第21章 一元二次方程 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

第二十一章 高频考点突破。 考点1一元二次方程的有关概念 1.若a.x2-5x十3=0是关于x的一元二次方 程，则不等式3a十6>0的解集是( A.a>-2 B.a<-2 C.a>-2且a≠0 1 D.a>2 2.已知a是方程x2一2x-1=0的解，则代数 式2a2-4a的值为 A.2 B.-1 C.1 D.-2 考点2一元二次方程的解法 3.(2024·贵阳期中)用配方法解方程x2一2x 5=0时，原方程变形为 A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-1)2=9 4.解下列方程： (1)(x-1)2-4=0; (2)(x-2)2-3(x-2)=0. 5.新考向过程性学习小星在用公式法解方程 3x2一5x=2时，呈现了如下解答过程： 解：方程化为3x2-5x十2=0. …第一步 a=3,b=-5,c=2. …第二步 △=-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0. …第三步 方程有两个不等的实数根 x=-b±VF-4ac_-(-5)±1_5±1 2a 2×3 6 …第四步 即刘-号- …第五步 整合与提升 (1)小星从第 步开始出错； (2)请用公式法将正确求解方程的过程写 出来 考点3一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 6.若方程x2一2|x|一b一3=0恰有四个实数 根，则这四个实数根的和是 ) A.0 B.4 C.2 D.无法判断 7.若一元二次方程x2一2x一1=0的两个根为 m,n,则一次函数y=(m十n)x十mn的大致 图象是 8.已知m,n是一元二次方程x2一2x一1=0的 两根，则m十n的值为 考点4一元二次方程的实际应用 9.(2024·四川眉山)眉山市东坡区永丰村是 “天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生 产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量 从2021年的670kg增长到了2023年的 780kg,该村水稻亩产量年平均增长率为x, 则可列方程为 A.670×(1+2x)=780 B.670×(1+x)2=780 C.670×(1+x2)=780 D.670×(1+x)=780 数学1九年级全册21 10.某商店经销一批小家电，每个小家电的成 本为40元，经市场预测，定价为50元时，可 销售200个，定价每增加1元，销售量将减 少10个.如果商店进货后全部销售完，赚 了2160元，那么该小家电每个的定价是 元. 11.(2024·遵义期中)如图，为绿化环境，某小区 在宽为20m,长为32m的矩形地面上，修建 同样宽、相互垂直的三条道路（图中阴影部 分)，把地面分成大小不等的六块绿化带，要 使六块绿化带的面积和为570m2. (1)求道路应为多宽； (2)如果修建道路每平方米造价80元，绿 化地面每平方米造价100元，求小区花 的总费用为多少元 20m 32m @易错易混专攻。 易错点1忽视一元二次方程的二次项 系数不为0而致错 1.若关于x的一元二次方程(m-3)x2十nx= 9x十5化为一般形式后不含一次项，则m的 值为 A.0 B.±3 C.3 D.-3 易错点2运用根与系数的关系时忽略 △≥0而致错 2.已知关于x的一元二次方程x2一2(1一m)x十 m2=0的两实数根为x1,x2.若x1x2=1,则 m的值为 22第二十一章一元二次方程 冒常考题型演练。 1.下列方程中，无实数根的方程是 A.x2+3x=0 B.x2+2x-1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2-x十3=0 2.(2024·贵阳期中)2024年10月，在华东师 范大学附属贵阳学校第六届“追梦奥运，超 越自我”为主题的体育节运动会上，九年级 举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个 球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共 举行了45场比赛，那么参加比赛的球队共 有 个. 3.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场 调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元) 之间满足一次函数关系，部分数据如表 所示。 每件售价x/元 … 45 55 8 … 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式；（不要求写 出自变量x的取值范围) (2)该商品日销售额能否达到2600元？