2.1 平均变化率与瞬时变化率-【步步高】2023-2024学年高二数学选择性必修 第二册 （北师大版2019）

[学习目标]　1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率与瞬时变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 导语 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？ 一、平均变化率 问题1　下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况： x/min 0 10 20 30 40 50 60 y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9 观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 提示　每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢． 知识梳理 平均变化率 定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝ 实质 把自变量的变化x2－x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)－f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝ 作用 刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢 注意点： (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零． (2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即＝. 例1　已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.当x1＝4，且Δx＝1时，求函数值的改变量Δy和平均变化率. 解　因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx. 所以当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则＝＝21. 反思感悟　求函数平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率＝. 跟踪训练1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.分别求s(t)在区间和上的平均速度． 解　物体在区间上的平均速度为 1＝＝＝. 物体在区间上的平均速度为 2＝＝＝. 二、瞬时变化率 问题2　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．当Δt趋近于0时，平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度． 知识梳理 瞬时变化率 对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝.如果当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．它刻画函数在某一点处变化的快慢． 注意点： (1)平均变化率与瞬时变化率的关系 ①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于某个值，这个值即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值． (2)“Δx趋于0”的含义 Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0. 例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 解　＝ ＝＝3＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 延伸探究　 1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度． 解　求物体的初速度，即求物体在t＝0 s时的瞬时速度，＝ ＝＝1＋Δt， 当Δt趋于0时，趋于1， 即物体的初速度为1 m/s. 2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又＝ ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. 当Δt趋于0时，趋于2t0＋1， 则2t0＋1＝9，∴t0＝4. 则物体在t＝4 s时的瞬时速度为9 m/s. 反思感悟　求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤 (1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止； (3)将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率． 跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率． 解　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1) ＝7Δx＋3(Δx)2. ∴＝＝7＋3Δx. ∴当Δx趋于0时，趋于7. ∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7. 1.知识清单： (1)平均变化率． (2)瞬时变化率． 2．方法归纳：极限法． 3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位． 1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足(　　) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx可为任意实数 答案　C 解析　因平均变化率为，故Δx≠0. 2．一质点按运动方程s(t)＝做直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　) A．－1 B．－ C．－2 D．2 答案　B 解析　＝＝－1＝－. 3．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为 ． 答案　8 解析　平均变化率为＝＝8. 4．一质点的运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是 m/s. 答案　2 解析　Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　B 解析　＝＝＝－1. 2．在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是(　　) A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝ 答案　C 解析　根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－.所以平均变化率最大的是y＝x3. 3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　) A.米/秒 B.米/秒 C．8米/秒 D.米/秒 答案　B 解析　因为＝ ＝ ＝Δt＋8－. 当Δt趋于0时，趋于， 所以它在4秒末的瞬时速度为米/秒． 4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 答案　B 解析　由已知，得＝26， 所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26， 解得m＝1. 5．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定 答案　A 解析　k1＝ ＝ ＝2x0＋Δx， k2＝ ＝ ＝2x0－Δx. 由题意知Δx>0，∴k1>k2. 6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　) A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C．该物体位移的最大值为43 D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70 答案　ABD 解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是 ＝＝28，A正确； 因为＝ ＝＝56＋7Δt. 当Δt趋于0时，趋于56，所以物体在t＝4时的瞬时速度是56，故B正确； 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； 因为＝ ＝＝70＋7Δt. 当Δt趋于0时，趋于70.所以物体在t＝5时的瞬时速度是70，故D正确． 7．某人服药后，其吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t)/ (mg/mL) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 则服药后30 min～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为 ． 答案　－0.002 mg/(mL·min) 解析　＝ ＝－0.002 mg/(mL·min)． 8．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位：m，t的单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速度为 ． 答案　210 m/s 解析　＝ ＝10＋10t＋5Δt. 当Δt趋于0时，趋于10＋10t，则在t＝20 s时的瞬时速度为10×20＋10＝210(m/s)． 9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)． (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解　(1)T(10)－T(0)＝＋15－－15＝－16 ℃，所以蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率是－1.6 ℃/min，它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃. 10．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度． 解　自运动开始到t s时，物体运动的平均速度 (t)＝＝3t＋2＋， 故前4 s物体的平均速度为 (4)＝3×4＋2＋＝15 m/s. 由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2. 所以＝2＋6t＋3Δt， 当t＝4，Δt趋于0时，趋于2＋6×4＝26， 所以4 s时物体运动的瞬时速度为26 m/s. 11.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　) A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度 D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度 答案　C 解析　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大． 12．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为(　　) A.>v2 B.<v2 C.＝v2 D．不能确定 答案　C 解析　平均速度为＝ ＝＝2g. ＝＝ ＝gΔt＋2g， ∵当Δt趋于0时，趋于2g， ∴v2＝2g，∴＝v2. 13．若一物体运动方程如下：s＝则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为 ， . 答案　6　0 解析　∵0≤t<3时，s＝3t2＋1， ∴当t＝1时，＝＝＝6＋3Δt. 当Δt趋于0时，趋于6，故物体在t＝1时的瞬时速度为6. ∵t≥3时，s＝2＋3(t－3)2， ∴当t＝3时， ＝＝＝3Δt. 当Δt趋于0时，趋于0，故物体在t＝3时的瞬时速度为0. 14．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为 ． 答案　2 解析　体积的增加量 ΔV＝m3－＝(m3－1)， 所以＝＝， 所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)． 15.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为 分米/分钟．(注：π≈3.1) 答案　9 解析　由题意知，圆锥的轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t， 因为9.3t＝π2·h， 所以h3＝27t，所以h＝3. 因为＝ ＝ ＝， 所以当Δt趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝分钟时的瞬时变化率为9. 16．已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2. 求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率，即气球膨胀过程中半径的改变量与表面积改变量的比值； (2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率． 解　由S(r)＝4πr2，r>0， 把r表示成表面积S的函数：r(S)＝. (1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的改变量ΔS＝20－10＝10(cm2)， 气球半径的改变量Δr＝r(20)－r(10) ＝(－)≈0.37(cm)． 所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037. (2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的改变量Δr＝(－)≈0.239(cm)． 所以气球的平均膨胀率为 ≈＝0.023 9. 学科网（北京）股份有限公司 $$