21.2.3 因式分解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①当一元二次方程的一边为0，而另一 边易分解成两个一次因式的乘积 时，令每个因式分别等于0，得到两 个 ,从而实现降 次，这种解法叫做因式分解法， ②用因式分解法解一元二次方程的步 骤：(1)将方程的一边化为0；(2)将 方程另一边分解成 的形式；(3)令每个因式分别等于0， 即得到两个一元一次方程；(4)解这 两个一元一次方程，它们的解就是 原方程的解 例题团路 【例1】用因式分解法解下列方程： (1)x2=2x; (2)2(x-1)2+x=1. 【学生解答】 【例2】用适当的方法解下列方程： (1)x2+2.x-323=0; (2)7x(3-x)=2(x-3). 【学生解答】 21.2.3因式分解法 ②基础过关○逐点击破 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(2025·黔东南期末)一元二次方程x(x一3)=0的解是() A.x=0 B.x=3 C.x1=0,x2=3 D.x1=0,x2=-3 2.已知某一元二次方程的两根分别为x1=一2，x2=一3，则 这个方程可能为 ( ) A.(x-2)(x+3)=0 B.(x+2)(x-3)=0 C.(x+2)(x+3)=0 D.(x-2)(x-3)=0 3.用因式分解法解一元二次方程(2x一3)2一36=0时，要转 化成两个一元一次方程求解，其中的一个一元一次方程是 2x一3十6=0，则另一个一元一次方程是 4.用因式分解法解下列方程： (1)x2=-3x; (2)x2-10x+25=0. 知识点2用适当的方法解一元二次方程 5.解方程(5.x-1)2=3(5.x-1)最合适的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 6.(2024·遵义期中)用合适的方法解下列方程： (1)(2x)2-4=0; (2)2x2-3.x+1=0. 数学[九年级全册9 ?易错点解一元二次方程时，方程两边 同除以含有未知数的代数式导致漏根 7.新考向过程性学习下面是小蒋同学解一元二 次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的 任务. 解方程：(3x-1)2=2(3x-1). 解：方程两边同除以(3x一1)，得3x一1=2. …第一步 移项、合并同类项，得3x=3. …第二步 系数化为1，得x=1. …第三步 任务： (1)小蒋的解法从第 步开始出现 错误； (2)请写出此题的正确解题过程. 可能力提升。整合运用 8.点P的横、纵坐标恰好是方程x2一2x 24=0的两个根，则经过点P的正比例函数 图象一定过 A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一象限 D.第四象限 9.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边 长是方程x2一7x十12=0的根，则该三角形 的周长为 10.新视角新定义)(2024·遵义期中)定义新运 算“a&b”:对于任意实数a,b,都有a⑧b= (a一b)2一b,其中等式右边是通常的加法、 10第二十一章一元二次方程 减法和乘法运算，如3☒2=(3一2)2-2= 一1.若x⑧k=0(k为实数)是关于x的方 程，且x=2是这个方程的一个根，则k的值是 11.用合适的方法解方程：3x2一6x一2=0. 今思维拓展。学科素养 12.类比法我们知道可以用公式x2十（饣十 q)x十q=(x+p)(x十q)来分解因式解一 元二次方程.如：x2+6x十8=0，因式分解， 得 =0,x2-7x-30=0, 因式分解，得 =0. (1)完成题目中的填空； （2)因式分解法解方程：x2十2x一3=0； (3)爱钻研的小明同学发现二次项系数不 是1的方程也可以借助此方法解一元 二次方程.如方程3.x2一7x+2=0可因 式分解，得(x一2)(3x一1)=0，从而可 以快速求出方程的解.请你利用此方法 尝试解方程：4x2一8x-5=0.参考答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 ①2（二次） 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(,1)=55.整理化简，得x2-x-10=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥基础过关 1.C2.53-63.m≠24.C5.B【变式1】A【变式256.C 能力提升 7.D8.B9.解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1.∴.当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k-3=0时，解得=3，此时方程为-5x=2, 是一元一次方程.当k-1|=1时，解得k=0,或k=2,方程分别为-3x一5x=2和一x 一5x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是关于x的一 元一次方程.10.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有n2十(n十2)2=130， 她 n2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0. 思维拓展 11.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,.2x2+2x-x2十4=22，即x 封 +2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2+2x一 18=0. 21.2解一元二次方程 物 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√D无两个相等0gD-”二D-” 例题引路 0【例1】解：1)3x2=9,x2=3,x=±5，x=5,x=-√5；(2)16x2=12,x2= 3 4x 线 2=-3 【例214(x-2)=25(x-2)2=2约 A 2 基础过关 1.D2.B3解：1r=子=士子=子=号(25x=-5=-1 -1<0,.方程无实数根.4.D5.C6.解：(1)(x十1)2=5，x十1=士5，x十1= 厅，或x+1=-5=-1+64=-1后，21-到-81-=±号1- 专或1-= 4 1 9 51=5x2=5 能力提升 7.B8.5(答案不唯一，只要c≥0即可)9.4或-210.解：(1)4x2=1,x2= 第1页（共78页） ±7=7x=-合(2)r-3=1,x=4x=士2=2w=-2:(3x-2) 门 (3-2x),x-2=±(3-2x),x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),x1=3,x=1. 11.解：把x=3代入原方程，得(3-1)2=十2.化简，得2=2，∴.k=士2..原方程 为(x-1)2=4,.x-1=士2，.x1=3,x2=-1,故另一个根为x=-1. 思维拓展 12.解：(1)由题意，得4△3=4-32=7；(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.解得x1=3,x2=-7;(3)由题意，得3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x -8)2=0.解方程9-(x-8)=0,得x=11,x2=5.当11是该直角三角形的斜边长 时，第三边长为√11一5=4√6；当11是该直角三角形的直角边长时，第三边长为 √1+5=√146.综上所述，该直角三角形的第三边长为4√6或√146. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②(1)1右边(2)一次项系数一半的平方(3)≥< 例题引路 【例】解：移项，得2x十4红=-1.二次项系数化为1，得产十2x=一号配方，得十 2红+1r=-吉+1，+10-安曲此可得十1=±9-号-1=号1 【例2】证明：2x2-4x十9=2(x2-2x)+9=2(x2-2x十12-1)十9=2(x-1)2+7. 无论x取何值，总有(x-1)≥0，∴.2(x-1)2十7>0，.2x2-4x十9恒大于零. 基础过关 1B2.①)42(2)号3解：1)移项，得x+4红=3.配方，得2十4x十2=3十 22,(x十2)2=7.由此可得x十2=±√7，x1=-2十√7，x2=-2-√7；(2)移项、合并同类 项，得x-3x=-5配方，得r-3x十(2)广=-5十（受）（号）=-：原 方程无实数根。4.D5解：(1二次项系数化为1，得-2x=子配方，得2-2z +1=+1,一0=年由此可得一1=士号=1+号=1号：(2移项、 合并同类项，得2x2-4红=1.二次项系数化为1，得x-2x=之·配方，得r-2x十1 =合+1，c一1=是由此可得-1=士√层=1+9=196解： 3 (1)②(2)移项，得x2-4x=1.配方，得x2-4x十4=1十4，(x-2)2=5.由此可得x一 2=±√5，x1=2十5，x2=2-√5. 能力提升 7.D8.二9.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x2-6x-6)=2x2-4x-1-x2十6x十6= x2+2x+5=(x+1)2+4.(x+1)2≥0，.(x+1)2+4>0,.A-B>0,.A>B. 思维拓展 10.解：(1)24(2)由题意，得x2+16x-5=x2+2×8x+82-82-5=(x十8)2-69. :不论x取何值，(x十8)2总是非负数，即(x十8)2≥0，.(x十8)2-69≥-69，∴.当x =-8时，x2+16x-5有最小值，最小值为-69：(3)由题意，得S=(2a十5)(3a+2)= 6a2+4a+15a+10=6a2+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+25a,..S1-S,=6a2+19a+ 10-5a2-25a=a2-6a十10=a2-2a·3十32-32+10=(a-3)2十1.不论a取何值， (a-3)2总是非负数，即(a-3)2≥0，∴.(a-3)2+1≥1>0，.S-S>0,.S>S. 21.2.2公式法 新知梳理 ①6-4ac两个不等的两个相等的无②b2-4ac≥0 第2页（共78页） 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4,△=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5,△=b2-4ac=(-7) -4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=b2-4ac=12 一4X1X(-1)=5>0.方程有两个不等的实数根工=二b士4ac=5,即 2a 2×1 =二1+5 2 ,w=二1⑤ 2 基础过关 1.C2.D3B4解：1Da=3,6=2.c=子4=6-4ac=2-4X3×号=0.方程有 两个相等的实数根；(2)方程化为20x2十8.x十1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=8 一4×20×1=-160.方程无实数根.5.A6.47.一1,3，-18.解：(1)a=1,b =-6,c=4.△=b-4ac=(-6)2-4×1×4=20>0,方程有两个不等的实数根x= -b±B-4ac=-（-6)±V20=3±5，即x=3+5,x=3-5:(2)a=2,b= 2a 2×1 -3,c=-1,△=b-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,方程有两个不等的实数根x =二b±4ac=二（二3》厘-3±厘，即1=3+应，，=3- 2a 2X2 4 4 9≥是且0 能力提升 10.c11.-8 12.8或913.解：：使方程有两个不相等的实数根，.△=仔-4ac =b-4c>0,即b2>4c,.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x十1=0，∴x= 生证-二3法5=35=3选③解方程，则这个方程为 2a 2 2 x+3x-1=0,:x=二b±4ac=二3±厘，：西=二3+厘， 2a 2 2 x2= -3-3 2 思维拓展 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入原方程，得2a十c-4b十2a -c=0,∴.4a-4b=0,∴.a=b,∴.△ABC是等腰三角形；(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2+4ax十2a-a=0,∴.3ax2+4ax十a=0.又：a> 0,∴.3x2十4x十1=0，∴.△=4-4×3×1=4>0，∴.方程有两个不等的实数根x= =出即=-1=号 2×3 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一元一次方程②两个一次因式的积 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2一2x=0.因式分解，得x(x-2)=0.于是得x=0,或x-2=0, x1=0,x2=2;(2)移项，得2(x-1)2十x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)十1]=0， (x-1D(2x-1)=0.于是得x一1=0，或2x-1=0,=1,=子，【例2】解：1)移 项，得x2十2x=323.配方，得x2+2x十12=323+12，(x+1)2=324.由此可得x十+1= ±18，x1=-19,x2=17;(2)移项，得7x(3-x)十2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x 十2)=0.于是得3-x=0,或7x十2=0x1=3,x=-7, 2 第3页（共78页） 基础过关 1.C2.C3.2x-3-6=04.解：(1)移项，得x2十3x=0.因式分解，得x(x十3)=0. 于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=一3：(2)因式分解，得(x-5)2=0.于是得x一5= 0,x1=x2=5.5.D6.解：(1)4x2-4=0,4x2=4,x2=1,x=±1，x1=-1,x2=1: 1 (2)因式分解，得(2x-1)(x-1)=0,于是得2x-1=0,或x-1=0,x=2,2=1. 7.解：(1)一(2)(3x-1)2=2(3x-1).移项，得(3x一1)2-2(3x-1)=0.因式分解， 得(3x-108x-3)=0.于是得3x-1=0,或3x-3=0m=号=1 能力提升 8.B9.1110.1或411.解：移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2-2x= 号配方，得2-红+P=号+1，G-1》=号由此可得一1=士 3 ,x1=1十 34=1-1⑤5 V√15 3 思维拓展 12.解：(1)(x十2)(x十4)(x-10)(x+3)(2)因式分解，得(x十3)(x-1)=0,于是 得x十3=0，或x-1=0,x1=-3,x2=1:(3)因式分解，得(2x-5)(2x十1)=0，于是得 2x-5=0,或2x+1=0=号m=-2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.D2.解：(1)x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2.x1=3,x=-1;(2)4(x-2)2= 4x-2=士号一2-号或x一2=-号离 121.(x-2)2=121 222 2·3.C 4.解：(1)移项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十22=32十22，(x-2)2=36.由此可得 x-2=士6,1=8，x2=一4；(2)移项，得22十8x=10.二次项系数化为1，得x2十4x= 5.配方，得x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5. 5.D6.解：(1)a=3,b=-6,c=4.△=b2-4ac=(-6)2-4×3×4=-12<0.方程无 实数根；(2)a=2,b=7,c=3.△=6-4ac=72-4×2×3=25>0.方程有两个不等的实 数根=二土@c-7表压-二75，即=-3=-子7.C8.解： 1 2a 2×2 4 (1)因式分解，得(x-7)(1-x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,x1=7,x2=1;(2)原 方程可变形为3(x一2)一x(x一2)=0.因式分解，得(x一2)(3-x)=0.于是得x-2= 0,或3-x=0,x1=2,x2=3.9.C10.B11.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y一 3y-4=0.解得y=4,2=-1.当y=4时，x2=4,.x=士2.当y=-1时，x2=-1, 此方程无解..原方程的解为x1=2,x=一2：(2)设x2一2=y,则原方程可化为y一 11y+18=0.解得y1=2,y2=9.当y=2时，x2-2=2,x2=4,x=±2.当y=9时， x2-2=9,x2=11,x=士√T.∴原方程的解为x=2,x2=-2,x=-√，x4= √I. 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 b c aa 例题引路 【例1】解：1)十=一3，x=1:(2)x十=0，=一号，【例2】解：根据根 与系数的关系，得西十西=号x-分1)原式=（红十）-21=（号）-2× 5 5 名-(2原式-=三-5 2 第4页（共78页） 基础过关 1.22.A3.C4.75.D6.D7.A8.3 能力提升 9.A10.B11.土J1712.解：(1)b-4ac=(1+3)2-4×1×(m+1)=m+2m+5 =(m十1)2十4.：(m十1)≥0，∴.(m十1)2十4>0，∴.无论m取何值时，原方程总有两 个不相等的实数根；(2)易得x1十x2=一(m十3)，x1x2=m十1，：x十x=4,∴.(x1十 x2)2-2x1x2=4.∴.[-(m十3)]-2(m十1)=4，整理，得m2十4m十3=0.解得m1= 一1，m2=一3.即m的值为一1或-3. 思维拓展 13.解：(1)-2 -8 (2)2,3是方程x2十px十9=0的两根，…2+3=一p,2×3 =q,∴.p=-5,9=6;(3),两个不同的实数m,n满足m2十5m-3=0,n2十5n一3=0， Cm,n可看作方程x十5x一3=0的两根，心m十n三一5，mn=一3.，化十”白 m m点过_士-一5)”-X二》=一}即兴+丹的值为- mn mn -3 n m 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.C2.B3.A【变式1】m<8【变式2】m≤54.解：)当k=1时，原方程化为 x2十2x=0,(x十2)x=0,x十2=0，或x=0,x1=-2,x2=0;(2):方程x2十2x十k-1 =0有两个相等的实数根，∴.△=6-4ac=22-4(k-1)=0,解得k=2.5.B6.7 7.B8.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=-4ac=[-(m+2)]2-4×1X(m -1)=2十4m十4-4m十4=m2十8..m≥0，.△>0...无论m取何值，方程都有两 个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=m十2，x12=1一1.：x十x一2=9， 即(x1十x2)2-3x1x2=9,∴.（十2）2一3(1-1)=9.整理，得m2十m-2=0..(m十 2)(m-1)=0.∴m十2=0，或m-1=0,解得m=-2,2=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题与循环问题 例题引路 【例111x-1)合x(x-1)(2)2(x-1D=4X7(3)z=-7,x=8(4)x= 一7不符合题意，舍去，只取x=8(5)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为 x,则个位上的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得 x2-5x十6=0.解得x1=2,x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5- 3=2.答：原来的两位数是23或32. 基础过关 1.B【变式92.A【变式】x(x-1)=1103.解：设九(2)班有x个同学，则每个同 学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x-1)=1560.解得x1=40,x2=一39（不符 合题意，舍去).答：九(2)班有40个同学.4.C5.x2-7x十12=0 能力提升 6.B7.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得60x =24000.解得x1=20,x2=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌 可分裂成20个有益菌：(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培植后有480000 个有益菌。 思维拓展 8解：(1)根据题意，得2n(n一3)=14，整理，得-3n-28=0.解得m=7,=-4. n≥3，n=一4不符合题意，舍去.n=7,即这个多边形的边数是7：(2)A同学的 说法不正确.理由如下：当n(n-3)=10时，整理，得m-3n-20=0.解得n= 生y区符合方程心-3m一20=0的正整数n不存在心多边形的对角线不可能有 10条，即A同学的说法不正确 第5页（共78页） 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1】10%【例2】解：设每件商品的售价提高x元.根据题意，得(10十x一8)200 0.5X10）=640.整理，得x-8x十12=0.解得=2，m,=6.又：要减少进货量，x =6,.售价定为10十6=16（元）比较合适.答：将售价定为16元时，能使每天所得利润 为640元. 基础过关 1.B2.解：(1)200(1-x)(2)根据题意，得200(1-x)2=162,解得x1=0.1=10%, x2=1.9(舍去)，答：每次降价的百分率为10%.3.解：(1)(40-x)(20十2x) (2)根据题意，得(40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2 =20,·为了扩大销售，尽快减少库存，x=20.答：每件玩具应降价20元. 能力提升 4.A5.解：(1)设利润的年平均增长率为x.根据题意，得3(x十1)2=4.32，解得x1= 一2.2（不符合题意，舍去），x2=0.2=20%.答：利润的年平均增长率为20%；(2)4.32 ×(0.2十1)=5.184<6.答：该企业2024年的利润不能超过6亿元. 思维拓展 6.解：问题1：设螃蟹的售价为x元/kg.由题意，得100-(x一50)×2=90，解得x=55, .(55一40)×90=1350（元）.答：某天螃蟹的市场销售总重量为90kg时，当天能获利 1350元；问题2：设螃蟹的售价为y元/kg.由题意，得(y-40)×[100-(y-50)×2]= 1750,解得y=65,y2=75.:要帮市场解决销售问题的同时为顾客谋实惠，·y=65. 答：该小组会建议将螃蟹的售价定为65元/kg. 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.D3.2cm,4cm4.C5.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10- 2x)=16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0，解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍 去).答：需设置页边距为1cm. 能力提升 6.解：(1)设养鸡场的边AB的长为xm,则BC的长为(40一2x)m,根据题意，得x(40 -2x)=150.整理，得x2-20x十75=0.解得x1=5,x2=15.当x1=5时，40-2x=30 >18,不符合题意，舍去：当x2=15时，40-2x=10<18,符合题意：答：养鸡场的长为 15m,宽为10m:(2)围成养鸡场的面积能达到200m,理由如下：设养鸡场的边AB的 长为ym,则BC的长为(40一2y)m.根据题意，得y(40一2y)=200.整理，得y2一20y 十100=0.：△=（一20）-4×1×100=0，∴.方程有两个相等的实数根，.围成养鸡场 的面积能达到200m2. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.A3.B4.解：(1)(x-1)2=4,x-1=±2，x-1=2,或x-1=-2,x1=3,x2 =-1;(2)因式分解，得(x-2)(x-2-3)=0,(x-2)(x-5)=0,于是得x一2=0，或x -5=0,x1=2,x2=5.5.解：(1)一(2)方程化为3x2-5x-2=0.a=3,b=-5,c= -2.△=b-4ac=(-5)2一4×3×(-2)=49>0.方程有两个不等的实数根x= -b±√-4ac_5±7 =2x3,即x=2,=-3.6.A7.B8.29.B10.52或58 11.解：(1)设道路宽为xm.根据题意，得(32-2x)(20-x)=570,整理，得x2-36x十 35=0.解得x1=1,x2=35.:35>20,.x=35不合题意，舍去.答：道路宽为1m; (2)570×100+(32×20一570)×80=62600（元）.答：小区花的总费用为62600元. 易错易混专攻 1.D2.-1 第6页（共78页）