函导重难点 5.端点效应讲义——2026届高三数学一轮复习

函导重难点 5.端点效应 函导重难点5.端点效应 一、秘籍指点： 1.端点效应的定义 恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应 2.端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求. 3.端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。 利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 （1）利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 （2）利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 （3）若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 4.端点效应的类型 （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. （3）如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 二、典型例题 例题1 设函数 , 其中 是 的导函数. 若 恒成 立, 求实数 的取值范围. 解：依题意, , 由于 , 即 , 而 恒成立, 即 恒成立, 必要性： 此时令 , 即保证 , 当 时恒成立. 由于 , 故此时必须保证函数 在 上单调递增, 即保证 在区间 上恒成立, 而 , 即函数 , 而 , 而要保证 在 恒成立, 故 0 , 即 . 充分性: 当 时, 函数 ,故函数 在 单调递增, 即 , 故当 时, 函数 在 恒成立, 即原命题成立, 故实数 的取值范围是 , 即 . 例题2 设函数 . (1) 证明: 的导数 ; (2) 若对所有 都有 , 求 的取值范围. 解： (1) 证明: 的导数 . 由于 , 故 (当且仅当 时, 等号成立). (2) 依题意, 若要对任意的 都有 恒成立, 即要保证 恒成立, 也就 是当 时 恒成立. 必要性： 此时令 , 由于 , 要函数 在 内恒成立, 即保证 在 内单调递增, 也就是对于任意的 有 恒成立, 而 , 且 , 故 , 即 . 充分性: 当 时, 函数 , 故函数 在 内单调递增, 即 , 即得到对任意 时, 函数 恒成立时实数 的取值范围是 . 例题3 （1）若对恒成立，则实数m的取值范围是 . （2）已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ． 解：因为对恒成立， 即对恒成立， 记，，所以， 令， 令，，则，所以当时， 所以在上单调递增，所以，即，， 则 所以在上是增函数，所以 当，即时，在上是增函数，所以符合题意； 当时，且当时， 所以，使得， 即当时，单调递减，此时， 所以不符合题意，综上可得，即故答案为： 【方法二-端点效应】 因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 因为，欲在恒成立，则要在单调递增 即在恒成立，则，解得， 再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略） 综上可得，即 （2）【方法一】∵在上恒成立，且， 故． 当时，在上恒成立，即在上为增函数， 所以，，合乎题意； 当时，由，可得；当时，可得． 即在上为减函数，在上为增函数， 所以，， 又因为 ，所以，不合乎题意． 综上所述，．故答案为：. 【方法二-端点效应】 因为，所以，解得，结合已知条件， 例题4 已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 解：(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②当时，分离参数a得，， 记，， 令，则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立．只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式，令， 则 ， 所以当时，单调递减； 当单调递增；当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立．综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 例题5 （2023年甲卷） 已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 解：（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2）【法一】设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以.. 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【法二】端点效应 (2) 由于 , 且, 注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减 , 不成立. 另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 . 单调递减, . 特上所述: . 变式1已知函数． （1）当求曲线在，（1）处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 变式2 已知函数的最小值为0，其中． （1）求的值； （2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值． 变式3 设函数 . (1)若 , 求 的单调区间； (2)若当 时 ,求 的取值范围. 变式4 设函数 , 其中 . (1)讨论 的单调性; (2)求实数 的取值范围,使得 在区间 内恒成立 为自然对数的底数). 变式1：解：（1）当时，， ，， （1），又（1）， 曲线在，（1）处的切线方程为： ，即． （2）令， 则， 当时，恒成立， 即在上单调递增，（1）， ①当时，（1），故（a）在上单调递增，且（1），此时符合题意； ②当时，由（1）及在上单调递增，知， 使得，即，不符合题意， 综上，的取值范围是，． 变式2：解：（1）， 令，可得， 令，；为增函数； ，，为减函数； 时，函数取得极小值也是最小值， 函数的最小值为0， ，得； （2）当时，取，有（1），故不合题意； 当时，令，即， 求导函数可得， 令，可得，， 当时，，，在上恒成立，在，上单调递减， ， 对任意的，，有成立； 当时，， 在上，为增函数； 在，上，为减函数； 因此存在使得， 可得，即，与题矛盾； 综上：时，对任意的，，有成立， 实数的最小值为：； 变式3：解：(1) 时, . 当 , 时 ; 当 时, ; 当 时, . 故 在 上单调增加, 在 上单调减少. （2）必要性 : 由于要求 时函数 恒成立, 而 , 故要保证函数 在 内单调递增, 即保证 函数 在 内恒成立. 而 , 故 , 即此时需保证函数 在 内单调递增, 即保证函数 在 内恒成立. 而 , 故 , 而要函数 在 内恒成立, 即 , 即 . 充分性： 当 时, , 令 , 则 , 故函数 单调递增, 故 , 即 , 故此时 函数 单调递增, 即 , 故函数 单调递增, 即 , 此时即可得到当 时, 函数 在 时恒成立, 即实数 的范围是 . 变式4： 解： (1) 由题意, . (1) 当 时, , 有 , 故 在 上单调递减. (2) 当 时, 令 , 有 , 当 时, ; 当 时, . 故 在 上单调递减, 在 上单调递增. （2）必要性： 由于要求函数 在区间 内恒成立, 故令 , 即 , 即此时只要 在 恒成立. 由于 , 由于要保证 恒成立, 故要函数 在 内单调递增, 即函数 在 内恒成立. 而 , 故 , 而要 恒成立, 即 , 即 . 充分性: 当 时, 函数 . (此处 需自己另行证明, 此处不予以详细证明) 令 , 故 . 当 时, , 故函数 单调递增, 即 , 故函数 , 故函数 单调递增, 即 , 此时即得到当 时, 函数 即 在 上恒成立. 综上所述, 得到实数 的取值范围为 . 厚积薄发 第 1 页 共 6 页 博观约取 学科网（北京）股份有限公司 $ 函导重难点 5.端点效应 函导重难点5.端点效应 一、秘籍指点： 1.端点效应的定义 恒成立问题中, 我们常常能见到类似的命题: “对于任意的 , 都有 恒成立”，这里的端点 , 往往是使结论成立的临界条件, 因此, 如果能利用好这两个值, 能方便解题，比如对于上述的命题,观察和的取值，这种观察区间端点值来解决问题的做法, 我们称之为端点效应 2.端点效应的核心思想 利用端点处所需满足的必要条件缩小参数的取值范围, 而在很多情况下, 该范围即为所求. 3.端点效应的解题思路 端点效应问题中，可以通过取所构造函数定义域内的某些特殊的值使不等式成立进而得出恒成立的一个必要条件，初步获得所求参数的范围再在该范围内讨论，进而缩小了参数的讨论范围，使问题得以顺利的解决。 利用“端点效应”解决问题的一般步骤可分为以下几步 （1）利用端点处函数值或导数值满足的条件，初步获得参数的取值范围，这个范围是不等式恒成立的必要条件 （2）利用所得出的参数范围判断函数在定义域内是否单调 （3）若函数在限定参数范围内单调，则必要条件即为充要条件，问题解决.若不单调，则需进一步讨论，直至得到使不等式恒成立的充要条件 4.端点效应的类型 （1）如果函数在区间上,恒成立,则或. （2）如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. （3）如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 二、典型例题 例题1 设函数 , 其中 是 的导函数. 若 恒成 立, 求实数 的取值范围. 例题2 设函数 . (1) 证明: 的导数 ; (2) 若对所有 都有 , 求 的取值范围. 例题3 （1）若对恒成立，则实数m的取值范围是 . （2）已知函数．若在上恒成立，则a的取值范围为 ． 例题4 已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 例题5 （2023年甲卷） 已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 变式1 已知函数． （1）当求曲线在，（1）处的切线方程； （2）若时，，求的取值范围． 变式2：已知函数的最小值为0，其中． （1）求的值； （2）若对任意的，，有成立，求实数的最小值． 变式3 设函数 . (1)若 , 求 的单调区间； (2)若当 时 ,求 的取值范围. 变式4 设函数 , 其中 . (1)讨论 的单调性; (2)求实数 的取值范围,使得 在区间 内恒成立 为自然对数的底数). 厚积薄发 第 1 页 共 6 页 博观约取 学科网（北京）股份有限公司 $