1.2直线的方程期中复习讲义-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2024-2025期中基础复习专题练 直线的方程 直线的点斜式方程 1.点斜式方程的定义： 如图所示，直线过定点，斜率为，则把方程 叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 2.点斜式方程的适用范围及注意点： (1)适用范围:不垂直于轴的直线.过定点，倾斜角是90°的直线斜率不存在,所以无法通过点斜式表示,其方程则为,或. (2)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一定点和斜率；②斜率必须存在.只有这两个条件都具备,才可以写出点斜式方程． (3)方程与方程不等价，前者是整条直线，后者表示去掉点的一条直线． (4)当取不同实数时，方程表示恒过定点的不同直线． 直线的斜截式方程 1.直线的方程 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上, 且这条直线上的点的坐标都是这个方程的解, 那么这个方程叫做这条直线的方程, 这条直线叫做这个方程的直线. 2.截距 直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距;直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距.直线在轴上的截距也常叫做纵截距,直线在轴上的截距也常叫做横截距. 3.斜截式方程 如图所示, 直线在轴上的截距为,斜率为,把方程 叫做直线的斜截式方程. 4.适用范围 不能表示垂直于轴的直线,当斜率不存在时,直线垂直于轴. 直线的两点式方程 1.两点式方程的定义 已知两点,其中,则. 为直线的两点式方程,简称为两点式. 2.两点式方程的适用范围及注意点： (1)适用范围:表示不垂直于轴和轴的直线.当时,直线方程为;当时,直线方程为. (2)方程和方程形式不同,适用范围也不同.前者为分式形式方程,分母不能为0,所以不能表示,,即垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程,适用于过任何两点的直线方程. 直线的截距式方程 1.截距式方程的定义 我们把直线与轴交点的横坐标叫做直线在轴上的截距,此时 直线在轴上的截距是,方程叫做直线的截距式方程.其中 . 2.截距式方程的适用范围及注意点 (1)适用范围:因为,所以表示不垂直于轴和轴以及不过原点的直线. (2)当时,直线过原点,直线方程为. 直线的一般式方程 1.直线与二元一次方程的关系 (1)在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都可以用一个关于,的二元一次方程来表示. (2)每个关于,的二元一次方程都表示一条直线. 2.直线的一般式方程 我们把关于关于,的二元一次方程(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程. 3.一般式方程适用范围及注意点 (1) 适用范围: 平面直角坐标系内的直线都适用. (2),分别为,的系数,为常数, ,不同时为零. (3)当时,直线过原点;当时,直线斜率为零;当时,直线斜率不存在. 4.对一般式方程的进一步理解 (1) 对移项得; ①当时,得斜截式:.表示斜率为,轴截距为的直线 ②当时,得:.表示一条垂直于轴的直线 (2)一般式方程能表示任何直线,所以斜截式,点斜式,两点式,截距式都可转化为一般式方程. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且倾斜角为，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川雅安·期中）若直线l：经过直线在第一象限上的点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线在轴上的截距为1，则直线在轴上的截距是（    ） A．或 B．或 C．或5 D．或5 6．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数的图象与直线有两个交点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题 7．（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）下列说法中，正确的有（　　） A．直线在y轴上的截距为 B．直线 的倾斜角为 C．过点且在轴截距相反的直线方程为 D．过点并且倾斜角为的直线方程为 9．（22-23高二上·福建泉州·阶段练习）直线的图象可能是（　　） A．B．C．D． 10．（24-25高二下·湖南张家界·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．经过定点的直线都可以用方程表示 B．直线过点，倾斜角为，则其方程为 C．在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 D．直线在轴上截距为2 11．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 12．（22-23高二上·贵州黔西·阶段练习）已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（    ） A．   B．   C．   D．   三、填空题 13．（23-24高二上·陕西渭南·期末）不论为何数，直线恒过定点 14．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 15．（2024高二上·江苏淮安·学业考试）设，，，直线将△ABC面积两等分，则m的值是 . 四、解答题 16．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 18．（23-34高二上·湖北黄石·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 19．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线不经过第二象限，求m的取值范围； (3)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 20．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程 参考答案： 1．B 【详解】由题得， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为， 转化得直线的一般式方程为． 故选：B. 2．A 【详解】因为直线与坐标轴交于点，，直线l恒过点，所以，所以． 故选：A 3．D 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 4．C 【详解】由题得当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为； 当直线在坐标轴上的截距均不为0时，直线方程可设为， 将代入可得，此时直线方程为． 综上，直线的方程为或． 故选：C. 5．B 【详解】首先，我们把直线化简为 ，而由题意得，直线在轴上的截距为1， 所以点一定在直线上，故可知且，解得或， 当时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是； 当时，直线的方程为，此时直线在轴上的截距是； 综上所述直线在轴上的截距是或，故B正确. 故选：B 6．C 【详解】由题意可得直线恒过点，且无论取何值，直线与函数都有两个交点， 所以分析函数的对称中心为， 所以，， 所以， 故选：C. 7．ABC 【详解】因为，所以， 则直线l斜率为，又直线l过点， 所以直线l方程为，即. 对方程， 令，得，故A正确； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将点代入方程左式得，故D错误. 故选：ABC. 8．BD 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，直线 的斜率为，求得倾斜角为，故B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为.故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为. 故D正确. 故选：BD. 9．BC 【详解】对于A，由可知，，此时与图象不符，故A错误； 对于B，由可知，，此时图象可能，故B正确； 对于C，由可知，，此时图象可能，故C正确； 对于D，由可知，，此时与图象不符，故D错误. 故选：BC. 10．ACD 【详解】对于A，方程不能表示倾斜角为且过的直线，故A错误； 对于B，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故B正确； 对于C，当直线在坐标轴上截距相等且为0时，不能用表示，故C错误； 对于D，令得，所以直线在轴上截距为，故D错误； 故选：ACD． 11．AD 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 12．ACD 【详解】直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 当时，直线与平行且图象满足A所示，故A正确． 选项B中，由直线在轴上的截距可得,，而由直线的斜率为，可得，故B不正确． 选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确． 选项D中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故D正确． 故选：ACD． 13． 【详解】由， 得， 令，解得， 即直线恒过定点. 故答案为：. 14． 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 15． 【详解】解：设直线与边，分别交于点． 由，得． 又直线的方程为，而点在边上，故可设．因此，． ， ， 故答案为： 16．（1）；（2）或 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 17．(1)证明见解析 (2) (3)，，，， 【详解】（1）由得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由， 令，得， 令，得， 由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以得周长为. （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数， 所以，均为整数，又斜率为正值即，即， ， 所以直线的方程为，，，. 18．(1)； (2). 【详解】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 19．(1) (2) (3)或 【详解】（1）由题意， 整理得，所以不管取何值时， 直线恒过定点的坐标满足方程组，解得， 即 （2）由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时， 此时直线是，显然满足题意； 当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时， 则纵截距小于或等于零即可，令，则， 即 ，解得； 综上所述： （3）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：， 解得或， 所以直线方程为：或， 即或. 20．(1)或或 (2)最小值为24，直线 【详解】（1）直线，则直线过定点， ①当，时，设的方程为． 点在直线上，． 若，则， 直线的方程为， 若，则，， 直线的方程为； ②当时，直线过原点，且过点， 直线的方程为， 综上所述，所求直线的方程为或或； （2）令，则；令，则， 直线交轴的正半轴于点，交轴的负半轴于点，， 为坐标原点，设的面积为， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故的最小值为24，此时， 直线． 学科网（北京）股份有限公司 $$