21.3 实际问题与一元二次方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

基础过关 1.C2.C3.2x-3-6=04.解：(1)移项，得x2十3x=0.因式分解，得x(x十3)=0. 于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=一3：(2)因式分解，得(x-5)2=0.于是得x一5= 0,x1=x2=5.5.D6.解：(1)4x2-4=0,4x2=4,x2=1,x=±1，x1=-1,x2=1: 1 (2)因式分解，得(2x-1)(x-1)=0,于是得2x-1=0,或x-1=0,x=2,2=1. 7.解：(1)一(2)(3x-1)2=2(3x-1).移项，得(3x一1)2-2(3x-1)=0.因式分解， 得(3x-108x-3)=0.于是得3x-1=0,或3x-3=0m=号=1 能力提升 8.B9.1110.1或411.解：移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2-2x= 号配方，得2-红+P=号+1，G-1》=号由此可得一1=士 3 ,x1=1十 34=1-1⑤5 V√15 3 思维拓展 12.解：(1)(x十2)(x十4)(x-10)(x+3)(2)因式分解，得(x十3)(x-1)=0,于是 得x十3=0，或x-1=0,x1=-3,x2=1:(3)因式分解，得(2x-5)(2x十1)=0，于是得 2x-5=0,或2x+1=0=号m=-2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：(1)x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2.x1=3,x=-1;(2)4(x-2)2= 4x-2=士号一2-号或x一2=-号离 121.(x-2)2=121 222 2·3.C 4.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x-2=士6,1=8，x2=一4；(2)移项，得22十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5. 5.D6.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无 实数根；(2)a=2,b=7,c=3.△=6-4ac=72-4×2×3=25>0.方程有两个不等的实 数根=二土@c-7表压-二75，即=-3=-子7.C8.解： 1 2a 2×2 4 (1)因式分解，得(x-7)(1-x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原 方程可变形为3(x一2)一x(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2= 0,或3-x=0,x1=2,x2=3.9.C10.B11.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y一 3y-4=0.解得y=4,2=-1.当y=4时，x2=4,.x=士2.当y=-1时，x2=-1, 此方程无解..原方程的解为x1=2,x=一2：(2)设x2一2=y,则原方程可化为y一 11y+18=0.解得y1=2,y2=9.当y=2时，x2-2=2,x2=4,x=±2.当y=9时， x2-2=9,x2=11,x=士√T.∴原方程的解为x=2,x2=-2,x=-√，x4= √I. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：1)十=一3，x=1:(2)x十=0，=一号，【例2】解：根据根 与系数的关系，得西十西=号x-分1)原式=（红十）-21=（号）-2× 5 5 名-(2原式-=三-5 2 第4页（共78页） 基础过关 1.22.A3.C4.75.D6.D7.A8.3 能力提升 9.A10.B11.土J1712.解：(1)b-4ac=(1+3)2-4×1×(m+1)=m+2m+5 =(m十1)2十4.：(m十1)≥0，∴.(m十1)2十4>0，∴.无论m取何值时，原方程总有两 个不相等的实数根；(2)易得x1十x2=一(m十3)，x1x2=m十1，：x十x=4,∴.(x1十 x2)2-2x1x2=4.∴.[-(m十3)]-2(m十1)=4，整理，得m2十4m十3=0.解得m1= 一1，m2=一3.即m的值为一1或-3. 思维拓展 13.解：(1)-2 -8 (2)2,3是方程x2十px十9=0的两根，…2+3=一p,2×3 =q,∴.p=-5,9=6;(3),两个不同的实数m,n满足m2十5m-3=0,n2十5n一3=0， Cm,n可看作方程x十5x一3=0的两根，心m十n三一5，mn=一3.，化十”白 m m点过_士-一5)”-X二》=一}即兴+丹的值为- mn mn -3 n m 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.B3.A【变式1】m<8【变式2】m≤54.解：)当k=1时，原方程化为 x2十2x=0,(x十2)x=0,x十2=0，或x=0,x1=-2,x2=0;(2):方程x2十2x十k-1 =0有两个相等的实数根，∴.△=6-4ac=22-4(k-1)=0,解得k=2.5.B6.7 7.B8.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=-4ac=[-(m+2)]2-4×1X(m -1)=2十4m十4-4m十4=m2十8..m≥0，.△>0...无论m取何值，方程都有两 个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x12=1一1.：x十x一2=9， 即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.（十2）2一3(1-1)=9.整理，得m2十m-2=0..(m十 2)(m-1)=0.∴m十2=0，或m-1=0,解得m=-2,2=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 【例111x-1)合x(x-1)(2)2(x-1D=4X7(3)z=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B【变式92.A【变式】x(x-1)=1103.解：设九(2)班有x个同学，则每个同 学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x-1)=1560.解得x1=40,x2=一39（不符 合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学.4.C5.x2-7x十12=0 能力提升 6.B7.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得60x =24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌 可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植后有480000 个有益菌。 思维拓展 8解：(1)根据题意，得2n(n一3)=14，整理，得-3n-28=0.解得m=7,=-4. n≥3，n=一4不符合题意，舍去.n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当n(n-3)=10时，整理，得m-3n-20=0.解得n= 生y区符合方程心-3m一20=0的正整数n不存在心多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确 第5页（共78页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10十x一8)200 0.5X10）=640.整理，得x-8x十12=0.解得=2，m,=6.又：要减少进货量，x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.解：(1)200(1-x)(2)根据题意，得200(1-x)2=162,解得x1=0.1=10%, x2=1.9(舍去)，答：每次降价的百分率为10%.3.解：(1)(40-x)(20十2x) (2)根据题意，得(40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2 =20,·为了扩大销售，尽快减少库存，x=20.答：每件玩具应降价20元. 能力提升 4.A5.解：(1)设利润的年平均增长率为x.根据题意，得3(x十1)2=4.32，解得x1= 一2.2（不符合题意，舍去），x2=0.2=20%.答：利润的年平均增长率为20%；(2)4.32 ×(0.2十1)=5.184<6.答：该企业2024年的利润不能超过6亿元. 思维拓展 6.解：问题1：设螃蟹的售价为x元/kg.由题意，得100-(x一50)×2=90，解得x=55, .(55一40)×90=1350（元）.答：某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利 1350元；问题2：设螃蟹的售价为y元/kg.由题意，得(y-40)×[100-(y-50)×2]= 1750,解得y=65,y2=75.:要帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠，·y=65. 答：该小组会建议将螃蟹的售价定为65元/kg. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.2cm,4cm4.C5.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10- 2x)=16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍 去).答：需设置页边距为1cm. 能力提升 6.解：(1)设养鸡场的边AB的长为xm,则BC的长为(40一2x)m,根据题意，得x(40 -2x)=150.整理，得x2-20x十75=0.解得x1=5,x2=15.当x1=5时，40-2x=30 >18,不符合题意，舍去：当x2=15时，40-2x=10<18,符合题意：答：养鸡场的长为 15m,宽为10m:(2)围成养鸡场的面积能达到200m,理由如下：设养鸡场的边AB的 长为ym,则BC的长为(40一2y)m.根据题意，得y(40一2y)=200.整理，得y2一20y 十100=0.：△=（一20）-4×1×100=0，∴.方程有两个相等的实数根，.围成养鸡场 的面积能达到200m2. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.A3.B4.解：(1)(x-1)2=4,x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2,x1=3,x2 =-1;(2)因式分解，得(x-2)(x-2-3)=0,(x-2)(x-5)=0,于是得x一2=0，或x -5=0,x1=2,x2=5.5.解：(1)一(2)方程化为3x2-5x-2=0.a=3,b=-5,c= -2.△=b-4ac=(-5)2一4×3×(-2)=49>0.方程有两个不等的实数根x= -b±√-4ac_5±7 =2x3,即x=2,=-3.6.A7.B8.29.B10.52或58 11.解：(1)设道路宽为xm.根据题意，得(32-2x)(20-x)=570,整理，得x2-36x十 35=0.解得x1=1,x2=35.:35>20,.x=35不合题意，舍去.答：道路宽为1m; (2)570×100+(32×20一570)×80=62600（元）.答：小区花的总费用为62600元. 易错易混专攻 1.D2.-1 第6页（共78页）21.3 第1 冒名师导学。预习先知 例题团路 【例1】学校要组织一次排球邀请赛，参 赛的每两个队之间都要比赛一场，根 据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4场比赛，请问比赛组织 者邀请了多少个队参赛？ 解决方案： 解：设比赛组织者邀请了x个队参赛. (1)每个队要与其他 个队 各赛一场，由于甲队对乙队的比赛和 乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所 以全部比赛共 场； (2)根据题意，列出相应方程为 (3)解这个方程，得 (4)检验： (5)答：比赛组织者邀请了 队参赛. 【学生解答】 【例2】一个两位数，十位数字与个位数 字之和是5，把这个数的个位数字与十 位数字对调后，所得的新两位数与原 来的两位数的乘积为736，求原来的 两位数 【学生解答】 16第二十一章一元二次方程 实际问题与一元二次方程 课时传播问题与循环问题 基础过关。逐点击破 知识点1传播问题 1.(教材P22习题T4变式)某种植物的主干长出若干数目的 支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小 分支的总数是57.设每个支干长出x个小分支，根据题意 列出方程为 A.1+x+x(1+x)=57 B.1+x+x2=57 C.x+x(1+x)=57 D.1+2x2=57 【变式】有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发 送人数发送该条信息，经过两轮短信的发送，共有90人手 机上收到该条信息，则每轮发送中，平均一个人向 个人发送信息. 知识点2循环问题 2.情境题体育赛事在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛 的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一 场比赛)制，每组x人.若每组共需进行15场比赛，则根据 题意可列方程为 A2x-1)=16 B2(x+1)=15 C.x(x-1)=15 D.x(x+1)=15 【变式】单循环→双循环 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要 比赛110场.设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列 出的方程正确的是 3.元旦当天，九(2)班每个同学都与全班其他同学交换一件 自制的小礼物，结果全班共交换小礼物1560件，则九(2) 班有多少个同学？ 知识点3数字问题 4.若两个连续奇数之积为143，则这两个数 为 ) A.-13,11 B.11,13 C.11,13或-13，-11D.都不是 5.两个数的积为12，和为7，设其中一个数为 x,则依题意可列方程为 (化为一般形式) 能力提升·整合运用 6.跨学科语文读诗词，列方程：大江东去，浪淘 尽，千古风流人物，而立之年督东吴，早逝英 年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿 符.（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年 龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3， 个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年 龄)，设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x, 则列出的方程正确的是 () A.10x+(x-3)=x2 B.10(x-3)+x=x C.10x+(x-3)=(x-3) D.10(x-3)+x=(x-3)2 7.跨学科生物（教材P1g“探究1”变式）某生物 实验室需培育一群有益菌.现有60个活体 样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其 中每个有益菌每一次可分裂成若干个相同 数目的有益菌， (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多 少个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后 有多少个有益菌？ 思维拓展。学科素养 8.（教材P,习题T2变式)阅读下列内容： 我们知道边形的对角线条数公式为： 1 n(n一3).如果一个n边形共有20条对角 线，那么可以得到方程2n(n一3)=20.整理 得n2-3n-40=0.解得n=8,或n=-5. .n≥3，∴.n=一5不符合题意，舍去..n= 8,即该多边形是八边形. 根据以上内容，解答下列问题： (1)若一个多边形共有14条对角线，则这个 多边形的边数是多少？ (2)A同学说：“我求得一个多边形共有10 条对角线.”你认为A同学的说法正确 吗？为什么？ 数学[九年级全册17 第2识 冒名师导学。预习先知 方法指导 ①数量经过连续两次增长（或降低）， 并且连续两次增长（或降低）的百分 率相同，则b=a(1士x)2,其中b,a,x 分别表示两次增长（或降低）后的变 后数、基础数、增长率（或降低率） ②利润=售价一进价；利润率二进价丫 100%;售价=进价十进价×利润率； 售价=标价X折扣 10 例题引路 【例1】某市为争创全国文明卫生城市， 2022年市政府对市区绿化工程投入的 资金是2000万元，2024年投人的资金 是2420万元，且从2022年到2024 年，两年间每年投入资金的年平均增 长率相同.该市对市区绿化工程投入 资金的年平均增长率为 【学生解答】 【例2】某商店如果将进价为8元的商 品按每件10元售出，每天可销售200 件，现采用提高售价，减少进货量的方 法增加利润，如果这种商品单价每涨 0.5元，其每天的销售量就会减少10 件，那么将售价定为多少元时，能使每 天所得利润为640元？ 【学生解答】 18第二十一章一元二次方程 果时平均变化率与销售问题 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1增长（下降）率问题 1.社会热点新能源)(2024·黔东南期中)近年来，由于新能源 汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经 销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月份售 价为25万元，5月份售价为16万元.设该款汽车这两月售 价的月均下降率是x,则所列方程正确的是 A.16(1+x)2=25 B.25(1-x)2=16 C.25-25(1-x)2=16 D.25(1-2.x)=16 2.本士文化威宁火腿威宁火腿已有600多年的历史，是贵州的 传统特产.某平台销售的威宁火腿礼盒初始价格为 200元/盒，经“国庆节”和“双十一”连续两次降价后价格为 162元/盒，并且两次降价的百分率相同.若设每次降价的 百分率为x,解答下列问题： (1)第一次降价后的价格为 元/盒；（用含x的式子 表示) (2)求每次降价的百分率. 知识点2营销中的利润问题 3.(2024·贵阳期中)某商场销售一批儿童玩具，平均每天能售 出20件，每件盈利40元.经调查发现：这种玩具的售价每降低 1元，平均每天能多售出2件，设每件玩具降价x元 (1)降价后，每件玩具的利润为 元，平均每天的 销售量为 件；（用含x的式子表示） (2)为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，但 需要每天盈利1200元，那么每件玩具应降价多少元？ 可能力提升。整合运用 4.某种服装平均每天可售出50件，每件利润 为40元.若每件降价5元，则每天多售出10 件.如果要在扩大销量的同时，使每天的总 利润达到2100元，那么每件应降价多少元？ 若设每件应降价x元，则可列方程得( A.(40-x)(50+10×5)=2100 B.(40-x)(50-10×)=2100 C.(40+x)(50-10×)=2100 D.(40+x)(50+10×)=2100 5.(2025·黔东南期末)受益于国家支持新能 源汽车的发展，某地某汽车零部件生产企业 的利润逐年提高，据统计，2021年利润为3 亿元，2023年利润为4.32亿元 (1)求该企业从2021年到2023年利润的年 平均增长率； (2)若2024年保持前两年利润的年平均增 长率不变，该企业2024年的利润能否超 过6亿元？为什么？ 思维拓展。学科素养 6.新考向项目式学习“秋风起，蟹脚痒”，某学校 九年级利用星期天开展社会实践活动，调查 某种规格的螃蟹价格.如表是“数一数二”小 组的记录表，请你根据相关信息解答表中的 问题1和问题2. ××学校社会实践记录表 团队 数一数二 活动时间 2024.10.26 名称 参与 第三小组 地点 农贸市场 人员 10名同学 实践 调查螃蟹行情，帮市场解决销售问题的 内容 同时为顾客谋实惠。 螃蟹的进价为40元/kg. 螃蟹售价为50元/kg时，每天可销售螃 调研 蟹的总重量为100kg.(当天售价确定 信息 后，一天的售价均不变) 售价每涨价1元/kg,每天销售螃蟹的总 重量会少2kg 某天螃蟹的市场销售总重量为 问题1 90kg时，当天能获利多少元？ 解决 若市场想一天销售螃蟹的总利 问题 润为1750元，则“数一数二” 问题2 小组会建议将螃蟹的售价定为 每千克多少元？ 数学[九年级全册19 第3课时 ②基础过关~逐点击破 知识点1规则图形的面积问题 1.用10m长的铝材制成一个矩形门框，使它 的面积为6m.若设它的一条边长为xm, 则根据题意可列出关于x的方程为( A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6 C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6 2.（教材P1习题T3变式)一个直角三角形的两 条直角边相差3cm,面积是9cm,则较长的 直角边的长为 ) A.√3cm B.2√3cm C.3 cm D.6 cm 3.一条长为24cm的铁丝被剪成两段，将每 段都折成正方形，若两个正方形的面积和 等于20cm,则这两个正方形的边长为 知识点2边框与通道问题 4.如图，某小区计划在一块长为32m,宽为 20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路， 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 558m.设道路的宽为xm,则下面所列方程 正确的是 32m 20m A.(32-x)(20-x)=32×20-558 B.2×32x+20x=32×20-558 C.(32-x)(20-2x)=558 D.2×32x+20x-2x2=558 5.倩境题打印设置如图，在打印图片之前，为确 定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸 张的边线到打印区域的距离)，上、下、左、右 页边距分别为acm,bcm,ccm,dcm.若纸张 大小为16cm×10cm,考虑到整体的美观 20第二十-章-元二次方程 L何图形问题 性，要求各页边距相等并使打印区域的面积 占纸张的70%，则需如何设置页边距？ c.cm 打印区域 bcm dcm 习能力提升。整合运用 6.(2024·遵义期中)如图，某农户准备建一个 长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长 为18m,另三边用竹篱笆围成，篱笆总长 40m,围成长方形的养鸡场四周不能有空隙. (1)要围成养鸡场的面积为150m,则养鸡 场的长和宽各为多少？ (2)围成养鸡场的面积能否达到200m？请 说明理由.