如 果能，求出每件售价；如果不能，说明 理由.基础过关 1.C2.C3.2x-3-6=04.解：(1)移项，得x2十3x=0.因式分解，得x(x十3)=0. 于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=一3：(2)因式分解，得(x-5)2=0.于是得x一5= 0,x1=x2=5.5.D6.解：(1)4x2-4=0,4x2=4,x2=1,x=±1，x1=-1,x2=1: 1 (2)因式分解，得(2x-1)(x-1)=0,于是得2x-1=0,或x-1=0,x=2,2=1. 7.解：(1)一(2)(3x-1)2=2(3x-1).移项，得(3x一1)2-2(3x-1)=0.因式分解， 得(3x-108x-3)=0.于是得3x-1=0,或3x-3=0m=号=1 能力提升 8.B9.1110.1或411.解：移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2-2x= 号配方，得2-红+P=号+1，G-1》=号由此可得一1=士 3 ,x1=1十 34=1-1⑤5 V√15 3 思维拓展 12.解：(1)(x十2)(x十4)(x-10)(x+3)(2)因式分解，得(x十3)(x-1)=0,于是 得x十3=0，或x-1=0,x1=-3,x2=1:(3)因式分解，得(2x-5)(2x十1)=0，于是得 2x-5=0,或2x+1=0=号m=-2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：(1)x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2.x1=3,x=-1;(2)4(x-2)2= 4x-2=士号一2-号或x一2=-号离 121.(x-2)2=121 222 2·3.C 4.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x-2=士6,1=8，x2=一4；(2)移项，得22十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5. 5.D6.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无 实数根；(2)a=2,b=7,c=3.△=6-4ac=72-4×2×3=25>0.方程有两个不等的实 数根=二土@c-7表压-二75，即=-3=-子7.C8.解： 1 2a 2×2 4 (1)因式分解，得(x-7)(1-x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原 方程可变形为3(x一2)一x(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2= 0,或3-x=0,x1=2,x2=3.9.C10.B11.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y一 3y-4=0.解得y=4,2=-1.当y=4时，x2=4,.x=士2.当y=-1时，x2=-1, 此方程无解..原方程的解为x1=2,x=一2：(2)设x2一2=y,则原方程可化为y一 11y+18=0.解得y1=2,y2=9.当y=2时，x2-2=2,x2=4,x=±2.当y=9时， x2-2=9,x2=11,x=士√T.∴原方程的解为x=2,x2=-2,x=-√，x4= √I. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：1)十=一3，x=1:(2)x十=0，=一号，【例2】解：根据根 与系数的关系，得西十西=号x-分1)原式=（红十）-21=（号）-2× 5 5 名-(2原式-=三-5 2 第4页（共78页） 基础过关 1.22.A3.C4.75.D6.D7.A8.3 能力提升 9.A10.B11.土J1712.解：(1)b-4ac=(1+3)2-4×1×(m+1)=m+2m+5 =(m十1)2十4.：(m十1)≥0，∴.(m十1)2十4>0，∴.无论m取何值时，原方程总有两 个不相等的实数根；(2)易得x1十x2=一(m十3)，x1x2=m十1，：x十x=4,∴.(x1十 x2)2-2x1x2=4.∴.[-(m十3)]-2(m十1)=4，整理，得m2十4m十3=0.解得m1= 一1，m2=一3.即m的值为一1或-3. 思维拓展 13.解：(1)-2 -8 (2)2,3是方程x2十px十9=0的两根，…2+3=一p,2×3 =q,∴.p=-5,9=6;(3),两个不同的实数m,n满足m2十5m-3=0,n2十5n一3=0， Cm,n可看作方程x十5x一3=0的两根，心m十n三一5，mn=一3.，化十”白 m m点过_士-一5)”-X二》=一}即兴+丹的值为- mn mn -3 n m 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.B3.A【变式1】m<8【变式2】m≤54.解：)当k=1时，原方程化为 x2十2x=0,(x十2)x=0,x十2=0，或x=0,x1=-2,x2=0;(2):方程x2十2x十k-1 =0有两个相等的实数根，∴.△=6-4ac=22-4(k-1)=0,解得k=2.5.B6.7 7.B8.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=-4ac=[-(m+2)]2-4×1X(m -1)=2十4m十4-4m十4=m2十8..m≥0，.△>0...无论m取何值，方程都有两 个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x12=1一1.：x十x一2=9， 即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.（十2）2一3(1-1)=9.整理，得m2十m-2=0..(m十 2)(m-1)=0.∴m十2=0，或m-1=0,解得m=-2,2=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 【例111x-1)合x(x-1)(2)2(x-1D=4X7(3)z=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B【变式92.A【变式】x(x-1)=1103.解：设九(2)班有x个同学，则每个同 学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x-1)=1560.解得x1=40,x2=一39（不符 合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学.4.C5.x2-7x十12=0 能力提升 6.B7.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得60x =24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌 可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植后有480000 个有益菌。 思维拓展 8解：(1)根据题意，得2n(n一3)=14，整理，得-3n-28=0.解得m=7,=-4. n≥3，n=一4不符合题意，舍去.n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当n(n-3)=10时，整理，得m-3n-20=0.解得n= 生y区符合方程心-3m一20=0的正整数n不存在心多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确 第5页（共78页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10十x一8)200 0.5X10）=640.整理，得x-8x十12=0.解得=2，m,=6.又：要减少进货量，x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.解：(1)200(1-x)(2)根据题意，得200(1-x)2=162,解得x1=0.1=10%, x2=1.9(舍去)，答：每次降价的百分率为10%.3.解：(1)(40-x)(20十2x) (2)根据题意，得(40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2 =20,·为了扩大销售，尽快减少库存，x=20.答：每件玩具应降价20元. 能力提升 4.A5.解：(1)设利润的年平均增长率为x.根据题意，得3(x十1)2=4.32，解得x1= 一2.2（不符合题意，舍去），x2=0.2=20%.答：利润的年平均增长率为20%；(2)4.32 ×(0.2十1)=5.184<6.答：该企业2024年的利润不能超过6亿元. 思维拓展 6.解：问题1：设螃蟹的售价为x元/kg.由题意，得100-(x一50)×2=90，解得x=55, .(55一40)×90=1350（元）.答：某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利 1350元；问题2：设螃蟹的售价为y元/kg.由题意，得(y-40)×[100-(y-50)×2]= 1750,解得y=65,y2=75.:要帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠，·y=65. 答：该小组会建议将螃蟹的售价定为65元/kg. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.2cm,4cm4.C5.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10- 2x)=16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍 去).答：需设置页边距为1cm. 能力提升 6.解：(1)设养鸡场的边AB的长为xm,则BC的长为(40一2x)m,根据题意，得x(40 -2x)=150.整理，得x2-20x十75=0.解得x1=5,x2=15.当x1=5时，40-2x=30 >18,不符合题意，舍去：当x2=15时，40-2x=10<18,符合题意：答：养鸡场的长为 15m,宽为10m:(2)围成养鸡场的面积能达到200m,理由如下：设养鸡场的边AB的 长为ym,则BC的长为(40一2y)m.根据题意，得y(40一2y)=200.整理，得y2一20y 十100=0.：△=（一20）-4×1×100=0，∴.方程有两个相等的实数根，.围成养鸡场 的面积能达到200m2. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.A3.B4.解：(1)(x-1)2=4,x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2,x1=3,x2 =-1;(2)因式分解，得(x-2)(x-2-3)=0,(x-2)(x-5)=0,于是得x一2=0，或x -5=0,x1=2,x2=5.5.解：(1)一(2)方程化为3x2-5x-2=0.a=3,b=-5,c= -2.△=b-4ac=(-5)2一4×3×(-2)=49>0.方程有两个不等的实数根x= -b±√-4ac_5±7 =2x3,即x=2,=-3.6.A7.B8.29.B10.52或58 11.解：(1)设道路宽为xm.根据题意，得(32-2x)(20-x)=570,整理，得x2-36x十 35=0.解得x1=1,x2=35.:35>20,.x=35不合题意，舍去.答：道路宽为1m; (2)570×100+(32×20一570)×80=62600（元）.答：小区花的总费用为62600元. 易错易混专攻 1.D2.-1 第6页（共78页） 常考题型演练 1.D2.103.解：(1)由题意，设一次函数的关系式为y=kx十b,又结合表格数据可知 145k+b=55, 1k=-1, 图象过(45,55)，(55,45)，∴. 解得 55k+b=45, b=100. ∴y与x的函数关系式为y= 一x十100：(2)由题意，得销售额为x(一x+100)=一x2十100x.当日销售额是2600元 时，2600=-x2+100x..x2-100x+2600=0..△=(-100)2-4×2600=10000 10400=一400<0..此方程无实数根，故该商品日销售额不能达到2600元. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 新知梳理 y=ax2十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 例题引路 【例1】①④⑤【例2】w=-3x2十360x-9600(50≤x≤55) 基础过关 1.A2.(1)一1(2)≠23.解：y=(x-2)(3-x)=一x2十5x-6,它是二次函数，它 的二次项系数为-1，一次项系数为5，常数项为-6.4.D5y=之r一之：是 6.-2 能力提升 7.D8.119.解：(1)根据题意，得S=x(34-3x十2)=x(36-3x)=-3x2十36x,即 S关于x的关系式是S=-3x2+36x;(2)根据题意，得-3x2十36x=160,即3x2-36x 十160=0..△=b-4ac=(-36)2-4×3×160=-624<0,.原方程无实数根.∴.两 个鸡场的面积和S不能等于160m. 思维拓展 10.解：(1)y=4x2-24x+1440<x<6(2)不能.理由如下：当y=172时，即4x2 24x十144=172.整理，得x2-6x-7=0.解得x1=7,x2=-1,又0<x<6,∴x1=7, x2=-1均不符合题意..四边形APQC的面积不能等于172mm2. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 新知梳理 ①y轴原点上低下高小②<0>0<0>0③相同相反x 原点 例题引路 【例】解：1)根据二次函数的定义，得-2=2， 解得k=士2..当k=士2时，原函数 1k十1≠0， 是二次函数：(2)根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，.k十1>0，即k>一1. 由(1)，得k=2..该抛物线的解析式为y=3x2,,.抛物线的最低点为(0,0).当x>0 时，y随x的增大而增大 基础过关 1.A2.A3.(1)y= (2)①y=xy=-十r②y轴 y=4 (0,0)4.A5.A6.a>1 第7页（共78页） 能力提升 7.B8(子，受)9.解：1)将P1,m代入y=2r-1,得m=2X1-1=1点P 的坐标为(1,1).将P(1,1)代入y=ax2,得1=a×1,解得a=1.∴.a=1,m=1;(2)二 次函数的解析式为y=x2,当x>0时，y随x的增大而增大；(3)抛物线的顶点坐标为 (0,0),对称轴为y轴. 思维拓展 2k十b=0, 10.解：(1)直线y=kx十b过点A(2,0),B(1,1),. 解得/一1， 直线 k+b=1, b=2. AB的函数解析式为y=一x十2.：抛物线y=ax2过点B(1,1),∴.1=a×1,解得a= 1.抛物线的函数解析式为y=x2;图象如图所示： V (2)连接OB,OC.解方 程组/=一x十2 得=-2,1=1， {y=4,y=1. 点C的坐标为（一2,4）.又：点B的坐标为 y=x2, (1,1),点A的坐标为(2,0)，0A=2,SAac=2OA·1c=2X2X4=4,SamB =号0A·0e=号X2X1=1,∴Sam=Saae-Saw=4-1=3.设点D的纵坐标 为0，则0>0S0=20A×w=号×2w=3%=3.把0=3代入y=x, 得x=3,解得x=士5.又：点D在y轴的右侧，x=3,∴点D的坐标为(3,3). 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=Qx2十k的图象和性质 新知梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②k 例题引路 【例1】解：图略.>0=01(0,1)(-1,0)，(1,0)【例2】-22 基础过关 1.A2.B3.y=x2-14.解：(1)图象如图： 1V= (2)①上 11 -3 32H215x 文就米 y轴(0,0)②上y轴(0，-3)(3)下3 能力提升 5.B6.D7.-2 8.解：(1)a= 之，k=2:(2)由(1)知y=-号x2十2.列表： 一3 y -2.5 0 1.521.5 0 -2.5 描点、连线，如图所示 思维拓展 9.解：(1)令x=0,则y=4,.C(0,4),.OC=4.令y=0,则-x2十4=0，解得x1=2,x2 =-2,A(2,0),B(-2,0),AB=4.Sax=号AB·0C=号X4X4=8,(2)设点 第8页（共78页） Pr).Sag=合M=之·1AB1=4|p=2.当p=2 时，2=一x十4，解得xp=士√2.当yp=-2时，一2=-x品十4，解得xp=土√6.∴.点P 的坐标为(2,2)，(-√2,2)，(W6,-2),(-√6，-2)；(3)存在.设点Q(x0,),≠0. 1x02十y%2=22, ∠AQB=90°，OA=OB,.QO=OA=OB=2,. 解得=土5或 y=-xo2+4 3y%=1 x0=士2， (舍去).∴当∠AQB=90时，点Q的坐标为(3,1)或(-√5,1) yo=0 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 新知梳理 ①抛物线x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左h 例题引路 【例1】解：1)y=-子(x十2)；(2)图略，对称轴是直线x=一2：顶点坐标为（一2,0）： (3)当x<-2时)随x的增大而增大.【例21y=号（红-4 基础过关 1.A2.D3.>-1-1大04.解：(1)如图 y=(x+2月 V=x y=(x-2 (2)①上x=0(0,0)②上x=-2(-2,0)上x=2(2,0)5.A6.(1)y= 3(x+2)2(2)右2 能力提升 7.D8.2或89.解：(1)由图象可知抛物线的对称轴为直线x=一2，.h=一2..二 1 1 次函数的解析式为y=一2（x十2)：(2)将抛物线)y=-2(x十2)向右平移3个单 位长度得到二次函数y=一(x一1)的图象. 思维拓展 10.解：(1)由题意，得平移后的抛物线的解析式为y=(x-a),顶点A(a,0).当x=0 时，y=a2,.B(0,a).:△AOB为等腰直角三角形，.OA=OB,.a=a2,解得a1=1, a2=0(舍去)，.a的值为1：(2)存在，C(2,1).[解析：如图， 1V4 作点B关 于抛物线的对称轴对称的点C,连接BC,交抛物线的对称轴于点D,连接AC. :△AOB为等腰直角三角形，∴.易得△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAD=45°.：AD 为抛物线的对称轴，∴.AB=AC,∠CAD=∠BAD=45°，∴.∠BAC=∠CAD+∠BAD =90°，△ABC为等腰直角三角形.由(1)可知B(0,1),抛物线的对称轴为直线x=1, .点C的坐标为(2,1)，.在图中的抛物线上存在点C(2,1),使△ABC为等腰直角三 角形] 第3课时二次函数y=a(x一h)十k的图象和性质 新知梳理 ①x=h(h,k)②形状位置h,k 例题引路 【例1】解：(1)将(1，-2)代入y=a(x-3)2十2，得-2=a×(1-3)2+2,解得a=-1; 第9页（共78页）