，交点为，则第二次反射后光线所在直线方程为，所以，解得．令半圆圆心到第二次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则．当时，易知第一次反射后光线过点，第二次反射后光线所在直线方程为，与半圆没有交点．综上，． ④当光线发生三次反射时，由得则第三次反射光线所在直线方程为，即，所以，即．令半圆圆心到第三次反射光线的距离，得，故此时要使光线与半圆无交点，则． 综上，的取值范围为． 故选：A． 3．（多选）已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则（   ） A．若，，则的值与M的位置无关 B．轴上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 C．直线上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 D．直线上不存在一对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 【答案】ABC 【分析】设，，由，再结合可求得即可对A、B判断；由圆关于直线对称且结合A、B中推论，可对C、D判断. 【详解】A：圆心C的坐标为，圆关于轴对称，设，， 则，即，对恒成立， 所以，所以，所以， 即，所以且且且， 令，得，所以A正确； B：因为且且且有无数组解，所以B正确； C、D：由圆关于直线对称及以上推理得，直线上也存在无数对定点A，B（A，B不重合）， 使得的值与M的位置无关，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 4．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将方程整理为，知方程无根；当时，利用可得所求区域，将所求式子化为与夹角余弦值，通过确定向量夹角的范围可确定所求式子的范围；当时，知满足题意，代入可得式子的值；综合两种情况可得结果. 【详解】将直线方程转化为：， 区域表示不在直线上的点构成的集合， 方程无实数根； ①当时，，整理得：， 即在以为圆心，为半径的圆的内部. 令，则，，， 设与夹角为，则， 又直线与圆相切于点，且， ，； ②当时，直线方程为，令，解得：， 当时，必有取值，则当时，只有不在直线上. 此时； 综上所述： 的取值范围为. 故答案为：. 5．已知圆过，且圆心在轴上． (1)求圆的周长； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于为坐标原点，直线分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心在轴上的圆的标准方程，代入两点坐标，解方程组得到圆心坐标和半径，再根据圆的周长公式计算即可. （2）先根据弦长求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在两种情况。斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. （3）设直线的斜率，求出点坐标，根据垂直直线斜率的关系得到直线的斜率，求出点坐标，再求出点坐标，分别表示出​，进而得到的表达式，最后利用基本不等式求其最大值. 【详解】（1）由圆心在轴上，设圆的方程为，又圆过， 则，解得，所以圆的方程为，其周长为. （2）根据题意作图. 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为. ①当直线的斜率不存在时，直线与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得，则直线. 综上，直线的方程为或. （3）根据题意作图. 因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以.设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，可得，解得或， 所以点的坐标为. 又直线的斜率为，则直线的方程为， 联立，可得，解得或， 所以点的坐标为. 由题意可知，点， 所以，， 故，又，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 会根据相关条件写出圆的标准方程或圆的一般方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 定点到圆上点的最值 能在几何图形中转化距离最值问题 重点考点，常出现在选择题，填空题 圆上的点到定值线的距离最值问题 能在几何图形中转化距离最值问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 直线与圆的位置 能利用几何法代数法判断直线与圆的位置关系，或根据相应的位置关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 切线问题 能区分过圆外一点引切线或圆上的点引切线 基础考点，常出现在选择题，填空题 圆与圆的位置关系 能利用几何法判断直线与圆的位置关系，或根据相应的位置关系求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 圆的弦长 能根据弦长公式求弦长及其相应的应用如面积问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 公共弦问题 能求公共弦长，公共弦方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点03 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 知识点04 圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项； 知识点05直线与圆的位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 2.1几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 2.2代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 知识点06 线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点07 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点08 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 2.1几何法 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 2.2代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点09圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点10 圆系方程 以为圆心的同心圆圆系方程：； 与圆同心圆的圆系方程为； 过直线与圆交点的圆系方程为 过两圆，圆：交点的圆系方程为 （，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程. 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 题型一 求圆的方程 解｜题｜技｜巧 待定系数法，设出圆的方程:①圆的标准方程②圆的一般方程,再根据题意求方程 【典例1】已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【变式2】在平面直角坐标系中．求经过三点的圆的方程． 题型二 判断二元二次方程是否表示圆 解｜题｜技｜巧 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项； 【典例1】已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A．B． C． D． 【变式1】已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知点在圆外，则实数的取值范围为 . 题型三 定点到圆上点的最值 解｜题｜技｜巧 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【典例1】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【变式1】设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【变式2】已知实数满足关系：，则的最小值 . 题型四 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 与圆有关的最值问题的常见题型 1. 斜率型 形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． 2. 截距型 形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 4. 圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5. 直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 【典例1】已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 【变式1】若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】圆上的点到直线的最大距离是（    ） A．36 B． C． D．18 题型五 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ；。圆心到直线的距离：。 ①圆与直线相交。 ②圆与直线相切。 ③圆与直线相离。 【典例1】已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定的 【变式2】若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型六 圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 ①几何法：利用点到直线的距离等于半径 ②代数法：联立直线与圆，令 【典例1】过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知过点与圆相切的两条直线的夹角为α，则tanα＝（    ） A． B． C． D． 【变式2】过点作圆的切线，求此切线方程． 题型七 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 1.直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 圆与圆相交的弦长问题 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，进而转化为直线与圆相交的弦长问题． 3.过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 【典例1】已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【变式1】过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程． 【变式2】已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 题型八 圆与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 几何法 【典例1】已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（    ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【变式2】已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 题型九两圆公共弦方程 解｜题｜技｜巧 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【典例1】两圆和的公共弦长为 ． 【变式1】圆与圆的公共弦长为 . 【变式2】若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．若直线被圆C截得的弦长为，则（　　） A．±2 B． C．2 D．2 2．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．圆上的点到直线的距离可能为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 5．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 6．若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知圆和圆相交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．两圆相交 B．直线的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段的长为 8．（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 9．若方程表示一个圆，则b的取值范围为 . 10．已知直线与圆交于两点，写出满足“面积为”的的一个值 ． 11．已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 12．已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴相切，则圆心的横坐标是（    ） A．-10 B．2或-10 C．-2或10 D．-2 2．已知圆:与直线，直线上存在点，过点可以作两条互相垂直且与圆相切的直线，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知圆，点，点，点在圆上运动，点满足（O为坐标原点），则点到直线距离的最大值为（　　） A．8 B． C． D．6 4．（多选）已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线与圆必相交 C．圆截轴所得弦长为 D．直线被圆截得的最短弦长为 5．已知，满足，则的最小值为 . 6．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，，，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为 ，点在圆上，的最大值是 ． 7．过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 8．古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P的轨迹关于直线对称，求的最小值． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．已知直线与圆交于不同的两点A，B，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，已知射线，，半圆，现从点向轴上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线时会发生镜面反射．设光线在发生反射前所在直线的斜率为，若光线始终与半圆没有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知圆C的方程为，为圆C上任意一点，则（   ） A．若，，则的值与M的位置无关 B．轴上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 C．直线上存在无数对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 D．直线上不存在一对定点A，B（A，B不重合），使得的值与M的位置无关 4．当变化时，不在直线上的点构成区域，是区域内的任意一点，则的取值范围是 ． 5．已知圆过，且圆心在轴上． (1)求圆的周长； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点且不与轴重合的直线与圆相交于为坐标原点，直线分别与直线相交于，记的面积为，的面积为，求的最大值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $