21.2.1 配方法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材九年级全一册数学（人教版2024 贵州专版）

● 第1课时 冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①方程x2=p的根的情况： 当0时，方程有 的实数根)= 2=√币； x=p当p0时，方程 实数根； 当=0时，方程有 的实数根无=x2= ②形如(mx十n)2=p(m≠0，p≥0)的 方程的根是x1= 例题团路 【例1】用直接开平方法解下列方程： (1)3.x2-9=0; (2)16x2-9=3. 【名师点拨】将方程化为x2=p的形 式，两边直接开平方即可 【学生解答】 【例2】解方程：4(x-2)2-25=0. 解：移项，得 方程两边同除以4，得 直接开平方，得 即x一2=号，或x-2= 5 2 解得x= 【学生解答】 1.2解一元二次方程 21.2.1配方法 用直接开平方法解一元二次方程 基础过关○逐点击破 知识点1形如x2=p(p≥0)的一元二次方程的解法 1.方程x2十m=0有实数根的条件是 A.m>0 B.m≥0 C.m<0 D.m≤0 2.（易错题)如果代数式2x2一4的值为14，那么x的值是() A.3 B.±3 C.-3 D.√3 3.解下列方程： (1)4x2=9; (2)5x2+8=3. 知识点2形如(mx+n)2=p(m≠0，p≥0)的一元二 次方程的解法 4.一元二次方程(x十6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x十6=4，则另一个一元一次方 程是 A.x-6=-4 B.x-6=4 C.x+6=4 D.x+6=-4 5.一元二次方程3(x一2)2一27=0的根是 A.5 B.-1 C.5或-1D.3 6.解下列方程： (1)(x+1)2-5=0; (2)100(1-x)2=64. 数学[九年级全册3 可能力提升。整合运用 7.若a为方程(x-√17)2=100的一根，b为方 程(y一4)2=17的一根，且a,b都是正数，则 a一b的值为 () A.5 B.6 C.√83 D.10-√/17 8.新视角结论开放题若关于x的一元二次方程 (x十3)2=c有实数根，则c的值可以为 .(写出一个即可) 9.新视角程序应用)如图所示是一个简单的数值 运算程序，则输人x的值为 输入x了一x-1一×(-3)一输出-27 10.用直接开平方法解下列方程： (1)2x2+3=-2x2+4; (2)(x-√3)(x+√3)=1： (3)x2-4.x+4=(3-2x)2. 4第二十一章-元二次方程 11.已知方程(x-1)2=k2+2的一个根是x= 3,求k的值及另一个根. 思维拓展。学科素养 12.新视角新定义对任意实数a,b,规定一种新 运算“△”：a△b=a2-b. (1)求4△3； (2)求(x+2)△5=0中x的值； (3)已知直角三角形的两边长是方程3△(.x一 8)=0的两根，求该直角三角形的第三 边长 第2课时 用配方法解一元二次方程 冒名师导学。预习先知 ②基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 ①通过配成 来解一1.用配方法解方程x2一8x十7=0，则配方正确的是( ) 元二次方程的方法，叫做配方法。 A.(x+4)2=9 B.(x-4)2=9 ②用配方法解方程的一般步骤：(1)将 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57 二次项系数化为 ,并移项 2.用适当的数或式子填空： 使含未知数的项在方程的左边，常 (1)x2-4x+ =（x )2; 数项在方程的 ;（2)配方： 9 方程两边同时加上 (2)x2+3x+1=(x+ )2」 通过配方将方程转化成(x十n)2=p 3.用配方法解下列方程： 的形式：(3)若p0,则可直接 (1)x2+4x-3=0; (2)x2-2x-6=x-11. 开平方求出方程的解；若 0, 则方程无实数根。 例题团路 【例1】解方程：2.x2+4x十1=0. 【名师点拨】先把二次项系数化为1，然 后再配方. 【学生解答】 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 4.用配方法解一元二次方程3x2一12x一1=0，配方正确的 是 A.3(x-2)2=5 B.(3x-2)2=13 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=13 3 5.用配方法解下列方程： 【例2】用配方法证明：2x2一4x十9恒 (1)4.x2-8x=1: (2)2x2-3x=x+1. 大于零 【名师点拨】用配方法将它化为a(x h)2十k的形式再证明. 【学生解答】 数学1九年级全册5 ?易错点对二次三项式配方时，只加上 了一次项系数一半的平方，没有减去一次项 系数一半的平方而致错 6.新考向过程性学习小明在学习配方法解一元 二次方程后，用配方法解方程x2一4x一1=0 过程如下： 移项，得x2一4x=1.① 配方，得x2-4x十4=1，② (x-2)=1.③ 由此可得x-2=士1，④ x1=3,x2=1.⑤ (1)小明解方程过程中，从 步开始 出现错误；（填序号） （2)请利用配方法正确解方程x2一4x一1=0. 阅能力提升。整合运用 7.(2024·山东东营)用配方法解一元二次方 程x2-2x-2023=0,将它转化为(x+ a)2=b的形式，则a的值为 ( A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 8.若方程x2十6x十2=0能配方成(x十p)十q=0 的形式，则直线y=x十q不经过第 象限。 9.作差法设A=2x2-4x-1,B=x2一6x-6,试 比较A与B的大小. 6第二十一章一元二次方程 ⊙ 思维拓展⊙学科素养 10.阅读理解方法型阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式x2十bx十c变形 为(x十m)2十n的形式，然后由(x十m)2≥0就 可求出多项式x2十bx十c的最小值. 例题：求x2一12x十37的最小值. 解：x2-12x+37=x2-2x·6+6-6+37= (x-6)2+1. 不论x取何值，(x一6)2总是非负数，即 (x-6)2≥0， ∴.(x-6)2+1≥1， .当x=6时，x2一12x十37有最小值，最小 值是1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空： x2-8x+18=x2-8.x+16+ (x- )2+2; (2)将x2+16x一5变形为(x十m)2+n的 形式，并求出x2+16x-5的最小值； (3)如图所示的第一个长方形的边长分别 是2a+5,3a+2,面积为S1.如图所示 的第二个长方形的边长分别是5a,a十 5,面积为S2.试比较S1与S的大小，并 说明理由. 3a+2 5a 2a+5 a+5参考答案 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 ①2（二次） 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2一√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(,1)=55.整理化简，得x2-x-10=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm,根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 弥基础过关 1.C2.53-63.m≠24.C5.B【变式1】A【变式256.C 能力提升 7.D8.B9.解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1.∴.当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k-3=0时，解得=3，此时方程为-5x=2, 是一元一次方程.当k-1|=1时，解得k=0,或k=2,方程分别为-3x一5x=2和一x 一5x=2,都是一元一次方程.综上所述，当k的值为3或0或2时，方程是关于x的一 元一次方程.10.解：(1)设这两个连续奇数分别为n,n十2，则有n2十(n十2)2=130， 她 n2+2-63=0:(2)x(x-1)=756,x2-x-756=0. 思维拓展 11.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,.2x2+2x-x2十4=22，即x 封 +2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2+2x一 18=0. 21.2解一元二次方程 物 21.2.1配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√D无两个相等0gD-”二D-” 例题引路 0【例1】解：1)3x2=9,x2=3,x=±5，x=5,x=-√5；(2)16x2=12,x2= 3 4x 线 2=-3 【例214(x-2)=25(x-2)2=2约 A 2 基础过关 1.D2.B3解：1r=子=士子=子=号(25x=-5=-1 -1<0,.方程无实数根.4.D5.C6.解：(1)(x十1)2=5，x十1=士5，x十1= 厅，或x+1=-5=-1+64=-1后，21-到-81-=±号1- 专或1-= 4 1 9 51=5x2=5 能力提升 7.B8.5(答案不唯一，只要c≥0即可)9.4或-210.解：(1)4x2=1,x2= 第1页（共78页） ±7=7x=-合(2)r-3=1,x=4x=士2=2w=-2:(3x-2) 门 (3-2x),x-2=±(3-2x),x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),x1=3,x=1. 11.解：把x=3代入原方程，得(3-1)2=十2.化简，得2=2，∴.k=士2..原方程 为(x-1)2=4,.x-1=士2，.x1=3,x2=-1,故另一个根为x=-1. 思维拓展 12.解：(1)由题意，得4△3=4-32=7；(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.解得x1=3,x2=-7;(3)由题意，得3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x -8)2=0.解方程9-(x-8)=0,得x=11,x2=5.当11是该直角三角形的斜边长 时，第三边长为√11一5=4√6；当11是该直角三角形的直角边长时，第三边长为 √1+5=√146.综上所述，该直角三角形的第三边长为4√6或√146. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②(1)1右边(2)一次项系数一半的平方(3)≥< 例题引路 【例】解：移项，得2x十4红=-1.二次项系数化为1，得产十2x=一号配方，得十 2红+1r=-吉+1，+10-安曲此可得十1=±9-号-1=号1 【例2】证明：2x2-4x十9=2(x2-2x)+9=2(x2-2x十12-1)十9=2(x-1)2+7. 无论x取何值，总有(x-1)≥0，∴.2(x-1)2十7>0，.2x2-4x十9恒大于零. 基础过关 1B2.①)42(2)号3解：1)移项，得x+4红=3.配方，得2十4x十2=3十 22,(x十2)2=7.由此可得x十2=±√7，x1=-2十√7，x2=-2-√7；(2)移项、合并同类 项，得x-3x=-5配方，得r-3x十(2)广=-5十（受）（号）=-：原 方程无实数根。4.D5解：(1二次项系数化为1，得-2x=子配方，得2-2z +1=+1,一0=年由此可得一1=士号=1+号=1号：(2移项、 合并同类项，得2x2-4红=1.二次项系数化为1，得x-2x=之·配方，得r-2x十1 =合+1，c一1=是由此可得-1=士√层=1+9=196解： 3 (1)②(2)移项，得x2-4x=1.配方，得x2-4x十4=1十4，(x-2)2=5.由此可得x一 2=±√5，x1=2十5，x2=2-√5. 能力提升 7.D8.二9.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x2-6x-6)=2x2-4x-1-x2十6x十6= x2+2x+5=(x+1)2+4.(x+1)2≥0，.(x+1)2+4>0,.A-B>0,.A>B. 思维拓展 10.解：(1)24(2)由题意，得x2+16x-5=x2+2×8x+82-82-5=(x十8)2-69. :不论x取何值，(x十8)2总是非负数，即(x十8)2≥0，.(x十8)2-69≥-69，∴.当x =-8时，x2+16x-5有最小值，最小值为-69：(3)由题意，得S=(2a十5)(3a+2)= 6a2+4a+15a+10=6a2+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+25a,..S1-S,=6a2+19a+ 10-5a2-25a=a2-6a十10=a2-2a·3十32-32+10=(a-3)2十1.不论a取何值， (a-3)2总是非负数，即(a-3)2≥0，∴.(a-3)2+1≥1>0，.S-S>0,.S>S. 21.2.2公式法 新知梳理 ①6-4ac两个不等的两个相等的无②b2-4ac≥0 第2页（共78页） 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4,△=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0,方程有两个 不等的实数根：(2)方程化为5x2-7x十5=0，a=5,b=-7,c=5,△=b2-4ac=(-7) -4×5×5=一51<0，方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=b2-4ac=12 一4X1X(-1)=5>0.方程有两个不等的实数根工=二b士4ac=5,即 2a 2×1 =二1+5 2 ,w=二1⑤ 2 基础过关 1.C2.D3B4解：1Da=3,6=2.c=子4=6-4ac=2-4X3×号=0.方程有 两个相等的实数根；(2)方程化为20x2十8.x十1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=8 一4×20×1=-160.方程无实数根.5.A6.47.一1,3，-18.解：(1)a=1,b =-6,c=4.△=b-4ac=(-6)2-4×1×4=20>0,方程有两个不等的实数根x= -b±B-4ac=-（-6)±V20=3±5，即x=3+5,x=3-5:(2)a=2,b= 2a 2×1 -3,c=-1,△=b-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0,方程有两个不等的实数根x =二b±4ac=二（二3》厘-3±厘，即1=3+应，，=3- 2a 2X2 4 4 9≥是且0 能力提升 10.c11.-8 12.8或913.解：：使方程有两个不相等的实数根，.△=仔-4ac =b-4c>0,即b2>4c,.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3x十1=0，∴x= 生证-二3法5=35=3选③解方程，则这个方程为 2a 2 2 x+3x-1=0,:x=二b±4ac=二3±厘，：西=二3+厘， 2a 2 2 x2= -3-3 2 思维拓展 14.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入原方程，得2a十c-4b十2a -c=0,∴.4a-4b=0,∴.a=b,∴.△ABC是等腰三角形；(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2+4ax十2a-a=0,∴.3ax2+4ax十a=0.又：a> 0,∴.3x2十4x十1=0，∴.△=4-4×3×1=4>0，∴.方程有两个不等的实数根x= =出即=-1=号 2×3 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一元一次方程②两个一次因式的积 例题引路 【例1】解：(1)移项，得x2一2x=0.因式分解，得x(x-2)=0.于是得x=0,或x-2=0, x1=0,x2=2;(2)移项，得2(x-1)2十x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)十1]=0， (x-1D(2x-1)=0.于是得x一1=0，或2x-1=0,=1,=子，【例2】解：1)移 项，得x2十2x=323.配方，得x2+2x十12=323+12，(x+1)2=324.由此可得x十+1= ±18，x1=-19,x2=17;(2)移项，得7x(3-x)十2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x 十2)=0.于是得3-x=0,或7x十2=0x1=3,x=-7, 2 第3页（共78页）