2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考复习培优数学试卷 （范围：一元二次方程和二次函数）

2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考复习培优 数学试卷（范围：一元二次方程和二次函数） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是() A.2x2+4=0 B.-2X+4=0 C是+x+4=0D.2+4y2=0 2.己知二次函数y=-5(x-3)2+2,下列说法正确的是() A.其图象的顶点坐标为(-3，一2) B.函数的最小值为2 C.其图象的开口向上 D.其图象的对称轴为直线x=3 3.将抛物线y=一4x2向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为() A.y=-4(x+2)2+1B.y=-4(x-2)2-1C.y=-4(x-2)2+1D.y=-4(x+2)2-1 4.若关于x的一元二次方程（飞-1）x2+3x-2=0有实数根，则k的取值范围是() Ak之-司 B.k之-粗k≠1Ck>-司 D.k>-且k≠1 5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的 增长率为x,根据题意可列方程() A.30(1+x)2=99.3 B.30+30(1+x)2=99.3 C.30(1+x)+30(1+x)2=99.3 D.30+30(1+x)+30(1+x)2=99.3 6.一次函数y=mx-n的图象如图所示，则二次函数y=m(x-n)2的图象大致为() 7.已知二次函数y= x2-bx+b一c,在b取不同值的情况下，部分函数值y与x的对应关系如下表： b -6 -4 0 2 4 0 8 则下列结论：①当x=-b时，y有最小值；②无论b取何值，二次函数的图象始终经过一个定点： ③所有y的最大值中，有最小值-4；④当-3<b<2时，y的值始终为负数. 其中正确的是() A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 第1页，共7页 8.对于二次函数y=ax2+bx+c,规定函数y= (ax2+br+c(x之0)是它的相关函数.已知点M,N的坐标 -ax2-bx-c(x<0) 分别为(-，2)，(5,2)，连接MN,若线段MN与二次函数y=-2x2+8x+n的相关函数的图象有两个公共 点，则n的取值范围为() A-6<n≤-2或2<n≤曾 B.-6<n<-2或2<n≤g Cn≤-2或2≤ns曾 D.-6<n<-2或n≥2 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.关于x的一元二次方程x(x-3)=0的解为： 10.抛物线y=2(x-1)2+7的顶点坐标是一· 11.已知点A(-2,y1),B(-3,y2)在二次函数y=x2-2x+2022的图象上， 则y与y2的大小关系为：y1y2(填“>”“<”或“=”). A 12.矩形ABCD两条对角线交于0点，且A0、B0的长是关于x的方程x2+(2m- 1)x+m2+3=0的根，则m的值为 y 13.如图，己知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于点A(-3,y1),B(1,y2) 两点，则关于x的不等式ax2+c≥-kx+m的解集是 14如图，如图在平面直角坐标系中，抛物线划=-x2+mx+2与y轴交于点4， B 过点A作y轴的垂线与抛物线交于点B,点C为抛物线的顶点，直线BC与x轴交于 D 点D,当CB=BD时，则m的值为一. 15.如图，二次函数C2是二次函数C1:y=x2-4关于x轴对称得到的，再 C 将二次函数C2向右平移1个单位长度得到二次函数C3,A是函数C3上的任 意一点，且点A的横坐标为m,点B的坐标为(4一m,0),连接AB,以AB 为对角线作矩形ACBD,且矩形的边与坐标轴平行.矩形ACBD的边（包括顶 点)与函数C3有3个交点时m的取值范围是_一· 16,如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+3x+c(0≤x≤刀)与x 轴的交点坐标为(7,0)，设该图象上任意两点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),其中 x1<x2,d为x1≤x≤x2时y的最大值与最小值的差.若x2-x1=6,则d的取值范 围是一· 第2页，共7页 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.用合适的方法解一元二次方程. (1)x(x-5)=x-5:(2)3x2-x-1=0;(3)(x+3)2-25=0. 18.(本小题8分) 已知关于x的方程x2+(2k-1)x-2k-1=0 (1)求证：无论k取何值，关于x的方程x2+(2k-1)x-2k-1=0都有两个不相等的实数根； (2)若-1是此方程的一个根，求k的值. 19.(本小题8分) 如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m). (1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m? (②)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m? 25m 第3页，共7页 20.(本小题8分) 二次函数y=x2+bx+3(a≠0)的图象过点A(-1,0),B(1,4). (1)求二次函数的解析式： (2)当-2≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值的差： (3)当-1≤x≤m时，函数y的取值范围为0≤y≤4，求m的取值范围. 21.(本小题8分) 一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场 调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件 (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加一件，每件商品盈利」 元（用含x的代数式表示）： (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？ 22.(本小题8分) 己知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个实数根. (1)求m的取值范围： (2)若方程的两个根x1,x2满足x1+x2+x1x2-6=0,求m的值. 第4页，共7页 23.(本小题8分) 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A(-1,0),B(2,0),交y轴于点C(0,-2). (1)求二次函数的解析式； (2)若点M为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当点M运动到何处时，四边形ACMB的面积最大？求 出此时点M的坐标及四边形ACMB面积的最大值. B 24.(本小题8分) 如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C, (1)求抛物线的函数表达式及C点坐标； (2)点D(m,3)是抛物线上一点，且当x≥m时，y的最大值为3，求m的值. y 第5页，共7页 25.(本小题8分) 如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3),点P是坐标平面 内一点，点P坐标(1，-2) B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)连接OP,若点D在抛物线上且∠DB0+∠POB=90°，求点D的坐标： (3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c当-1≤x≤4时的函数图象记为l1,将图象l1在x轴上方的部分沿x轴 翻折，图象L1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2.若经过点P的一次函数y=mx+n的图象与图象l2在 第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围. 26.(本小题8分) 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点. (①)下列函数存在二倍点的有一：（填序号）①y=2x+5:②=-是：③y=x2+x-1:④=x2+(a+ 1)x-a(a为常数) (2)若二次函数y=x2-x-c(c为常数)在-2<x<4的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是： (3)若抛物线y=(a-1)x2+bx+2(a≠1)对于任意的常数b恒有两个二倍点，求a的范围. 第6页，共7页 27.(本小题8分) 如图，二次函数y=ax2+c的图象的顶点为A(0,3),点B(2,4)在二次函数的图象上，M为二次函数图象上的 一动点， D A 图1 图2 (1)求二次函数的表达式， (2)如图1，当点M的横坐标为8时，连接AM,N为线段AM上的一动点，过点N作NP/y轴，交抛物线于点 P,作NQ1y轴，交y轴于点Q,求NP+NQ的最大值 (3)如图2，连接MB并延长，交一次函数y=x的图象于点C,过点C作CD/y轴，交二次函数的图象于点D, 连接MD小林发现，在点M运动的过程中，直线MD始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说 明理由， 第7页，共7页 2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考复习培优 数学试卷（范围：一元二次方程和二次函数） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 3.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达亿元，且第一季度的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 6.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 7.已知二次函数，在取不同值的情况下，部分函数值与的对应关系如下表： 则下列结论：当时，有最小值；无论取何值，二次函数的图象始终经过一个定点； 所有的最大值中，有最小值；当时，的值始终为负数． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.对于二次函数，规定函数是它的相关函数已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.关于的一元二次方程的解为      ． 10.抛物线的顶点坐标是      ． 11.已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为：           填“”“”或“”． 12.矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为      ． 13.如图，已知抛物线与直线交于点，两点，则关于的不等式的解集是______． 14.如图，如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，点为抛物线的顶点，直线与轴交于点，当时，则的值为      ． 15.如图，二次函数是二次函数：关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移个单位长度得到二次函数，是函数上的任意一点，且点的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行矩形的边包括顶点与函数有个交点时的取值范围是______． 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，设该图象上任意两点的坐标分别是，，其中，为时的最大值与最小值的差若，则的取值范围是______． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.用合适的方法解一元二次方程． ； ； ． 18.本小题分 已知关于的方程． 求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； 若是此方程的一个根，求的值． 19.本小题分 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙墙长． 矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ 矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 20.本小题分 二次函数的图象过点，． 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最大值和最小值的差； 当时，函数的取值范围为，求的取值范围． 21.本小题分 一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． 设每件服装降价元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元用含的代数式表示； 在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 22.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根，满足，求的值． 23.本小题分 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． 求二次函数的解析式； 若点为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标及四边形面积的最大值． 24.本小题分 如图，抛物线经过点，，与轴交于点． 求抛物线的函数表达式及点坐标； 点是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 25.本小题分 如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． 求抛物线的解析式； 连接，若点在抛物线上且，求点的坐标； 如图，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求的取值范围． 26.本小题分 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点． 下列函数存在二倍点的有          ；填序号；；；为常数 若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是          ； 若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的范围． 27.本小题分 如图，二次函数的图象的顶点为，点在二次函数的图象上，为二次函数图象上的一动点． 求二次函数的表达式． 如图，当点的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值． 如图，连接并延长，交一次函数的图象于点，过点作轴，交二次函数的图象于点，连接小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版九年级上学期第一次月考复习培优 数学试卷（范围：一元二次方程和二次函数） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：是一元二次方程，符合题意； B.是一元一次方程，不符合题意； C.不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D.含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：． 只含有一个未知数，且未知数的最高次为的整式方程叫做一元二次方程，据此可得答案． 本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握相关定义是解答本题的关键． 2.已知二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 其图象的顶点坐标为 B. 函数的最小值为 C. 其图象的开口向上 D. 其图象的对称轴为直线 【答案】D  【解析】解：由题意，对于， 该函数的对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线的开口向下，当时，取最大值为． 故A、、C错误，D正确． 故选：． 依据题意，由函数图象和性质逐个求解即可． 本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是关键． 3.将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线为：． 故选：． 按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 4.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 【答案】B  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得，且， 故选：． 利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义求出的取值范围即可． 此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时；当方程没有实数根时． 5.某经济技术开发区今年一月份工业产值达亿元，且第一季度的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：依题意得： ， 故选：． 设平均每月的增长率为，依题意列出方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由所给一次函数图象可知， ，． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的开口向下，且对称轴在轴的左侧， 显然只有选项符合题意． 故选：． 根据所给一次函数的图象，得出，，据此得出抛物线的对称性在轴左侧，且开口向下，据此可解决问题． 本题主要考查了二次函数的图象及一次函数的图象，熟知二次函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 7.已知二次函数，在取不同值的情况下，部分函数值与的对应关系如下表： 则下列结论： 当时，有最小值； 无论取何值，二次函数的图象始终经过一个定点； 所有的最大值中，有最小值； 当时，的值始终为负数． 其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据表中，，代入二次函数， ， 二次函数的解析式为， ，对称轴为， 二次函数的图象开口向下，当时，有最大值， 结论错误； ，令， 即，此时， 故二次函数的图象始终经过一个定点， 故结论正确； 二次函数的对称轴为直线，当时， 设， 故为的二次函数，对称轴为， 此时， 所有的最大值中，有最小值， 故结论错误； 对于二次函数，考虑其判别式， ， 为的二次函数，开口向上， 故当时，， 亦即当时，， 此时，二次函数与轴无交点，故函数值始终为负数， 故结论正确． 