2.1平均变化率与瞬时变化率导学案-2024-2025学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

§1平均变化率与瞬时变化率 最新课程标准 学科核心素养 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到 瞬时变化率的过程 1.了解平均变化率、瞬时变化率.（数学抽象） 2.了解导数概念的实际背景，知道导数是 2.会求平均变化率.（数学运算） 关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内 3.会求函数在某点处的瞬时变化率，（数学运 涵与思想， 3.体会极限思想 导学 [教材要点] 要点一平均变化率 对一般的函数y=x)来说，当自变量x从x变为2时，函数值从x)变为f2),它的平 均变化率为 通常我们把自变量的变化 称作自变量x的 ,记作 函数值的变化 称作函数值y的 ,记作 ·这样，函数的平 均变化率就可以表示为 的改变量与 的改变量之比，即Ay △X 我们用它来刻画函数值在区间[，2]上变化的 总结函数的平均变化率可正可负，反映函数y=fx)在[x1,x]上变化的快慢，变化快 慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快， 要点二瞬时变化率 对于一般的函数y=f),在自变量x从x变到x的过程中，若设△=x一xo,△y=x) 一x),则函数的平均变化率是 △y △X 当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在 的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的 是函数在 变化的快慢， 总结平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况.平均速 度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某 一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度. [练习] 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） (1)x趋近于0表示x=0.() (2)平均速度与瞬时速度有可能相等.() (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量.() ④一物体的运动方程是S三a㎡a为常数)，则该物体在=o时的瞬时速度是ah(】 2.质点运动规律s0=P+3,则从3到3.3内，质点运动的平均速度为() A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 3.如果质点M按照规律s=3?运动，则在1=3时的瞬时速度为() A.6 B.18 C.54 D.81 4.函数x)=8x一6在区间[m,n]上的平均变化率为 导思 题型一求函数的平均变化率 例1己知函数fx)=2x2+1, (1)求函数x)在[2,2.01]上的平均变化率： (2)求函数x)在[xo,x十△x]上的平均变化率. 总结 1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量△x=x2一 第二步，求函数值的增量△y=x2)一fX1: 第三步，求平均变化率Ay=fx,一fx △X X2-X1 2.求平均变化率的一个关注点 求点附运的平均变化丰，可月厂X+△X一f的形式。 △X 跟踪训练1函数y=x2+1在[1,1+△x]上的平均变化率是() A.2 B.2x C.2+△x D.2+(△x)2 题型二平均变化率的实际应用 例2甲、乙两人走过的路程s(),s2()与时间1的关系如图所示，试比较两人的速度哪 个快？ ↑s s() 5(t) 总结 平均变化率的意义 1.本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过 比较平均变化率的大小关系得出结论， 2,平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大， 函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢， 跟踪训练2某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间（单位： 天)的关系如图所示，则接近。天时，下列结论中正确的是() ↑s(个) 甲 乙 0 ot(天) A.甲的日生产量大于乙的日生产量 B.甲的日生产量小于乙的日生产量 C.甲的日生产量等于乙的日生产量 D.无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小 题型三运动物体的平均速度与瞬时速度 例3已知s(t)=5, (1)求t从3秒到3.01秒的平均速度： (2)求t=3秒时的瞬时速度， 总结 求函数x)在点x=处的瞬时变化率的步骤 1.求△y=fxo+△x)-fxo); 2.计算Ay 并化简，直到当△r=0时有意义为止； 3.将Ar=0代入化简后的AY即得瞬时变化率. △X 跟踪训练3一辆汽车按规律s=a十1做直线运动，若汽车在t=2时的瞬时速度为 12,求a. 易错辨析不能正确识图致误 例4A,B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W(),W2()与时间 (天)的关系如图所示，则一定有() w1W,(0 w2(0 6 A.两机关单位节能效果一样好 B.A机关单位比B机关单位节能效果好 C.A机关单位的用电量在[0，to]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，上的 平均变化率大 D.A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大 解析：由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平 缓，且用电量在[0，上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效 果好.故选B. 答案：B 【易错点】 出错原因 纠错心得 识图时，一定要结合题意弄清图形所反映 两机关单位在(0，to)上用电量的平均变化率都 的量之间的关系，特别是单调性，增长（减 取负值，平均变化率比较大小易错，易错选C 少)的快慢要弄清. [课时训练] 1.如图，函数y=x)在A,B两点间的平均变化率等于() A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.一质点运动的方程为s=5一32，则在一段时间[1,1十△]内相应的平均速度为() A.3△t+6 B.-3△1+6 C.3△t-6 D.-3△1-6 3.设某产品的总成本函数为C(x)=1100十 其中x为产量数，生产900个单位 1200 到1000个单位时总成本的平均变化率为 4.在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5(s的单位为m,t的 单位为s),求： (0=20,△1=0.1时A与Ai △S (2)1=20时的瞬时速度. 温馨提示：请完成课时作业十四)FLO] §1平均变化率与瞬时变化率 导学 要点一 f(x2)-f(x) -x改变量△xfx)-fx1 X2-X1 改变量Ay函数值自变量X,-fx快慢 X2-X1 要点二 fx1-f(xo f(xo+△x-fxo xo点一点处 X1-X0△x [练习] 1.答案：(1)×(2)√(3)√(4)√ 2.解析：s(3)=12,s(3.3)=13.89 =53.3-s3=1.89 3.3-3 0.3 6.3,故选A 答案：A 3.解析：As=33+△t-3×3=18+3A, △t△t =limA:=lim(18+3△)=18，故选B. 0△tA0 答案：B 4.解析：平均交化率为fn-fm=8n-6-8m-6=8 n-m n-m 答案：8 导思 题型一 例1解析：(1)由x)=2x2+1 得△y=2.01)-2)=0.0802 △x=2.01-2=0.01 :Ay=0.0802 =8.02 △X 0.01 (2):△y=f+△x)-f)=2x+△x)2+1-2X-1=2△x(2.x+△x) :△y 2△x2x+△ L=4xo+2△r. △X△X 跟踪训练1 解析：，△y=(1+△x)2+1-(12+1)=2△x+(△x)2, :Ay=2△x+△x-2+A △x△X 故选C. 答案：C 题型二 例2解析：在to处，s1(to)=s2(to), 但S1(to-△t)>S2(t6-△t), 故5t0-51t。-△d52lto-s2t。-At △t △t 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的 速度比甲的速度快 跟踪训练2解析：由平均变化率的几何意义可知，当接近于。时，曲线乙割线的斜率 大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量 故选B. 答案：B 题型 例3解析：(1)当3≤1≤3.01时，△t=0.01 △s=s(3.01)-s(3)=5×3.012-5×32 =5×(3.01-3)×(3.01+3) △s_5×0.01×6.01 0.1 =30.05(m/s) (2)在t=3附近取一个小时间段△t, 即3≤t≤3+△t(△>0) ∴.△s=s(3+△)-s(3) =5×(3+△)2-5×32 =5X△t×(6+△) AS-54t16+0 =30+5△t, s趋于30， 当△趋于0时，At ∴.在t=3时的瞬时速度为30ms. 跟踪训练3解析：s=a+1, ∴.s(2+△)=a(2+△)2+1=4a+4a△t+a(△)2+1. 于是△s=s(2+△0)-s(2)=4a+4a△t+a(△t)2+1-(4a+1)-4a△t+a(△t)}2, As=4a:△t+a-At △t△t =4a+a'△t, 当△t趋于0时， s趋于4a. △t 依据题意有4a=12. a=3. [课时训练] 1-3 1.解析：平均变化率 3-1-1. 故选B. 答案：B 2.解析： △s=5-31+A-5-3=-6-3A △t△t 故选D. 答案：D 3.解析：AC=C1000-C900=19 △X 1000-900 2 19 答案：12 4.解析：(1)△s=s(20+△)-s(20) =10(20+0.1)+5(20+0.1)2-10×20-5×202 =1+20+5×0.01=21.05(m), 4s=21.05 △t0.1 =210.5(m/s). 2:A5=1020+At+520+At-10×20-5×20 △t△t =5△t+210, 当△t趋于0时， △s △t 趋于210， 所以在t=20时的瞬时速度为210m/s.