函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 切线问题 恒成立求参数问题 含参单调性讨论问题 考点一 切线问题 1．（24-25高二下·广西梧州·期末）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为． 故选：A. 2．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 3．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 则， 当时，，， 所以曲线在处的切线方程为. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知点不在函数的图象上，且过点P有三条直线与的图象相切，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点不在函数的图像上， 则，即， 设过点的直线与的图像相切于， 则切线的斜率， 整理可得， 则问题可转化为有三个零点， 且，令，可得或， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 即当时，有极大值，当时，有极小值， 要使有三个零点， 则，即，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由求导得：，于是得， 函数图象在点处的切线方程为， 整理得：，从而得，， 令，则，当时，，当时，， 于是得在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故选：B 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 7．（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数，直线与函数的图象相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线与函数相切于点， 因为，所以， 根据导数的几何意义有， 因为点在直线上，所以， 因为点在曲线上， 所以， 所以有， 所以，即，， 对两边取对数有，，即， 将代入，有，解得， 又因为，所以. 故选：B 8．（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，设切点， 在处的切线斜率为， 在处的切线方程为， 在曲线上， ， 在处的切线方程为， 此切线方程过点， 将代入切线方程成立，即， 解得，， 当时，，当时，，或， 同理可得切点或， 是不同的切点，不妨设，， 直线的方程为，整理得. 故选：A 9．（2025·陕西西安·模拟预测·多选）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【答案】ACD 【详解】因为，所以， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线斜率，即， 去分母整理得，切线有3条， 设，则有3个零点， ，令，得或， 所以， 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，则，不满足，B错误； 对于C，令，，则，，满足，C正确； 对于D，令，，则，，满足，D正确； 故选：ACD. 10．（25-26高三上·重庆·开学考试·多选）已知函数，，则（    ） A．直线是曲线的切线 B．曲线有唯一一条垂直于直线的切线 C．曲线有唯一一条平行于直线的切线 D．当时， 【答案】ABD 【详解】AC选项，的定义域为， ，显然在上为增函数， 设切点为，则，解得， 故切点坐标为，切线方程为，即， 所以是曲线的切线，A正确，C错误； B选项，设切点为，则， 令，显然在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理得，存在唯一的，使得， 故曲线有唯一一条垂直于直线的切线，B正确； D选项，令，， 则，， 则，显然在上单调递减， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故当时，，，D正确. 故选：ABD 11．（2025·河北邯郸·一模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【详解】， 所以切线的斜率为， ， 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 12．（25-26高三上·上海·开学考试）曲线平行于直线的切线方程为 . 【答案】或 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为， 由，可得曲线在点处的切线斜率为， 由切线与直线平行，得，解得， 当时，切点为，此时切线方程为，即； 当时，切点为，此时切线方程为，即， 故所求切线方程为或. 故答案为：或 13．（24-25高二下·山东济南·期末）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设点为曲线上的一点，则， 又由，所以，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，可得，即， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又因为， 当时，恒成立，且时，， 作出函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线在上有3个交点， 即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知函数与的图象都过点，且在点处有公切线． (1)求的表达式； (2)求点处的公切线方程； (3)过点作曲线的切线，使切点在第三象限，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由已知可得，得， 则，． 又在点处有公切线，故可得， 即，得，则， 所以． （2）由（1）知，，所以点处的公切线方程为，即． （3）设切点为，则切线的斜率为， 故，解得或， 又点在第三象限，故解得，即． 15．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）若，则，得， 令，解得， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有最大值，， 当时，，当时，， 故在上的值域为． （2）证明：由，得，则， 又，故在点处的切线方程为． 同理，由，得，则， 又，故在点处的切线方程为， 所以与在处存在公切线． 16．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数. (1)当时，曲线与曲线恰有一条公切线，求实数与的值； (2)若函数有两个极值点且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，，可得， 令，可得， 又由，所以切点在直线上，则， 因为，所以，令，则， 在直线方程中，令，可得， 又因为点在曲线上，所以. （2）解：函数，可得， 由函数有两个极值点，所以有两个不等正根，则， 由 ， 可得， 令，， 所以在区间上单调递增， 因为， 所以由，可得， 令函数，可得， 所以在上单调递减，可得， 又因为，所以的取值范围是. 17．（24-25高二下·河北邯郸·阶段练习）已知函数及其导函数满足． (1)求的解析式； (2)若的一条切线恰好经过坐标原点，求切线的方程； (3)若曲线与恰好存在两条公切线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）令，则，解得， 求导可得，令，可得， 所以，即． （2）设切点为，则，切线方程为． 因为切线经过坐标原点，所以，解得， 故切线方程为，即． （3）． 设直线， 与的图象的切点坐标分别为， 由，求导得：，在切线斜率为 ， 由，求导得：，在切线斜率为， 则可得 所以，整理得. 同理，当直线与的图象都相切时，得. 故只需有两解． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 故的取值范围为． 考点二 恒成立求参数问题 1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，不等式恒成立，令函数， 则函数在上单调递增， 因此，恒成立， 令函数，求导得 当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，，则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故选：D． 3．（24-25高二下·黑龙江·期中）函数，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 在中，若恒成立， 设的解为，此时需同时成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴， 在中，， 令，得， 当即时函数单调递减， 当即时函数单调递增， ∴函数在处取最大值，， ∴， 故选：A. 4．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数，若对，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．e 【答案】A 【详解】由，得， 令，即对，恒成立， ①若时，当时，趋向负无穷，不满足条件； ②若时，则， 令，得，则恒成立， 所以在上单调递增， 令，解得，且， 所以当时，恒成立，所以单调递减， 当时，恒成立，所以单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 则， 整理得，即， 令，则，令，解得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得最小值，即， 综上所述，的最小值为. 故选：A. 5．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，在上恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以为偶函数，只需考虑即可， 因为 所以， 设， 则， 当时，，所以在上单调递增， ，所以在上单调递增， 所以， 所以符合题意， 取，此时，则，不合题意，A不正确， 综上所述，实数a的取值范围是， 故选：C． 6．（24-25高二下·江西·期末）若对任意，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由对任意，得， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以． 故选：D． 7．（25-26高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为 【答案】2 【详解】由函数的导函数为，所以设函数， 又函数的图象经过点，代入，得，解得， 所以， 因为对任意一个负数，不等式恒成立，即， 得，， 构造函数，，则， 令，则，令，解得， 所以当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 且，，，， 所以存在使，且， 所以当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递减， 所以在时取得最大值，为， 由，得到， 代入得到，， 从而得函数， 由于且取整数，所以的最小值为 故答案为： 9．（2025·陕西西安·模拟预测）设函数，若恒成立，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】要使恒成立，需分情况讨论： 当，即时，， 即对恒成立，所以. 当，即，时，，恒成立； 当，即，时，， 即对恒成立， 所以， 综上，，则. 令， 对求导，. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在时取得最小值，， 即的最小值为2. 故答案为：2. 10．（25-26高三上·天津南开·开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得，当 ，不等式在上恒成立， 当，不等式在上恒成立， 所以不等式在上恒成立， 令，则不等式在上恒成立， 因为，所以在上递增， 所以在上恒成立，显然，不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 当时，，所以，则， 所以 故答案为： 11．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知定义域为的函数的导函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)当时，讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增 (3) 【详解】（1）由题意知， 且曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得． （2）由（1）知，，则当时，． 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减． 所以，所以在上单调递增． （3）由曲线在点处的切线方程为，得， 又，所以． 当时，，则恒成立，所以． 当时，由，得． 令，则． 令，则， 再令，则， 令，则． ①当时，，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减， 因为，， 所以存在，使得， 于是在上单调递增，在上单调递减． 由于，，于是时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为． ②当时，令， 则， 所以在上单调递增，此时， 故当时，， 由①②知在上的最大值为， 所以，即a的取值范围是． 12．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数为自然常数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在区间上有最小值，求实数的值； (3)在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； （2）由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； （3）由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 13．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若，求的取值范围； (3)若，设，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）当时，，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）不等式， 设函数，求导得， 设，求导得， 函数在上单调递增，且， 则当时，，；当时，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时等号成立， 则，即，同理， 于是，即， 当时，，，显然当时，，单调递增， 当时，令，则， 当时，；当时，， 则当时，，单调递增， 而，且，则存在唯一，使得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则存在唯一，使得， 因此当时，，当时，， 而，且，于是，即， 又，则，即，从而， 所以. 14．（25-26高三上·天津河西·开学考试）已知函数，. (1)若，求的单调区间. (2)若，且在区间上恒成立，求的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）当时，，， 则， 令，解得， 且当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 即函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由已知，， 得， 令，解得，， 当时，，此时恒成立， 即函数在上单调递增， 又，所以，所以不满足题意； 当时，，此时函数在和上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得， 所以时，不等式恒成立； ②当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以需满足，解得， 所以时不等式恒成立. 综上所述. 15．（2025·河北邯郸·一模）设函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) 【详解】（1）解：当时，函数，其定义域为， 则， 令，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）解：由函数，可得的定义域为， 则， 因为， 则当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以在处取得极小值，且极小值为，也是最小值， 要使得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 16．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当恒成立，求的值 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【详解】（1）由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得， 则， 设，则， 当，即时，，则函数在上单调递增， 又，则不恒成立； 当，即时， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 则， 令，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以，则. 考点三 含参单调性讨论问题 1．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在处的切线的斜率为2，求切点的坐标； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由于， 所以，所以. 所以，所以切点的坐标为. （2）函数的定义域为. （i）当，即时，. （ii）当，即，或时， 方程的两根为. ①当时，由于， 所以， 令，解得，或； 令，解得； ②当时，由于， 所以， 令，解得. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在 和上单调递增， 在上单调递减. （3）要证，只需要证明，其中， 设， 设 因为函数在上均为减函数， 则在区间内单调递减， 因为， 所以，，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减 又因为，使得， 当时，；当时，. 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减. 因为， 故内恒成立，原不等式得证. 2．（25-26高三上·重庆·开学考试）设函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）定义域为R，， 令，解得或， ①当时， 当时，，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； ②当时，则在R上单调递增； ③当时， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减． （2）由（1）知时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为， 所以，解得； 时，在R上单调递增，显然无极值点，不合题意； 时，在和单调递增，在单调递减， 所以为的极小值点，此时的极小值为，不合题意； 综上，，即的取值范围是. 3．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，试求函数的极值； (3)若，时，对任意都有，求实数的范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减. 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由条件得，， 令，则， 由（1）知，当时，在上单调递增， 此时函数无极值； 当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 又， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 此时函数有极小值，极小值为，函数无极大值； 当时，在上单调递减， 此时函数无极值. 综上得，当时，函数无极值； 当时，函数有极小值；无极大值； 当时，函数无极值. （3）当，时，由（1）知函数在上是单调递增函数， 又函数在上单调递减， 不妨设，则，， ，， 等价于， 即， 设，， 则等价于函数在区间上是减函数， 因为， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，， 又在上恒成立，所以在上是单调递增函数， 函数在的最大值为， 故，又， 所以实数的范围为. 4．（25-26高三上·四川成都·开学考试）设函数． (1)讨论的单调性； (2)若有三个不同零点，证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，的定义域为R， 若时，则，，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 若， 当时，，， 令，则，所以或， 若，，函数在上单调递增， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，， 函数在上单调递增， 若， 当时，，， 函数在上单调递增， 当时，，， 令，则，所以或， 若，，函数在上单调递增， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 若，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 综上所述，若时，函数在上单调递增， 若， 若，函数在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 若，若，函数在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增， 若，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， （2）由（1）可得，当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， 故， ， 所以，，又，所以， 所以， 所以， 当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， 故， ， 所以，又，矛盾， 当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， 故， ， 所以，，又，所以， 所以， 所以， 当且时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又时，，当时，， 若有三个不同零点，则， ， ， 所以，又，矛盾， 综上所述， 5．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数在上的单调性； (3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 又，， 故切线方程为. （2），令， ， 当时，，故在上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，，使得， 故当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. （3）在内恰有两个不同的极值点， 在内恰有两个不同的实根， 故的图象与在内恰有两个不同的交点， 由（2）可知， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故当时，， 当时，， 在处有最大值即， 又， 的取值范围为. 6．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知函数 (1)讨论的单调性，并求相应极值. (2)若，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 对求导得 当时，，即在上恒成立， 所以在上单调递增； 当时，令，即， 解得（舍去，因为） 当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值， 极小值为，无极大值， 综上，当时，在上单调递增，无极值， 当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值. （2）由（1）可知，当时，在处取得极小值，也是最小值， 即， 因为关于的不等式恒成立， 所以，即， 化简得，即， 令， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 易知，所以，当时，， 即当时，. 又因为，所以原不等式即为，根据单调性解得，， 因此，实数的取值范围为. 7．（24-25高二下·四川资阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【详解】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 8．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知函数，. (1)求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若且时，求证. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【详解】（1）， ， 令，解得， 当时，，，得，单调递减， 当时，，，得，单调递增， 因此，是的极小值点，极小值为， 综上，极小值为，无极大值. （2）定义域为， ， 当时，在上恒成立，在上单调递增， 当时，令，解得， 当时，，得，单调递减， 当时，，得，单调递增， 综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，定义域为， ， ，即，，， 令，定义域为， ，其中，恒成立， 假设解得， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 因此的最小值为， 由可知，， 所以，即的最小值为0， 综上，，得证. 9．（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 10．（24-25高二下·河北·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)讨论方程的根的个数． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； 【详解】（1）函数的定义域为， 又 当时，在上，，是减函数； 当时，由得：或（舍）， 所以在上，，是减函数， 在上，，是增函数， 当时，在上，是减函数；当时，在上，是减函数，在上，是增函数. （2）的根即是的根，即得的根， 设，与的交点个数即是方程的根的个数， ，令，， 所以单调递增；单调递减； 所以，， 当或，与的交点个数是1个，方程有一个根； 当，与的交点个数是2个，方程有两个根； 当，与的交点个数是0个，方程没有根； 综上，当或，方程有一个根； 当，方程有两个根； 当，方程没有根；    2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 切线问题 恒成立求参数问题 含参单调性讨论问题 考点一 切线问题 1.(2425高二下广西格州期末)曲线y=2+8在x=2处的切线方程是〔) A.2x-y+4=0 B.4x-y=0 C.2x+y-12=0 D.4x+y-16=0 2.(2425高二下陕西铜川期未)曲线y=2x-在点山，f)处的切线方程为() X+2 A.5x-9y-2=0 B.5x+9y-8=0 C.6x-3y-5=0 D.6x+3y-7=0 3.(225河北衡水模拟预测)曲线y=o在x=5处的切线方程为（) c.y=-月 D.y=-x 2 4.(2425高二下·江苏徐州阶段练习)己知点P(1,m)不在函数f(x=x-3mx的图象上，且过点P有三条直线与 f(x)的图象相切，则实数m的取值范围为() A. c.(a n.〔 5.(24-25高三上福建福州阶段练习)若函数f(x)=e-x图象在点(x,f(x)处的切线方程为y=x+b,则k-b 的最小值为() A.1+J B.-1-1 C.1-1 D.-1+ e 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 6.(2425高二上·浙江杭州期末)若点P在曲线y=x3-√5x上，曲线在P处的切线的倾斜角为，则的取值范 围是() B. c.[.任 7.(2025·湖南永州模拟预测)已知函数∫x)=a(a>0,a≠1，直线y=x与函数y=f(x)的图象相切，则lna=() A.e B.I C.e D.2e e 8.(2526高三上·河南安阳阶段练习)过点P(0,1)作曲线y=x2-2x+5的两条切线，切点分别为M,N,则直线 MN的方程为() A.2x+y-9=0B.2x-y+9=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0 9.(2025·陕西西安·模拟预测多选)已知函数f(x)=x+3x+a,则满足过点P(a,b)可作出3条直线与f(x图象 相切的充分条件是() A.a=1,4<b<4.5 B.b=0 C.点P在射线y=5xx>1上 D.点P在曲线y=4x2(x>2)上 10.(25-26高三上：重庆开学考试多选)已知函数f(x)=(e-2)x+2,g(x=e-2lnx,则() A.直线y=f(x)是曲线y=gx的切线 B.曲线y=g(x)有唯一一条垂直于直线y=∫(x)的切线 C.曲线y=gx)有唯一一条平行于直线y=f(x)的切线 D.当xe(1,+o)时，f(x)<gx) 11.(2025河北邯郸一模)已知函数fx)=x3-2x2-5x,则曲线y=∫(x)在点-1，∫(-1)处的切线方程为 y 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 12.(25-26高三上上海开学考试)曲线y=】平行于直线y=-x的切线方程为 1B.(2425高二下山东济南：期末)过点(0，可以作曲线f八y)=。的三条切线，则实数a的取值范围是 14.(24-25高二下·广东广州阶段练习)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)与g(x)=x3+ax的图象都过点(L,0),且 在点L,0)处有公切线. (1)求f(x),g(x)的表达式： (2)求点(L,0)处的公切线方程； (3)过点(O,)作曲线y=f(x)的切线，使切点P在第三象限，求点P的坐标. 15.(2025·甘肃金昌·模拟预测)已知函数f(x)=sin,g(x)=a(a∈R). Γx2+a (1)当a=4时，求gx)在(0,4上的值域： (2)证明：曲线y=f(x)与y=g(x)在点(0,0)处存在公切线， 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 16.(2024四川成都模拟预测)已知函数∫(x=x-alnx,a∈R (I)当a=2时，曲线y=fx与曲线f(x=-x2+m恰有一条公切线y=-x+1,求实数m与t的值： ②若函数()=x-anr-有两个极值点，(x<且(x)-h(x)之-。，求a的取值范围 17.(24-25高二下·河北邯郸阶段练习)已知函数f(x及其导函数f'(x满足f(x)=[f'(0)-]e*+f0)x. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)的一条切线I恰好经过坐标原点，求切线I的方程； (3)若曲线y=f(x+a)-a与y=x2+x恰好存在两条公切线，求a的取值范围. 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点二 恒成立求参数问题 1.(25-26高三上江苏盐城阶段练习)已知函数f)=c-ar,x∈(0，+0)，当：，>x时，不等 fxf恒 x2 x 成立，则实数a的取值范围为() A.(-0,e B.(-c,e) C. 2.(2526高三上·四川绵阳开学考试)已知当x>0时，xe-2x≥a+2lnx恒成立，则实数a的取值范围为() A.（-o, B.-oo,2+2lh2] C.（-o,2ln2 D.（-oo,2-2ln2] 3.(2425高二下·黑龙江·期中)函数f(x=(ax-3)(lnx-b),若f(x)≥0恒成立，则a(b+1的取值范围是() A.(-0,3] B.(0,3e] C.[3,+oj D.(-o,e] 4.(24-25高二下·江西上饶期末)己知函数f(x)=ax+2b,g(x)=ln(x+2),若对Hx>-2,不等式f(x)≥g(x)恒成 立，则的最小值为() A. B.2 c.! D.e 5.(2425高二下·广东深圳期末)己知函数f(x)=e*+e+ax2-2,f(x)≥0在R上恒成立，则实数a的取值范 围是() A.(-0,0] B.【-1,0] C.[-1,+0) D.[0,+∞) 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 6.(2425高二下…江西·期末)若对任意x∈(0，+o),lgx<ax,则a的取值范围是() c( D.se 7.（2526商三上：四川给即阶段练习》已函数f=e-ar,若对任意6∈（兮2，≠，不等式 )-)<x+x,恒成立，则实数a的取值范围是一 X1-x2 8.(24-25高二下·江苏南京·期末)已知函数f(x)的导函数为f'(x=e-x-1,且函数f(x的图象经过(0,2)点若 对任意一个负数x,不等式}x2<a-x)+1恒成立，则整数a的最小值为」 9.(2025陕西西安模拟预测)设函数f(x)=(e*-m)n(x+n),若f(x)≥0恒成立，则m+n的最小值为 10.(25-26高三上·天津南开·开学考试)若关于x的不等式aln(ax)≤2e2x在0，+o0)上恒成立，则实数a的取值范围 为 11.(25-26高三上·河南商丘·开学考试)己知定义域为R的函数fx)的导函数f'(x)=3ax2+2cosx-m,且曲线 y=f(x)在点(0，f(0处的切线方程为y=x. (1)求m的值： (2)当a=1时，讨论f(x的单调性： (3)若f(x)≥0在x∈0，+∞上恒成立，求a的取值范围. 6 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 12.(25-26高三上·江苏镇江·开学考试)已知函数f(x)=x-lnx,m∈R,e为自然常数 (I)当m=1时，求函数f(x)在x=e处的切线方程； (2)若函数fx)在区间1，e上有最小值-2，求实数m的值； (3)在(1)的条件下，若不等式e-元xf(x≥0恒成立，求实数2的取值范围。 13.(2025·陕西西安·模拟预测)已知函数f)=P+1+ +ae-(x>0) (1)若a=1,求f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥3lnx,求a的取值范围； 3)若a=-2,设0<s<1<t,且fs)+f0)=0,证明：fs0)<f白)+f白 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 14.(2526商三上天津河西开学考试)已知函数f八到=a-士(a+n,aeR (I)若a=0,求y=f(x)的单调区间 ②若a≥1,1f到>1在区间[]上恒成立，求的范围 15.(2025·河北邯郸.一模)设函数f(x)=2x-ln(x-a,a∈R (1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 6 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 16.(25-26高三上-江苏南京开学考试)已知函数fy=-(a+1nx+2,g)=e+0-ax-1. (I)讨论y=f(x)-ax的单调性； (2)当g(x)≥ax恒成立，求a的值 9 函数与导数：切线问题、含参单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点三 含参单调性讨论问题 1.（2526高三上-江苏南京阶段练习)已知函数f()=血(2x+m+2(m∈R) (1)若曲线y=∫(x)在x=1处的切线的斜率为2，求切点的坐标： (2)讨论函数f(x)的单调性： 同当a=20引时，求证：<+1 2.（2526高三上重庆开学考试)设函数f(x)=2x3-3ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 9