综上，正确， 故选：． 把，，代入二次函数，可得，从而知二次函数的解析式为，求出对称轴结合开口方向即可判断； 因为，令，即，此时，即可判断； 设，为的二次函数，对称轴为，此时，即可判断； 对于二次函数，考虑其判别式，故得为的二次函数，开口向上，当时，，即可判断； 本题以表格数据推理形式考查了二次函数的图象与性质、图象过定点问题、最值、根的判别式、图象与轴的交点问题、函数与方程思想，熟练掌握函数与方程思想以及二次函数的图象性质是解题关键． 8.对于二次函数，规定函数是它的相关函数已知点，的坐标分别为，，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B  【解析】解：由题意可知二次函数的相关函数为， 点，的坐标分别为，， 当时，由图象可知二次函数的相关函数的图象与线段有三个交点， 当时， 满足当时，的值大于等于；当时，的值小于等于， 线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， 如图所示， 即，解得，故， 故； 当时， 满足的顶点坐标在上方时，如图所示， 线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点， 即，即， 故， 综上，的取值范围为或． 故选：． 先求出二次函数的相关函数为，当时，由图象可知二次函数的相关函数的图象与线段有三个交点，不合题意；当时，满足当时，的值大于等于；当时，的值小于等于，线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点；当时，满足的顶点坐标在上方时，二次函数的相关函数的图象有两个公共点．分别根据以上两种情况列出不等式求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与线段的交点问题，准确理解新定义以及数形结合画出此相关函数的图象分析是解题关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.关于的一元二次方程的解为      ． 【答案】，  【解析】解：根据因式分解法可得：， 解得：，， 故答案为：，． 利用因式分解法求解即可． 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 10.抛物线的顶点坐标是      ． 【答案】  【解析】解：，顶点坐标为， 的顶点坐标是， 故答案为：． 利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出． 本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法，掌握顶点式的特征是解题关键． 11.已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为：           填“”“”或“”． 【答案】  【解析】抛物线开口向上，且对称轴为直线，根据二次函数的图象性质：在对称轴的左侧，随的增大而减小． 【详解】解：二次函数的解析式为， 该抛物线开口向上，且对称轴为直线：． 点，在二次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 12.矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：矩形两条对角线交于点， ， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 先根据矩形的性质得到，再根据根的判别式的意义得到，然后关于的方程即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．也考查了矩形的性质． 13.如图，已知抛物线与直线交于点，两点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】  【解析】解：直线关于轴对称的直线解析式为， 抛物线关于轴对称， 点，关于轴的对称点，为抛物线与直线的交点，如图， 当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 利用关于轴对称的点的坐标特征得到直线关于轴对称的直线解析式为，则可判断点，关于轴的对称点，为抛物线与直线的交点，然后利用函数图象写出抛物线在直线的上方含交点所对应的自变量的取值范围即可． 本题考查了二次函数与不等式组：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．利用数形结合的思想解决问题是关键． 14.如图，如图在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的垂线与抛物线交于点，点为抛物线的顶点，直线与轴交于点，当时，则的值为      ． 【答案】  【解析】解：由题意得：， 轴， 轴， ， 如图，过点作轴于，交于点，则， 直线与轴交于点，且， 为的中点， 由于， ，即， ， 又为抛物线的顶点， ， ， 解得：或， 抛物线对称轴在轴的右侧， ， ， 故答案为：． 先求出的坐标，再根据抛物线的对称性可以求出的纵坐标，再根据可知点是的中点，推出的纵坐标，利用顶点坐标公式列方程即可求出的值． 本题考查二次函数的性质，抛物线的对称性．巧用抛物线的对称性可以帮助我们快速的解题． 15.如图，二次函数是二次函数：关于轴对称得到的，再将二次函数向右平移个单位长度得到二次函数，是函数上的任意一点，且点的横坐标为，点的坐标为，连接，以为对角线作矩形，且矩形的边与坐标轴平行矩形的边包括顶点与函数有个交点时的取值范围是______． 【答案】或  【解析】解：二次函数是二次函数：关于轴对称得到的， 二次函数的表达式为：， 将二次函数向右平移个单位长度得到二次函数， 函数的表达式为， 函数的对称轴为直线， 当时，得：， 解得，， 点，． 点的横坐标为，点，以为对角线的矩形的中心点是的中点， 矩形的中心点在直线上． 分类讨论如下： 当时，如图：矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时，矩形不存在； 当时，如图和图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时，如图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时，如图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时，矩形不存在； 当时，如图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时，矩形不存在； 当时，如图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时即点与点重合如图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； 当时，如图，矩形的边包括顶点与函数有个交点； ． 综上所述，当或时，矩形的边包括顶点与函数有个交点． 故答案为：或． 设函数与轴的交点为，，其中利用二次函数的性质易得，易得点，，进而得到矩形的中心点在直线，然后根据的取值情况分种情况分别画出图形运用矩形的性质分别分析判断即可． 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，矩形的性质，掌握数形结合思想成为解题的关键． 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，设该图象上任意两点的坐标分别是，，其中，为时的最大值与最小值的差若，则的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：将代入抛物线表达式得：． 解得：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， ，， 则、只能在对称轴的两侧， 即，， 即抛物线在处取得最小值，在顶点处取得最大值， 而时，函数，时，， 当时，则，此时，， 当时，则，此时，， 故， 故答案为：． 由题意得：、只能在对称轴的两侧，即，，即抛物线在处取得最小值，在顶点处取得最大值，即可求解． 本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉函数额图象和性质是解题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.用合适的方法解一元二次方程． ； ； ． 【答案】解：， ， ， ，或， ，； ， 这里，，， ， ， ，； ， ， ， ，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题分 已知关于的方程． 求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； 若是此方程的一个根，求的值． 【答案】， ； ， ； 无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根；    【解析】证明：， ； ， ； 无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； 把代入，得， 解得：． 求出判别式的符号，即可得证； 把代入方程，进行求解即可． 本题考查根的判别式，一元二次方程的解，掌握其性质是解题的关键． 19.本小题分 如图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙墙长． 矩形围栏的面积为时，三边分别长多少？ 矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少？ 【答案】三边长分别为：、、；   三边长分别为：、、  【解析】设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为， 根据题意得：， 解得：，时， 当时，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 三边长分别为：、、； 设矩形围栏的面积为， 则 ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当时符合题意， 三边长分别为：、、． 设垂直于墙的一边长，则平行于墙的边长为，然后利用面积公式列出方程即可； 由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 20.本小题分 二次函数的图象过点，． 求二次函数的解析式； 当时，求函数的最大值和最小值的差； 当时，函数的取值范围为，求的取值范围． 【答案】；   ；     【解析】由条件可知， 解得， 二次函数的关系式为； ， 抛物线的开口方向向下，对称轴为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， 当时，最大，； 当时，最小，． 时，函数的最大值和最小值的差为； 函数的取值范围为，即函数图象位于轴上方的部分所对应的函数值， 当时，即． 解得或． 又当时，， ． 待定系数法求出函数解析式即可； 根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； 图象法，求的取值范围即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 21.本小题分 一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件． 设每件服装降价元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元用含的代数式表示； 在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 【答案】，   在让利于顾客的情况下，每件服装降价元，商家平均每天能盈利元  【解析】解：设每件服装降价元，由于每件服装降价元，那么平均每天可多售出件， 根据题意得元． 故答案为：，． 设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得： ， 解得：，， 要让利于顾客， 应舍去， 故， 答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价元，商家平均每天能盈利元． 根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件即可得到答案． 设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出方程，解方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系是解题的关键． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根，满足，求的值． 【答案】；     【解析】关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 的取值范围为； 和是关于的一元二次方程的两个根， ，， ， ， 整理得：， 解得：，， 又， ． 答：的值为． 利用根的判别式，即可求出答案； 先运用根与系数的关系得出，，再代入到，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． 23.本小题分 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． 求二次函数的解析式； 若点为该二次函数图象在第四象限内的一个动点，当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标及四边形面积的最大值． 【答案】二次函数的解析式为；   当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为  【解析】二次函数的图象交轴于点，，交轴于点， ，解得， 二次函数的解析式为． 如图，连接，，，作轴交于点， 设直线的解析式为，将点和点的坐标代入， ，解得， ， 设点的坐标为，的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积取得最大值，此时， ， 当点的坐标为时，四边形的面积最大，最大值为． 运用待定系数法解二次函数解析式即可求解； 如图，连接，，，作轴交于点，可求出直线的解析式，设点的坐标为，的坐标为，用含的式子表示四边形的面积，根据二次函数图象的性质即可求解． 本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 24.本小题分 如图，抛物线经过点，，与轴交于点． 求抛物线的函数表达式及点坐标； 点是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】；点的坐标为；     【解析】将，两点坐标代入函数解析式得：， 解得， 所以抛物线的表达式为； 令得，， 所以点的坐标为； 将代入函数解析式得：， 解得，， 即或． 又因为当时，的最大值为， 且抛物线的顶点坐标为， 所以． 用待定系数法即可解决问题． 根据时，的最大值为，可确定的值． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 25.本小题分 如图，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． 求抛物线的解析式； 连接，若点在抛物线上且，求点的坐标； 如图，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求的取值范围． 【答案】 或 且   【解析】【分析】设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到抛物线的解析式； 如图中，如图中，作于由，推出，由，， 推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出； 当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 即； 解：如图中，作于． ， ， ，， ， ，设交轴于，则， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得： 直线的解析式为， 由 解得或 ． 当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为， 由 解得或． ． 解：如图中， 当直线经过，时，则有 解得 一次函数的解析式为， 当时，， 当直线经过，时，则有 解得 一次函数， 观察图象可知：且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点． 26.本小题分 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点． 下列函数存在二倍点的有          ；填序号；；；为常数 若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是          ； 若抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点，求的范围． 【答案】(1)③④  (2)​​​​​​​  (3)解：抛物线对于任意的常数恒有两个二倍点， ∴把代入得，，整理得，， ∴，即， ∵对于任意的常数恒有两个二倍点， ∴设关于的二次函数与轴无交点， ∴， 解得，．   【解析】  本题主要考查定义新运算，二次函数图象的性质，解不等式组，理解新定义的计算方法，二次函数图象的性质时解题的关键． 根据新定义可得，，代入计算即可求解； 解：根据新定义可得，， ，无解，不存在二倍点； ，则，无解，不在二倍点； ，整理得，，解得，， 存在二倍点； ，整理得，， ， 方程有解， 存在二倍点； 综上所述，存在二倍点的有：；   根据题意，当时，；当时，；根据存在二倍点，代入得，则有，解得，，又因为当时，二次函数，当时，二次函数，可得，则有，由此即可求解； 解：二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点， 当时，；当时，； 存在二倍点， ，整理得，， ， ， 当时，二次函数，当时，二次函数， 解得，， 的取值范围是；   根据存在二倍点，把代入得，，则有，又因为对于任意的常数恒有两个二倍点，则设关于 的二次函数与轴无交点，根据判别式即可求解． 27.本小题分 如图，二次函数的图象的顶点为，点在二次函数的图象上，为二次函数图象上的一动点． 求二次函数的表达式． 如图，当点的横坐标为时，连接，为线段上的一动点，过点作轴，交抛物线于点，作轴，交轴于点，求的最大值． 如图，连接并延长，交一次函数的图象于点，过点作轴，交二次函数的图象于点，连接小林发现，在点运动的过程中，直线始终经过某个定点，请直接写出该定点的坐标，不必说明理由． 【答案】解：把点和点代入， 得 解得， 一次函数的表达式为 为二次函数图象上的点，且点的横坐标为， ，即点， 设直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点，， ， ，， 当时，取得最大值，最大值为 该定点的坐标为理由： 设点的坐标为，直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， 直线的表达式为， 令，解得，即点的横坐标为， 将代入，得， 点坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得 解得 直线的表达式为， 当时，， 即直线恒过定点．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $