2.4.2 圆的一般方程（导学案）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.4.2 圆的一般方程 导学案 （1）理解圆的一般方程及其特点 （2）掌握圆的一般方程和标准方程的互化 （3）会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题 （4）会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题 问题引入 问题：直线的一般方程对应的是二元一次方程：，那么圆的一般方程会对应一个什么样的方程呢？ 课前练习：写出以C(1，-2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？ 思考：将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？展开要求：去括号、合并同类项、移项等号右侧为0. 结论：圆的一般方程就是一个关于 x, y 方程 思考：那么是不是所有的二元二次方程都是圆呢？ 探究：是否所有的二元二次方程表示的都是圆呢？ 观察以下三个二元二次方程： (1) x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0； (2) x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0； (3) x2＋y2＋2x＋2y＝0. 要求：先将它们分别按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？ 探究：有些二元二次方程不表示任何图形，有些表示点，有些表示圆， 对于以下二元二次方程，如果它要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？ 思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圆吗？若要表示圆，需要满足什么条件呢？ 总结归纳，并得出圆的一般方程： 当 时，二元二次方程： 此时， 我们称方程: 为圆的一般方程. 思考：当、时，方程①分别表示什么图形？ 思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 牛刀小试 练1：将圆的方程化为圆的一般方程： 练2：将圆一般方程化为圆的标准方程 练3：下列方程一定表示圆的是（     ）． A． B． C． D． 练4：方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练5：圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 思考：与P83页例2的方法比较，你有什么体会？ 结合两次使用待定系数法，总结待定系数法求圆的方程的步骤： ① ：根据题意，设圆的标准方程或一般方程； ② ：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③ ：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值； ④ ：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解； 跟踪练习：的三个顶点分别是，，，求的外接圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径． 例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程． 知识小贴士：点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）． 这种求动点轨迹方程的方法称之为 师生：共同总结分析，用相关点法求动点轨迹方程的有哪些步骤： ① ：设所求动点坐标为，另一动点为； ② ：根据已知条件找到与、与的等式关系； ③ ：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④ ：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 题型一：根据圆的一般方程，求圆心坐标和半径 例题1、求下列圆的圆心坐标和半径 .  方法总结：方法一：先将一般方程按照圆的标准方程的形式 好，然后写出圆心坐标和半径即可； 方法二：记住圆心坐标公式 和半径公式 ，代入计算而得. 题型二：根据圆的一般方程求参数（值）范围 例题2，若方程表示圆，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 方法总结：利用圆的条件 ，建立不等式，解不等式即可得解 题型三：直接法求动点的轨迹方程：有明显等式关系 例题3，已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，求动点P的轨迹方程. 预设：设，因为，所以， 又因为直线与直线的斜率之积为，所以， 整理得. 思考：为何要 x≠±2 ？ 方法总结：直接法求动点的轨迹方程的步骤： ① ：设所求动点坐标为(x,y)； ② ：将已知条件中的等式关系符号化：即用含x与y式子表示等式； ③ ：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④ ：剔除不满足题意的点，比如斜率不存在，不能构成三角形等； 题型四：相关点法求动点的轨迹方程：双动点轨迹问题 例题：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程． 方法总结：用相关点法求动点轨迹方程 特征： 问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 解题步骤： ① ：设所求动点坐标为，另一动点为； ② ：根据已知条件找到与、与的等式关系； ③ ：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④ ：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）（多选）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 2．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则 ． 4．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 7．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 9．（22-23高二上·天津滨海新·期末）已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 . 1．圆的一般方程是 （ 0），圆心为 ，半径为 . 注意：对于方程. ①当时，方程表示 ； ②当时，方程表示一个点 ； ③当时，方程 . 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2 圆的一般方程 导学案 （1）理解圆的一般方程及其特点 （2）掌握圆的一般方程和标准方程的互化 （3）会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题 （4）会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题 问题引入 问题：直线的一般方程对应的是二元一次方程：，那么圆的一般方程会对应一个什么样的方程呢？ 课前练习：写出以C(1，-2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？ 思考：将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？展开要求：去括号、合并同类项、移项等号右侧为0. 一个关于x,y的二元二次方程 结论：圆的一般方程就是一个关于 x, y 二元二次方程 思考：那么是不是所有的二元二次方程都是圆呢？ 探究：是否所有的二元二次方程表示的都是圆呢？ 观察以下三个二元二次方程： (1) x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0； (2) x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0； (3) x2＋y2＋2x＋2y＝0. 要求：先将它们分别按圆的标准方程的形式进行配方，分析它们分别表示什么图形？ (1)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，------> 不表示任何图形． (2)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，------> 表示点(－1，－1) (3)配方得(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，------>表示圆 探究：有些二元二次方程不表示任何图形，有些表示点，有些表示圆， 对于以下二元二次方程，如果它要表示圆，系数D、E、F需要满足什么条件呢？ 将以上方程按圆的标准方程的形式进行配方， 思考：分析方程②，思考：方程①表示的一定是圆吗？若要表示圆，需要满足什么条件呢？ 方程①表示的不一定是圆，只有当时才能表示圆. 总结归纳，并得出圆的一般方程： 当时，二元二次方程： 此时， 我们称方程:为圆的一般方程. 思考：当、时，方程①分别表示什么图形？ 当时，方程①只有实数解，，它表示一个点； 当时，方程①没有实数解，它不表示任何图形． 思考：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ 圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径，重“形”； 圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显，重“数”，这两个方程充分体现了数形结合思想的具象提现. 牛刀小试 练1：将圆的方程化为圆的一般方程： 解析：将圆的标准方程去括号，合并同类项，移项可得： 练2：将圆一般方程化为圆的标准方程 解析：由配方得 练3：下列方程一定表示圆的是（     ）． A． B． C． D． 解析：A，方程表示点，A不是； B，方程化为，此方程表示圆，B是； C，当时，方程表示点，C不是； D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B 练4：方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：若方程表示圆，则， 解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 练5：圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：配方得，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以， 解得. 故选：A 例4 求过三点，，的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径． 预设：设圆的方程是 ． ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径． 思考：与P83页例2的方法比较，你有什么体会？ 面对两次使用待定系数法，学生通过解题过程的分析与比较，体会其中的相同点和不通点，并得出结论：都是用待定系数法求圆的方程，只是设的方程形式不同，待定的系数不同. 结合两次使用待定系数法，总结待定系数法求圆的方程的步骤： ①设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程； ②列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； ③解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值； ④代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解； 跟踪练习：的三个顶点分别是，，，求的外接圆的一般方程，并写出圆心坐标和半径． 预设：设圆的方程是 ． ① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于，，的一个三元一次方程组 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是． 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，半径． 例5已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程． 知识小贴士：点的运动轨迹是指点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）． 共同分析；如图，点运动引起点运动，而点在已知圆上运动，点的坐标满足方程．建立点与点坐标之间的关系，就可以利用点的坐标所满足的关系式得到点的坐标满足的关系式，求出点的轨迹方程． 预设：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以 ， 于是有 ，． ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即 ． ② 把①代入②得 ． 整理，得 ． 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆． 这种求动点轨迹方程的方法称之为相关点法 师生：共同总结分析，用相关点法求动点轨迹方程的有哪些步骤： ①设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； ②找关系：根据已知条件找到与、与的等式关系； ③代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 题型一：根据圆的一般方程，求圆心坐标和半径 例题1、求下列圆的圆心坐标和半径 .  预设：（1）因为，整理得：，所以，圆心坐标为：，半径为2. （2）因为，整理得：，所以，圆心坐标为：，半径为. 方法总结：方法一：先将一般方程按照圆的标准方程的形式配方好，然后写出圆心坐标和半径即可； 方法二：记住圆心坐标公式和半径公式，代入计算而得. 题型二：根据圆的一般方程求参数（值）范围 例题2，若方程表示圆，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．. 预设：因为方程表示圆，所以，即，解得；故选：D 方法总结：利用圆的条件，建立不等式，解不等式即可得解 题型三：直接法求动点的轨迹方程：有明显等式关系 例题3，已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，求动点P的轨迹方程. 预设：设，因为，所以， 又因为直线与直线的斜率之积为，所以， 整理得. 思考：为何要 x≠±2 ？ 可以从如果x=2和x=-2，会得出怎样的结论？从而得出答案： 当x=2时，直线PB的斜率不存在，不合题意 当x=-2时，直线PA的斜率不存在，不合题意 方法总结：直接法求动点的轨迹方程的步骤： ①设坐标：设所求动点坐标为(x,y)； ②符号化：将已知条件中的等式关系符号化：即用含x与y式子表示等式； ③标准化：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④剔点：剔除不满足题意的点，比如斜率不存在，不能构成三角形等； 题型四：相关点法求动点的轨迹方程：双动点轨迹问题 例题：已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程． 预设：设点的坐标是，点的坐标是．由于点的坐标是，且是线段的中点，所以 ， 于是有 ，． ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即 ． ② 把①代入②得 ． 整理，得 ． 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆． 方法总结：用相关点法求动点轨迹方程 特征：双动点问题，已知一个动点的轨迹方程，求另一个动点的轨迹方程，比如该题点A与点M均为动点，点M随着点A的运动而运动 解题步骤： ①设坐标：设所求动点坐标为，另一动点为； ②找关系：根据已知条件找到与、与的等式关系； ③代方程：将第二步中的两个等式关系代入另一动点的轨迹方程； ④标准化：将所得新的方程进行整理成标准化方程； 1．（24-25高二上·云南玉溪·期末）（多选）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 解析：圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 2．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 解析：把圆的方程化为标准方程为，所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心.故选：A. 3．（24-25高二下·上海·期末）设实数，圆的面积为，则 ． 解析：圆的标准方程为， 故，故（负解舍去）， 故答案为：. 4．（24-25高二上·重庆·期中）圆心为且过原点的圆的一般方程是（   ） A． B． C． D． 解析：由题意知，在圆上，圆心为，所以圆的半径， 所以圆的标准方程为，则一般方程为：，故选：B. 5．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为圆，即， 所以，解得. 故选：B. 6．（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ． 解析：由题意设圆的方程为， 代入三个点的坐标可得，解得， 所以的外接圆方程为， 故答案为：． 7．（24-25高二上·湖北·期末）已知圆上的所有点都在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由，配方得， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故选：A. 8．（23-24高二上·广东珠海·期末）已知点，，若点P满足，则P的轨迹方程为 ． 解析：设，由，故， 化简得：，故P的轨迹方程为. 故答案为：. 9．（22-23高二上·天津滨海新·期末）已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为 . 解析：设点，点，则所以 因为点在圆上，所以， 所以，所以点M的轨迹方程为 即，故答案为：. 1．圆的一般方程是 （ 0），圆心为 ，半径为 . 注意：对于方程. ①当时，方程表示 ； ②当时，方程表示一个点 ； ③当时，方程 . 【答案】 圆 不表示任何图形 学科网（北京）股份有限公司1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $